Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 (elektromagnetisme) Dato: 9. juni 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: ruter 7 (6 sider med oppgaver 1 side med formler) Frank Melandsø Telefon/mobil: 776 45666 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Eksamen består av 3 oppgaver med til sammen 16 delpunkter som alle vektes likt. Prøv å svare på alle spørsmålene. Oppgave 1 i skal i første del av oppgaven regne på elektrisk felt og potensiale generert av en hul kule. La oss ta utgangspunkt i to kuleflater med sentrum i origo og radier R 0 og R 1. Disse kuleflatene er vist i et plan gjennom origo i Fig. 1. R 0 R 1 Fig. 1 Området R 0 r R 1 er et kuleskall som antas å være en perfekt leder, mens området innenfor (r < R 0 ) og utenfor (r > R 1 ) kuleskallet antas å være fylt med luft. Størrelsen r angir her avstanden fra origo i sfæriske koordinater (kulekoordinater). (a) is ved hjelp av en figur hvor du i et elektrostatisk tilfelle forventer å finne fri ladningstetthet når kuleskallet tilføres en total positiv ladning Q. Bruk denne antagelsen til å beregne det elektriske feltet for alle radier r. (b) Finn deretter et uttrykk for det elektrostatiske potensialet φ som funksjon av r når vi antar at nullpunktet til φ ligger i posisjonen r =. is at potensialet på overflaten av kulen = φ(r = R 1 ) er identisk med potensialet fra en punktladning Q plassert i origo. (c) Beregn den totale elektrostatiske energien til systemet U e ved å benytte energitettheten til det elektriske feltet og vis at denne kan skrives som U e = 1 2 C 2. Her er C er kapasitansen til kuleskallet i forhold til et annet jordet kuleskall ved r =. (d) idere i oppgaven skal vi anta at kuleskallet inngår som en del av an de Graaff generatoren vist i Fig. 2 (a). I grove trekk fungerer denne generatoren ved at et belte transporterer en strøm > 0 til innsiden av den hule kula som etterhvert gir et stort potensiale på kuleskallet. La oss anta at oppladningen kan beskrives ved den elektriske kretsen vist i Fig. 2 (b). I denne enkle modellen antar man at den tilførte strømmen fra beltet (modellert ved en strømkilde ), balanseres av strømmen som går med til å lade opp kuleskallet (modellert ved kondensator C) og en lekkasjestrøm gjennom luften (angitt ved en Ohmsk motstand R). Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 2
Ta utgangspunkt i kretsen i Fig. 2 (b) og vis at potensialet på kuleskallet kan beskrives ved hjelp av differensiallikningen C d dt R =. (a) (b) C R Fig. 2 (e) Løs denne differentiallikningen for startbetingelsen = 0 ved tiden t = 0. Angi også en tidsskala for oppladning som denne modellen gir. (f) i skal i siste punktet se bort fra resistansen gjennom luft (R = ) og anta at det elektriske feltet E på kuleskallet nærmer seg verdien for den dielektriske styrken til luft, oppgitt til E max = 3 10 6 /m. Gi en fysisk forklaring på dielektrisk styrke ( dielectric strength ) og beskriv kort hva som skjer når E > E max. Finn deretter et numerisk estimat for det største potensiale max som kulaskallet teoretisk kan oppnå for E og beregnet i punktene (a) og (b) når R 1 oppgis til 11 cm. Estimer også hvor lang tid det tar før max oppnås hvis ser helt bort fra resistansen R i Fig. 2 (b) og antar en konstant oppladningsstrøm på 2µA. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 3
Oppgave 2 Denne oppgaven omhandler magnetiske felter generert fra ledende strømkretser. La oss ta utgangspunkt i to strømkretser som vist i Fig. 3. Den første av disse (definert som krets 0) er en uendelig lang rett leder som legges langs x-aksen i Fig. 3. Den andre kretsen (krets 1) er formet som en rektangulær sløyfe med lengde l x i x-retning og l y i y-retning. i antar videre en avstanden h mellom kretsene som vist i figuren, og at den magnetiske permeabiliteten i mediet er µ 0. I hele oppgaven skal vi se bort fra tykkelsen til de elektriske lederne og anta at krets 0 ligger fast langs x-aksen. I 1 l y l x h Fig. 3 (a) Anta en strøm i den uendelig lange rette lederen (krets 0). is i en tredimensjonal (3D) figur det magnetiske feltet B som denne lederen generere når vi ser bort fra en eventuell påvirkning fra krets 1. is deretter at normen til B i xy planet kan uttrykkes som B = µ 0 2πy. (b) i skal nå se på kreftene som virker på den rektangulære kretsen (krets 1) p.g.a. magnetfeltet som settes opp av krets 0. Lag en figur som viser kreftene som virker på alle sidekantene til krets 1 og den total kraften F når det går en strøm I 1 med retning som vist i Fig. 3. is deretter at normen til den totale kraften F er gitt ved F = µ 0 I 1 l x 2π ( 1 h 1 ). h l y (c) Anta videre at krets 1 beveger seg nedover med hastighet v som vist i Fig. 4 mens krets 0 er i ro. Angi i en figur retningen til strømmen som induseres i krets 1 på grunn av bevegelsen vist i Fig. 4. Gi en kort forklaring på hvordan du kom frem til denne retningen og hvilken fysisk lov som er benyttet. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 4
l x l y v h Fig. 4 (d) Angi Faradays lov på integrert form og forklar de fysiske størrelsene som inngår i denne loven. (e) i skal tilslutt anta at krets 1 beveger seg nedover med en konstant hastighet slik at posisjonen y til nedre kant for krets 1, kan uttrykkes som y = h vt for tiden t. Finn et uttrykk for den induserte elektromotoriske spenningen emf som funksjon av tiden t for krets 1. Du skal her anta at strømmen er konstant og at kretsene ikke berører hverandre (y > 0). Oppgave 3 Denne oppgaven omhandler Maxwells likninger og bølgeløsninger for disse. I et medium med permittivitet ε, permeabilitet µ 0 (vakuumverdi) og uten frie strømmer ( J f = 0) og uten fri ladningstetthet (ρ f = 0) kan Maxwells likningene uttrykkes som E = 0 E = B B = 0 B = εµ 0 E (a) Ta utgangspunkt i likningen kjent som Ampere-Maxwells lov ovenfor, og vis hvordan denne kan overføres til integrert form. (b) Bølgelikningen for et generelt vektorfelt u er gitt ved der v ph er bølgens fasehastighet. 2 u 2 v2 ph 2 u = 0, Utled en bølgelikning for det elektriske feltet E fra Maxwell s equations angitt ovenfor. (Hint: I beregningene vil man få bruk får vektoridentiteten) ( u) = ( u) 2 u Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 5
(c) Det elektriske feltet fra en planpolarisert bølge er oppgitt til E = E 0 e i(kz ωt), med elektrisk feltretning langs x-aksen og bølgeforplantning i z-retningen. Bølgelikningen for denne polariseringen oppgis til 2 E 2 2 E v2 ph z 2 = 0. Finn ikke-trivielle løsninger (E 0) på formen D(ω, k)e = 0 for bølgelikningen ovenfor som angir en relasjon mellom bølgefrekvensen ω and bølgetallet k. (d) Finn sammenhengen mellom fasehastigheten til bølgen og de fysiske parametrene ε og µ 0. (e) For en ionisert gass (plasma) vil permittiviteten være en funksjon av ω eller bølgefrekvensen f relatert gjennom ω = 2πf og andre fysiske parametere slik som elektrontettheten n e. For typiske radiobølger oppgis permittiviteten til ε = ε 0 (1 ω 2 p/ω 2 ), hvor ω p er en plasma-frekvens gitt til n e e ω p = 2. ε 0 m e Her er e ladningen til et elektron, ε 0 er permittiviteten til vakuum, mens m e er massen til et elektron ( 9.11 10 31 kg). Finn en numerisk verdi for fasehastigheten til radiobølger i et plasma n ar vi antar en elektrontetthet n e = 10 12 m -3 (typisk for ionosfæren) og f = 10 MHz. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 6
Formelark F 12 = 1 q 1 q 2 r 2 r 1 3 E(r) = 1 E(r) = 1 ( r2 r 1 ) (1) q r r 3 ( r r ) (2) ρ(r )(r r ) r r 3 dv (3) E = ρ ν (4) ε 0 q r r (5) (r) = 1 (r) = 1 ρ ν (r ) r r dv (6) E = 0, ( = 0) (7) E =, ( = 0) (8) = l E dl (9) W E = 1 2 ρ ν (r) (r)dv (10) W E = 1 2 C 2 (11) C = Q I = dq dt (12) (13) I = J ds (14) S J = σe (15) J = ρ (16) R = I (17) P = I (18) B = μ 0 Idl (r r ) 4π l r r 3 (19) B = μ 0 J, ( = 0) (20) B = 0 (21) U m = 1 2 B Hdv (22) B = A (23) A(r) = μ 0 J(r ) 4π r r dv (24) F = q(e v B) (25) L = λ I (26) S E = B (28) emf = dλ dt (29) E B = μ 0 J μ 0 ε 0 (30) E = A (31) D = ε 0 E P (32) H = 1 μ 0 B M (33) E 1t E 2t = 0 (34) H 1t H 2t = K (35) D 1n D 2n = ρ s (36) B 1n B 2n = 0 (37) ρ ps = P n (38) ρ pv = P (39) K b = M n (40) J b = M (41) P = ε 0 χ e E (42) M = χ m H (43) D = ε 0 ε r E (44) B = μ 0 μ r H (45) ε r = 1 χ e (46) μ r = 1 χ m (47) ε 0 = 8.854 10 12 C 2 s 2 kgm 3 (48) μ 0 = 1.257 10 6 Nm 2 C 2 (49) e = 1.602 10 19 C (50) E = ρ ν ε 0 (51) B = 0 (52) E = B E B = μ 0 J μ 0 ε 0 F ds = S (53) (54) F dl (55) ( F)d = F ds (56) W m = 1 2 LI2 (27)