Løsningsforslag: Oppgavesett kap. 4 (1 av 2) GEF2200

Løsningsforslag: Oppgavesett kap. 4 (1 av 2) GEF2200 s.m.blichner@geo.uio.no Oppgave 1: Bølgelengder og bølgetall (Vi går IKKE gjennom disse på gruppetimen) a) Hva er sammenhengen mellom bølgelengde og bølgetall? Disse er omvendt proporsjonale. ν = 1 λ Figur 1 viser emisjonsspektra fra to ulike legemer. Spekter A i Figur 1(a) viser emittert intensitet som funksjon av bølgelengde, λ, mens spekter B i Figur 1(b) viser emittert intensitet som funksjon av bølgetall, ν. b) Se på x-aksen i Figur 1(a). Må vi gå mot høyre eller til venstre for å finne mer energirik, kortbølget stråling? Bølgelengde langs x-aksen: jo MINDRE bølgelengde, jo mer energirik strålig. Vi må altså gå mot VENSTRE på x-aksen for å finne mer energirik stråling. c) Se på x-aksen i Figur 1(b). Må vi gå mot høyre eller til venstre for å finne mer energirik, kortbølget stråling? Bølgetall langs x-aksen: jo STØRRE bølgetall, jo mer energirik strålig. Vi må altså gå mot HØYRE på x-aksen for å finne mer energirik stråling. 1

(a) Spekter A (b) Spekter B Figure 1: Emisjonsspektra fra to ulike legemer e) Spekteret i Figur 1(a) illustrerer intensiteten som stråler ut fra solen, mens spekteret i Figur 1(b) illustrerer intensiteten som stråler ut fra jorden (Begge er noe forenklet). Det er vanlig å benytte bølgelengde oppgitt i µm langs x-aksen for solspekteret, og bølgetall oppgitt i cm 1 langs x-aksen for jordspekteret. Hvorfor tror du det er slik? (Hint: Se figur 4.6 i læreboken) Fra Figur 4.6 i læreboken ser vi at kurven flates ut når temperaturen til legemet som emitterer strålingen avtar. Selv om vi tar hensyn til jordens atmosfære vil jordens temperatur fortsatt ligge under 300 K, hvilket vil tilsvare en veldig flat og langstrakt kurve dersom vi hadde plottet den som funksjon av bølgelengde. Det hadde derfor vært vanskelig å se endringene i intensitet som funksjon av endret bølgelengde i en slik figur. Det å endre til bølgetall langs x-aksen har litt av den 2

samme effekten som når man gjør aksen logaritmisk. Dette ser man tydeligere i Figur 4.31 i læreboken. Her ser vi at aksen moses sammen for lengre bølgelengder, hvilket gjør det lettere for oss å illustrere endringene i intensiteten i en figur. d) Hvilke typer stråling emitterer henholdsvis solen og jorden mest av? Solen: emitterer mest VIS, men også mye UV og NIR. Ser at toppen er ved ca 0,5 µm, altså blått/grønt, synlig lys. Jorden: emitterer IR. Oppgave 2: Radians og irradians a) Hva er en romvinkel? Romvinkel = Arealet til projeksjonen av et legeme ned på en enhetskuleflate. Det totale arealet av en enhetskuleflate (altså et kuleskall med radius 1) er A = 4πr 2 = 4π1 2 = 4π. Ser vi på en hel sfære får vi altså romvinkelen 4π, mens en halv sfære (en hemisfære) tilsvarer 2π. Enheten er steradian (sr). Fra Figur 2 ser vi at to objekter med ulik størrelse og fasong kan gi samme romvinkel dersom de er i ulik avstand fra observatøren og enhetskuleskallet. Figure 2: Romvinkelen ω (grått område). Begge objektene gir den samme romvinkelen, til tross for ulik strrelse og fasong. 3

b) Definer følgende størrelser og oppgi tilhørende enheter: Monokromatisk intensitet, I λ, sier hvor mye strålingsenergi de i bølgelengdeintervallet dλ fra romvinkelen dω som passerer normalt på arealet dacosθ i løpet av tiden dt. Matematisk er dette gitt som I λ = Enheten blir Wm 2 µm 1 sr 1. d 4 E da cos θdtdλdω Intensitet (radians), I, får vi ved å integrere den monokromatiske intensiteten over det bølgelengdeintervallet vi er interesserte i. Enheten blir Wm 2 sr 1. I = λ2 λ 1 I λ dλ Monokromatisk flukstetthet, F λ, sier hvor mye strålingsenergi de i bølgelengdeintervallet dλ som passerer normalt på arealet da i løpet av tiden dt, men fra flere romvinkler. Dette blir det samme som å integrere opp de monokromatiske intensitetene for alle romvinklene vi vil se på. Matematisk får vi at Enheten blir Wm 2 µm 1. d3 E F λ = dadtdλ = I λ cos θdω ω Flukstetthet (irradians), I, får vi ved å integrere den monokromatiske flukstettheten over det bølgelengdeintervallet vi er interesserte i. Enheten blir Wm 2. F = 4 λ2 λ 1 F λ dλ

c) Se på Figur 4.3 i læreboken og vis at en liten endring i romvinkelen ω er gitt som dω = sin θdθdφ Endret romvinkel, dω, kan skyldes endret senitvinkel, dθ, eller endret azimutvinkel, dφ. Figur 3 illustrerer dette. dω kan tilnærmes som en firkant med sidene a og b, som finnes ved å bruke buelegndeformelen Dette gir oss at vinkel = buelengde radius dθ = b 1 Og at dφ = a x Løser disse mhp a og b og multipliserer for å finne dω. For å finne x bruker man at sin θ = x. Dermed får vi at 1 dω = a b = sin θdφ dθ dω = sin θdθdφ d) Oppgave 4.14 i boka Vi finner irradiansen ved å integrere monokromatisk irradians over alle bølgelengder. I dette tilfellet kan vi uttrykke integralet som en sum: F = F λ dλ λ = i F λ,i λ i = (1, 0 (0, 50 0, 35) + 0, 5 (0, 70 0, 50) + 0, 2 (1, 00 0, 70)) Wm 2 = 0, 31Wm 2 5

Figure 3: endring i romvinkelen ω som konsekvens av endret senitvinkel, θ, eller endret azimutvinkel, φ. e) Hva betyr isotropisk stråling? Isotropisk stråling betyr at intensiteten på strålingen ikke varierer med romvinkelen. Den er lik uansett hvilken retning vi ser på. f) En målestasjon som måler monokromatisk flukstetthet, F λ er plassert i et område med fjell på alle kanter slik at horisonten ikke ligger ved senitvinkelen 90, men ved 80 (se Figur 4). Dette gjør at himmelen ikke utgjør en romvinkel på 2π som vist i eksempel 4.1 i boken, men litt mindre. Stasjonen blir bestrålt med isotropisk, monokromatisk intensitet, I λ. Beregn den monokromatiske flukstettheten F λ som målestasjonen mottar. Figure 4: målestasjon som ligger omkranset av fjell på alle kanter. Vinkelen på 10 gir oss en horisont med senitvinkel på 80, altså 4π/9. Vi får derfor at 6

2π F λ = 0 = I λ 2π 4π/9 0 4π/9 0 I λ cos θ sin θdθdφ cos θ sin θdθ Substituerersli at integrasjonen bli enklere. u = cos θ du = sin θdθ. Grensene endres også: cos ( ) 4π 9 0, 174, cos 0 = 1 g) F λ = I λ 2π = I λ 2π 1 2 = 0, 97πI λ 0,174 1 udu ( (0, 174) 2 1 2 ) ) Stråling sendes ut fra et legeme. Hvordan har intensiteten og flukstettheten endret seg når vi er i avstanden d unna legemet? Knytt the inverse square law inn i forklaringen. Med mindre strålen ikke har blitt svekket av f.eks. absorbsjon eller spredning vil intensiteten forbli den samme. Dette ser vi fra Figur 2. Selv om avstanden og kuleskallet vil øke desto lenger unne kilden vi kommer, vil også arealet romvinkelen utgjør på kuleskallet øke tilsvarende mye. Flukstettheten, derimot, sier hvor mye energi som transporteres gjennom kuleskallet per arealenhet. Siden kuleskallet øker med kvadratet av avstanden til kilden (A kule = 4πr 2 ), vil energi per areal følgelig avta med kvadratet av avstanden til kilden. Dette kaller vi the inverse square law, F d 2 Oppgave 3: Sortlegemestråling a) (fra eksamen 2007) Hva er et sortlegeme? Hvilke(t) av disse kan tilnærmes som sortlegeme(r): jorden 7

solen atmosfæren Et sortlegeme er et legeme som absorberer all stråling som treffer det. Ikke noe av strålingen vil reflekteres eller transmitteres. Ingen av disse legemene er perfekte sorte legemer, men både jorden og solen kan tilnærmes som det. Atmosfæren, deriomot, transmitterer nesten all kortbølget stråling som kommer fra solen, og vi kan følgelig ikke tilnærme atmosfæren som et sort legeme. b) Skriv opp følgende lover/funksjoner og fortell kort hva de beskriver og hvilke matematiske sammenhenger det er mellom dem: c) Plancks funksjon: Likning (4.10) i boken. Beregner den monokromatiske intensiteten (B λ er det samme som I λ, men for et sort legeme) som emitteres fra et sort legeme med temperaturen T. Plotter man denne mot bølgelengden λ får man emisjonsspekteret til det sorte legemet som vist i Figur 4.6 i boken. Wiens lov: Likning (4.11) i boken. Gir oss bølgelengden λ m som det emitteres mest I λ av. Dette vil være toppunktet på kurven i Figur 4.6 i boken. Finner denne ved å derivere Plancks funksjon mhp på λ, sette uttrykket lik null, for så å løse det mhp λ. Desto høyere temperatur, desto kortere er λ m. Stefan Boltzmanns lov: Likning (4.12) i boken. Gir oss flukstettheten emittert fra et sort legeme med temperaturen T. Denne får vi ved å integrere Planckfunksjonen over alle romvinkler (for å finne den monokromatiske fluktettheten) og over alle bølgelengder (for å finne den totale flukstettheten). Flukstettheten til solstrålingen som treffer toppen av jordens atmosfære er gitt ved solarkonstanten F s = 1368 Wm 2. Jordens radius er gitt ved R E = 6, 371 10 6 m. 1. Hvor mye energi mottar jorden fra solen hvert sekund, dersom man ser bort ifra jordens albedo? 2. Hvor stor irradians må jorden emittere for at den skal være i strålingslikevekt dersom den mottar energien du beregnet under forrige punkt? (Her ser vi bort ifra jordens albedo) 3. Jordens sortlegemetemperatur er -18 C. Vis at den planetære albedoen er 0,3. 8

1) 2) 4. Hvordan kan det ha seg at gjennomsnittstemperaturen ved bakken er 15 C, når sortlegemetemperaturen bare er -18 C? E = A F da = F s A tverrsnitt jord = 1368Wm 2 π (6, 371 10 6 m ) 2 = 1, 74 10 17 W 3) F E 4πR 2 E = F s πr 2 E F E = F s 4 F E = 342 Wm 2 4) (1 A) F s πr 2 E = σt 4 4πR 2 E A = 1 4σT 4 A = 0, 3 Drivhuseffekten. Noe av den emitterte jordstrålingen absorberes og reemitteres av atmosfæren. 1 Oppgave 4 a) Definer begrepene monokomatisk... F s 9

Monokromatisk emissivitet: Hvor mye monokromatisk intensitet et legeme emitterer sett i forhold til hvor mye monokromatisk intensitet et sort legeme med samme temperatur ville ha emittert. ɛ λ = I λ(emittert) B λ (T ) Monokromatisk absorptivitet: Forholdet mellom hvor mye monokromatisk intensitet som blir absortbert av et legeme og hvor mye monokromatisk intensitet som kommer inn til legemet. α λ = I λ(absorbert) I λ (inn) Monokromatisk reflektivitet: Forholdet mellom hvor mye monokromatisk intensitet som blir reflektert av et legeme og hvor mye monokromatisk intensitet som kommer inn til legemet. R λ = I λ(reflektert) I λ (inn) Monokromatisk transmissivitet: Forholdet mellom hvor mye monokromatisk intensitet som blir transmittert gjennom et legeme og hvor mye monokromatisk intensitet som kommer inn til legemet. T λ = I λ(transmittert) I λ (inn) b) Oppgave 4.15 Siden flaten er ugjennomsiktig vil det ikke transmitteres stråling, og dermed vil alt som ikke blir absorbert bli reflektert. Reflektansene blir følgelig R λ = 1 for strålingen med λ < 0, 70 µm og R λ = 0 for strålingen med λ > 0, 70 µm. Dermed får vi at den reflekterte flukstettheten bare kommer fra bølgelengder med λ < 0, 70 µm. Den reflekterte flukstettheten blir F reflektert = 1 (1, 0 (0, 50 0, 35) + 0, 5 (0, 70 0, 50)) Wm 2 F reflektert = 0, 25 Wm 2 10

c) Et ikke-sort legeme (A) antas å stråle med samme emissivitet ved alle bølgelengder. Vi antar at dette legemet stråler med samme irradians/flukstetthet, F, som et sort legeme (B). Hvilket av de to legemene (A eller B) har den høyeste temperaturen? Begrunn svaret. Vi har at Siden irradiansene er like før vi at F A = ɛ A σt 4 A F B = σt 4 B F A = F B ɛ A σt 4 A = σt 4 B T A = T B 1 4 ɛa Vi har at ɛ A < 1 4 ɛ A < 1 1 4 ɛa > 1, hvilket gir oss at T A > T B. d) På toppen av et ikke-reflekterende, absorberende atmosfærisk lag er innstrålingen I λ,1 = 5 Wm 2 µm 1 sr 1. I λ,2 = 3 Wm 2 µm 1 sr 1 slipper gjennom laget. Hva er transmissiviteten (T λ ) og absorptiviteten (α λ ) for dette laget? e) T λ = 3 Wm 2 µm 1 sr 1 5 Wm 2 = 0, 6 µm 1 sr 1 α λ = 1 0, 6 = 0, 4 Hva sier Kirchhoffs lov, og når gjelder den? Kirchhoffs lov sier at den monokromatiske emissiviteten er lik den monokromatiske absorptiviten, ɛ λ = α λ, dersom vi har et legeme i termodynamisk likevekt. Legg merke til at: 1. ɛ λ og α λ ikke trenger ikke å være de samme for alle bølgelengder, men for en gitt bølgelengde er de like. 11

2. Kirchhoffs lov gjelder ikke bare for sorte legemer. ɛ λ og α λ vil være 1 for sorte legemer og mellom 0 og 1 for grå legemer. 3. Selv om gasser i atmosfæren ikke trenger å være i termodynamisk likevekt (siden de kanskje emitterer mer enn de absorerer, eller motsatt ikke strålingslikevekt ikke termodynamisk likevekt) kan de tilnærmet være det dersom energioverføringene pga emisjon/absorbsjon er mye mindre enn energioverføringene pga kollisjoner. Da sier vi at de er i lokal termodynamisk likevekt (LTE), og vi kan bruke Kirchhoffs lov. Oppgave 5 a) Blått lys med bølgelengde λ = 0, 5 µm spres av luftmolekyler med radius 10 4 µm. 1. Hva slags type spredning er det snakk om? 2. Hvilke av figurene i Figur 4.12 i boken stemmer best overens med denne typen spredning? 3. Hvordan endres spredningseffektiviteten K λ med bølgelengden i dette spredningsregimet? 1. Beregner størrelsesparameteren x = 2πr λ = 2π10 4 µm 0, 5 µm = 1, 25 10 3 Vi ser at x << 1, men den er ikke så liten at den blir neglisjerbar. Dette tilsvarer Rayleighspredning. 2. Se Figur 4.12a i boken. Her ser vi at med λ = 0, 5 µm og r = 10 4 µm vil det spres like mye fremover som bakover, men litt mindre på sidene. Dette skjer når blått lys treffer luftmolekyler. 3. For Rayleighspredning har vi at K λ λ 4, hvilket betyr at spredningeffektiviteten øker kraftig når bølgelengden avtar. Det betyr at blått lys spres mye mer enn rødt lys av luftmolekylene. 12

b) Forklar disse fenomenene: Blå himmel Rød solnedgang Blå himmel: Av det synlige lyset som solen sender ut vil luftmolekylenes spredningsekkeftivitet styres ut ifra K λ λ 4, hvilket betyr at det lilla lyset spres mest, mens det røde spres minst. Fra Figur?? ser vi da at en person som står på bakken vil motta lilla lys fra nesten alle luftmolekylene, mens han bare vil motta rødt lys fra luftmolekylene som ligger på linje med solen. Grunnen til at himmelen derimot ser blå ut, og ikke lilla kommer av at solen emitterer mye mer blått lys enn lilla lys. Rød solnedgang: Når solen nærmer seg horisonten skal lyset passere mye atmosfære før de treffer personen i Figur??. Siden det blå lyset spres til alle kanter av alle luftmolekylene på veien vil det nesten ikke være noe blått lys igjen når lyset kommer til personen. Det røde lyset, derimot, spres mer rett frem, og vil derfor rekke frem til personen. Oppgave 6 a) Hva er broadening, og hvorfor er dette interessant med tanke på klimaproblemet? Fra kvantefysikken vet vi at når molekyler/atomer skrifter energitilstand emitteres/absorberes energi tilsvarende energiforskjellen mellom energinivåene. Disse nivåene er kvantisierte, hvilket betyr at bølgelengden til den emitterte/absorberte energien også bare kan ha diskrete verdier. Plotter vi denne absorbsjonen/emisjonen som funksjon av bølgelengden vil vi bare få linjer ved bølgelengdene hvor vi har absorbsjon og verdien null ellers. Men dersom atomene/molekylene mottar eller avgir energi (pga kollisjoner) i det de absorberer/emitterer stråling, eller holder en viss hastighet relativt til kilden den mottar stråling fra, vil atomene/molekylene kunne kunne skrifte energitilstand selv om energien i strålingen egentlig ikke tilsvarer energiovergangen. Da vil plottet av absorpsjonslinjene ikke bare se ut som rette linjer, med de vil bre seg utover og få en klokkeform (se figur 4.21 i boken). Selv om det f.eks er så mye CO 2 i atmosfæren at den absorberer all energi som blir emittert fra jorden med λ = 15 µm (dvs at k λ=15µm = 1), vil det fortsatt ha noe å si om vi slipper ut mer CO 2. Dette fordi mer CO 2 også kan absorbere de bølgelengdene som ligger like ved 15 µm. 13

b) Hvilke typer broadening har vi, og hvor i atmosfæren dominerer de ulike typene? Doppler broadening: dominerer over 50 km (altså over stratosfæren). Mottakeren av strålingen beveger seg med en så stor hastighet i forhold til kilden at strålingen oppfattes som mer kortbølget (beveger seg mot kliden) eller mer langbølget (beveger seg fra kilden) enn det den egentlig er. (Blå kurve i Figur 4.21 i boken) Pressure broadening: dominerer under 20 km (altså i troposfæren). Mottakeren av strålingen kolliderer i det den mottar strålingsenergi. Dersom denne strålingsenergien er litt for lav eller litt for høy til å utføre en eksitasjon kan eksitasjonen likevel utføres dersom mottakeren avgir/får kollisjonsenergi som tilsvarer differansen mellom strålingsenergien og det som skal til for å utføre eksitasjonen. (Rød kurve i Figur 4.21 i boken) 14