Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4 Anvendelser av derivasjon. Oppgave, og 3 handler om linearisering. Lineariseringsformelen er P ( f(a+f (a( a, Bruk: P ( f( næra Oppgave La funksjonen f være gitt for ved f(. a Deriver f(, og regn ut eksakt verdi av f(6 og f (6. b Finn P (, lineariseringa til f( rundt 6. c Bruk lineariseringa til å finne en tilnærmingsverdi for 9, uten kalkulator. d Lag et plott av grafenil f og P for 3 i samme diagram (kalkulator eller Maple tillatt. Observer at grafen til P er det samme som tangenten til grafen til f i punktet (6, 4. Oppgave Punktet med koordinater (8, 4 ligger på kurven implisitt gitt ved likningen 5y +y 64 Betrakt dette som grafen til en funksjon y( i nærheten av dette punktet. a Finn, ved hjelp av implisitt derivasjon, y (8. b Lineariser y rundt punktet (8, 4, og bruk resultatet til å finnilnærmet y(7. Oppgave 3 En deriverbar funksjon y y( oppfyller følgende egenskap for alle ietområde i nærheten av : y y 5 og y( 3. a Hva er y (. Lineariser y rundt. b Bruk lineariseringa til å finne en tilnærmingsverdi for y(., og deretter en tilnærmingsverdi for y (.. c Bruk resultatene fra b oppgaven til å finne en tilnærmet linearisering for y rundt., og bruk resultatet til å finne en tilnærming til y(..
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Oppgave 4 og 5 hører til kapittel 4.3 4.7. Dette er vel repetisjonsstoff, og vektlegges mindre enn omfanget i læreboka skullilsi. Oppgave 4 En funksjon f er definert for alle R ved funksjonsuttrykket f( 5+5+6 3. a Finn koordinaten til de kritiske punktene. b Bruk andrederiverttesten til å avgjøre hvilke av do verdiene fra oppgave a som gir lokalt maksimum, og hvilket som gir lokalt minimum. c Svar omigjen på spørsmålet fra oppgave b, bare at nå skalfortegnsdrøfting av den deriverte brukes som begrunnelse. Oppgave 5 A( B( C( 3 4 3 4 3 4 - - - D( E( F ( 3 4 3 4 3 4 - - a En av grafene i figuren over viser den delen av grafen til funksjonen f gitt ved f( ln(+ som ligger i rektangelet beskrevet av ulikhetene.9 4, y. Hvilken av kurvene er grafen til f( ln(+? A A( B B( C C( D D( E E( F F ( b En av figurene over viser grafen til F (, den deriverte av funksjonen F. F er funksjonen med den siste kurven, figur F (, som graf. Hvilken av kurvene er grafen til F (? A A( B B( C C( D D( E E( F F ( c En av figurene over viser grafen til til F (, den andrederiverte av funksjonen F. Hvilken av kurvene er grafen til F (? A A( B B( C C( D D( E E( F F ( -
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. 3 Do siste oppgaven handler om L Hopitals regel: ( f( a g( f ( og a g ( Oppgave 6 Finn grensene, hvis de eksisterer. a π/ π cos( d 8 + 4 g (arctan( π/ t h Oppgave 7 e b e i + a f( ( g( a c sin( sin( f ln( f ( g ( Vink: Gjør om produktet til en brøk med / inevner. t j t En funksjon f er gitt ved den delte funksjonsforskriften a sin(+cos(+b for f( for der parametrene a og b er konstanter. a Bestem konstanten b slik at grensen f( eksisterer. b Bestem konstantene a og b slik at f( er kontinuerlig for alle. Oppgave 8 En funksjon y y( (definert for > oppfyller betingelsene y e y og y(. Dette er en differensiallikning, men det er ikke meningen at du skal bestemme funksjone y i denne oppgaven. t a b Avgjør for hvilke grafen til y er henholdsvis voksende og avtagende. Avgjør for hvilke grafen til y er henholdsvis konveks (krummer oppover og konkav (krummer nedover..9.9, Hans Petter Hornæs
4 Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. 5 Fasit, Anvendelser av derivasjon. Oppgave a f( /,så f ( / /. f(6 6 4, f (6 /( 6 /8. b Setter inn a 6, f(a f 6 og f (a f (6 /8 i lineariseringsformelen: P ( f(6 + f (6( 6 4 + ( 6 8 c (som også kan regnes sammen til P ( 8 +. 9 P (9 4 + (9 6 4 + 3/8 4.38. 8 d 5 4 3 5 5 5 3 Oppgave a Implisitt derivasjon, med produktregel på. ledd og kjerneregel på 3. ledd, gir (5y +5y + y y ( 5y+(y 5y Setter inn 8,y 4 og finner: ( 8 5 4 + ( 4 5 8y 4+4y y /. b P ( 4+ ( 8 y(, så y(7 P (7 4 + (7 8 3.9 Ved å sette inn 7får vi en. gradslikning, så i dettilfellet kan y finnes eksakt. Omgjort til desimaltall får vi y(7 3.89. Dette viser imidlertid i prinsippet en måte å finne funksjonsverdier (og f.eks. plotte implisitt gitte kurver også når vi ikke klarer å løse ut y fra likningen.
6 Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Oppgave 3 a Ved å sette inn ogy 3 iy y 5 finner vi y ( 3 5 for. Vi kan da sette inn,f( y( 3 ogf ( y ( i lineariseringsformelen P ( f(a+f (a( a: P ( 3 (. Det er ikke hensiktsmessig å regne sammen dette. b y(. P (. 3. 3.. c Setter inn. ogy 3. iy y 5 og får da y (. ( 3. 5..89. P ( 3..89(.. Da er y(. 3..89. 3.89. Kommentarer: Denne differensiallikningen kan løses i Maple, men det blir et komplisert funksjonsuttrykk som inneholder funksjoner dere neppe kjenner (Airy-funksjoner. Vi kan regne ut i Maple at y(. 3.84. Denne oppgaven viser hvordan vi kan løse denne, og mange andre, differensiallikninger numerisk. Ved å velge sprangene enda kortere enn. blir tilnærmingen bedre. Det er selvfølgelig egnet for dataprogram, ikke håndregning, å gjennomføre dette i praksis. Metoden kalles Eulers metode, oger formalisert i læreboka, formel 4..4. Oppgave 4 a De kritiske punktene er der f (.f ( 5+ 3,såvimåløse. gradslikningen 3 + +5 3 4 5. Løsningsformelen for. gradslikning gir, ( 4 ± ( 4 4( 5 4 ± 36 dvs. 5og b f ( 6, så f (5 6 5 8 <, kurven krummer nedover så dette er lokalt maksimum. f ( 6 ( 8 >, kurven krummer oppover så dette er lokalt minimum. c Siden 5og er røtter i den deriverte, er ( 5 og ( ( ( + faktorer. I tillegg må ikkefaktoren 3 foran glemmes. Dvs. f ( 3( 5( +. Kan da lage fortegnsskjema (der tykk strek betyr negativ verdi: 3 5 + 3( 5( + 5 Vi ser at ved skifterf ( fra negativ (dvs. avtagende funksjon til positiv (voksende funksjon for voksende verdier. Dermed er det (lokalt minimum for. Ved 5skifterf ( fra positiv (voksende f( til negativ (avtagende f(, så for 5 er det lokalt maksimum.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. 7 Oppgave 5 a E. ln( har en vertikal assymptoete nedover ved (dette er D(. Ved å erstatte med + blir grafen forskjøvet til venstre. b A. Denne er positiv der F er voksende og negativ der F er avtagende. c C. Denne er negativ der F krummer nedover og positiv der F krummer oppover. Kan ogås si at den er negativ der den deriverte, A(, er avtagende og positiv der den er voksende. Oppgave 6 a π/ π cos( ( π/ sin( b e ( e e c d sin( sin( ( cos(+cos( sin( sin( sin(+cos( cos( ++ ( (grensen eksisterer ikke. Grensen kan finnes ved å dividereller og nevner med, men her gjør jeg det med L Hopitals regel: 8 + ( 4 8 4 5 e ( + /( f g ln( ln( ( / Siden arctan( π/ blir siste faktor i grensen. Uttrtykket er dermed på formen (, som er et ubestemt uttrykk, men ikke på riktig form for bruk av L Hopitals regel, som kun gjelder brøker. Vi kan imidlertid ordne funksjonsuttrykket til en brøk som gir ( uttrykk ved omskrivninga (arctan( π/ arctan( π/ / ( /( + / Det siste er riktignok også et ( uttrykk, men istedenfor å blindt bruke L Hopital bør vi først rydde opp i den brudne brøken:... ( + For den siste grensen kunne vi alternativt ha dividert teller og nevner med,ogfått /(+ / /( +.
8 Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. h i ( t ( t t ( t (grensen eksisterer ikke. j t t, ikke noe ( eller ( uttrykk her. Oppgave 7 a Ved innsetting av for uttrykket som gjelder for får vi: a sin( + cos( + b +b Siden nevneren er må også telleren være det om grensen skal kunne eksistere. Det vil si at b Iså fall har vi et ( uttrykk, og kan prøve med L hopitals regel: a sin(+cos(+b L Hopital a cos( sin(, som ved innsetting av er a a slik at nå eksisterer grensen (uansett valg av a b For er teller og nevner kontinuerlige funksjoner, og vi har ikke i nevner. Derfor er f( kontinuerlig for, og problempunktet er. Definisjonen av kontinuitet for at f( f(. Siden f( fra definisjonen av f, og f( a fra a oppgaven (om b, er dette oppfylt om vi velger a,og dermed a, b Oppgave 8 a Funksjonen er voksende der y >. Siden eksponentialfunkjsone e y > ogy e y er y > ogy er voksende for alle i definisjonsområdet. b Fortegnet på y avgjør retningen på krumninga. Vi finner et implisitt uttrykk for y ved å derivere likninga y e y implisitt med hensyn på. Kjereregelen med eksponenten som kjerne, og ny kjerneregel på den deriverte av kjernen siden y er en funksjon av : y e y ( y e y y Siden e y > ogy > fra a oppgaven er y <. Det vil si at grafen er konkav i hele definisjonsområdet. Kommentar: Løsningsfunksjonen er forøvrig y ln( +. Hans Petter Hornæs