UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e 4x 4e 4x e 4x ) f 3 4 3 ): Under x aksen ) f x 3 3x 8x x 8x f 8 5 ): Grafen stiger når x. 3) f x 4x 8 f 48 4 ): MVH (f x) minker når x. Geometrisk rekke med a 9,k 0. S a k 9 0. 0 4 e) dx dx dx (Delbrøkoppspalting.) x x x ln x ln x C lnx lnx C ln x x C f) ) fx 4x f x 4 x 3 x 3 f 4 4 3 3 f4 4 4 Tangent: y f4 f 4x 4 y 3 x 4 y 3 x 6 y 3 x 8 ) Tangent: gx 3 x 8 Ulven 9.04.09 av 9 r_eksempel.tex
g) Arealet ABC 4 fx gxdx 4 4x 3 x 8dx 4 48x 3 4 x 8x 48 4 3 4 4 8448 3 4 8 6948. 8 AB,,, AC,0, cosbac ABAC AB AC,,,0, 0 h) BAC 45 y cosx y 0, y0 4 y Separabel: y cosx, y 0 y dy cosxdx ln y sinx D y Ce sinx (Som inkluderer y 0.) y0 4 4 Ce sin0 C 4 ): y 4e sinx 4 e sinx Alternativt med integrerende faktor: IF e cos xdx e sinx i) y e sinx ye sinx cosx 0 ye sinx 0 ye sinx C y Ce sinx a, a n a n n, n N ) a a 5 a 3 5 9 a 4 93 4 a 5 44 0 ) Induksjonsbevis: n : a 3 OK n n : Må vise at: a n nn3 nn4, når vi vet at a n nn3 Ulven 9.04.09 av 9 r_eksempel.tex
a n a n n nn3 n nn3n4 n 5n4 nn4 (For moro skyld prøver vi å vise det eksplisitt: Del n 3nn4 (Faktoriserer teller vha. abc-formel.) Vi ser at differansene er 3,4,5,6,... altså den lineære følgen d n n a n er da summefølgen av differansefølgen, a n a 3456... a n i d i n 3n nn4 n 3n nn3 ) 4n n4n4 Oppgave Vanlig å skrive: fx 3sin 3 x, for å slippe parentesen... Graf lenger ned. fx 0 sinx 0 x 0x Kjerneregel: ):0,0 og,0 fx 3u 3,u sinx f x 9u cosx 9sin x cosx Faktorisering: fx 9cos x sinx 9cosxcosx sinx Tall-linjer for cosx, cosx og sinx gir fortegnslinjen: 3 0 o o o- - - - - - o - - - - - - o d) Topp-punkt:,3 Bunn-punkter:,3, 3,3 Terrassepunkter: 0,0,,0 Fx fxdx acos 3 x bcosx c F x fx 3acos x sinx bsinx (Derivasjon, kjerneregel.) 3asinxsin x bsinx 3asinx 3asin 3 x bsinx 3ab sinx 3asin 3 x Da må: 3ab 0a a b 3 QED Fx cos 3 x 3cosx c Areal 0 fxdx F F0 cos 3 3cos cos 3 03cos0 4 Ulven 9.04.09 3 av 9 r_eksempel.tex
GeoGebra: f(x)funksjon[3*(sin(x)) ^3,-pi/,3*pi/] IIntegral[f(x),0,pi] Oppgave 3 Må tegne en perspektivtegning her... AB 3,4,0 Avstand AB: AB 3 4 0 5 AC 3,0,5 AB AC e x e y e z 3 4 0 3 0 5 0e x 5e y e z 0,5, AO 3,0,0 Volum OABC AB AC AO 0,5,3,0,0 0 0 6 6 Arealene regnes ut med tallverdien av vektorene som utspenner trekantene: F ABC AB AC 0 5 769 F AOC OA OC 3,0,00,0,5 OA OC OA OC 3 5 0 5 F BOC OB OC 0,4,00,0,5 OB OC OB OC 4 5 0 0 F OAB OA OB 3,0,00,4,0 OA OB OA OB Ulven 9.04.09 4 av 9 r_eksempel.tex
3 4 0 d) VS 769 HS 5 0 769 Normalvektor: QED n AB AC 0,5, Med P x,y,z og A 3,0,0 får vi: AP x 3,y,z Betingelsen AP n 0 gir: x 3,y,z0,5, 0 ): : 0x 5y z60 0 e) Normalvektor: n,, f) cos, nn n n, 6.4 AB 3,4,0, 0,5,,, 0 5 AC 3,0,t 3 3 769 307 0.4789 n AB AC 3,4,03,0,t 4t,3t, e x e y e z 3 4 0 3 0 t 4te x 3te y e z AP n 0 x 3,y,z4t,3t, 0 4tx 3ty zt 0 g) x y z 3 4 t QED Planet går mot: x 3 y 4 4x 3y 0 Har normalvektor 4,3,0 og er derfor -Parallelt med zakse -Normalt på xy plan -4x 3y 0 er -dimensjonal ligning for skjæringslinjen med xy planet. Oppgave 4 - Alternativ I Sum krefter: F mgk vt ma mv t Newtons dre lov gir da: mgk v mv t v t k m vt g v 6 v 0 80 [m/s ] v v 0 5 Ulven 9.04.09 5 av 9 r_eksempel.tex
Løser som separabel ligning, men kan også bruke integrerende faktor... 50v dv 5 dt ln 50v t 5 D 50v Ce t 5 v 50Ce 0.t v0 0 0 50C C 50 ): vt 5050e 0.t 50e 0.5 [m/s], t i sekunder. Fart: v4 5050e 0.4 8[m/s] Akselerasjon: v t 500.e 0.t 0e 0.t [m/s ] v 4 0e 0.4 4. 5 [m/s ] d) Startbetingelse for ny situasjon: Sum krefter: F mgk v gir: v k m v g v5 5050e 0.5 3 [m/s] OBS: Oppgaven er upresis, men fra e) ser vi at de opererer med en ny t som er null, når den gamle t var 5! Initialbetingelse: v0 3 e) Ligning: v 0 v 0 [m/s ], der t i sekunder. Separabel: 0v v 00 v 00v 0 Delbrøkoppspalting gir: 0 0v v 0v v 0 f) 0v 0v v QED dv dv dt ln 0v ln 0v t D 0v 0v ln 0v 0v t D 0v 0v Ee t 0v 0Ee t vee t v vee t 0Ee t 0 vee t 0Ee t v 0 Eet Cet 0 Ee t Ce t v0 3 3 0 C C C 0.5 vt 0 0.5et 0.5e t [m/s], t i sekunder Ulven 9.04.09 6 av 9 r_eksempel.tex
Kontroll: Når farten blir konstant har vi akselerasjon lik null: mgk v 800 0 v 0 [m/s] 8 Oppgave 4 - Alternativ II mg k y x y 0, x x Et poeng i denne oppgaven er at betingelsen gir to diskontinuiteter og tre intervaller for løsningen. Man skal også være forsiktig med tallverdi og ln-funksjonen her... Separabel: Regel for tallverdi: x y dy dx, y 0 x a 0 a 0 a a a a ln y ln x D (Integrasjon med variabelskifte: u x ) y Ce ln x C x (Kan også gjøres med integrerende faktor: IF e x x dx e lnx ) Når x, bruker vi: x x x, så løsningen i dette intervallet blir: y C x ), 3) Graf: Se lenger ned. ) Når x,, bruker vi: x x x ): y C x ), 3) x ) Ulven 9.04.09 7 av 9 r_eksempel.tex
Graf: Se lenger ned. Poenget med og er å sette sammen en løsning i hele definisjonsområdet, som blir slik: y C y C x,når x x, når x, y C 3 x, når x Spørsmål viser at de som har laget oppgaven ikke er klar over at man må ha en initialbetingelse i hvert intervall, og at man ikke kan bruke samme C i alle tre intervaller! Hvis vi multipliserer ligningen medx får vi en annen ligning: x y xy 0. Denne ligningen er definert i et sammehengende intervall og har også løsninger som er henger sammen i hele intervallet: y C x og en initialbetingelse vil da bestemme Cene i de to andre intervallene, men de må regnes ut hver for seg slik at den deriverte av løsningen (y ) er kontinuerlig for x og x. (Ikke knekk på kurven i x.) Som dere skjønner,dette med eksistens av løsninger, hvordan man skjøter sammen diskontinuerlige løsninger og hvorfor initialbetingelser bare gjelder i et kontinuerlig intervall er avansert universitetsstoff, og jeg anser det som en ren glipp at UDIR har gitt denne oppgaven i et eksempelsett. Jeg regner derfor med at denne type betraktninger er uaktuelle til eksamen... Separabel: y dy x dx Delbrøksoppspaltning gir: y dy dx dx x x Ulven 9.04.09 8 av 9 r_eksempel.tex
ln y ln x ln x D ln y ln x x y C x x Initialbetingelsen gjelder i intervallet, : D y0 C så i dette intervallet har vi: y C x x C x x Hva C er i de andre intervallene vet vi ikke før vi får to initialbetingelser til, en i hvert intervall! De som har laget oppgaven later ikke til å ha skjønt dette... Spørsmålene er misvisende og må sies å være direkte feil, da ) spesiell løsning kan ikke finnes med bare en initialbetingelse ) et valg av den oppgitte C er ikke nok til å grafe løsningen y i hele definisjonsområdet Uten tallverdi får vi: x y C,når x x y C x, når x, x x y C, når x x ) Meningsløst spørsmål: Velger vi en C kan vi bare grafe i intervallet,. I de to andre intervallene er C og C fortsatt ukjente, men de som har laget oppgaven tror åpenbart at det er en C for alle intervaller... Uansett, omtrent slik ser det ut: Ulven 9.04.09 9 av 9 r_eksempel.tex