FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015
Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010 som spør litt fra forskjellige deler av pensum (se på det som nyttig repetisjon), den andre delen er identisk med den andre halvdelen av eksamen våren 2005 og handler om angulærmoment og erpartikkelsystemer. Oppgave 1 a) Skriv ned dispersjonsrelasjonen ω(k) til en fri, ikke-relativistisk partikkel. Regn ut gruppe- og fasehastigheten og vis at det er gruppehastigheten som svarer til partikkelens hastighet. og k = p h. Vet at energien til en fri ikke- Svar: Har relasjonene ω = Ē h relativistisk partikkel kan skrives E = p2 2m og får ω = p2 v f = ω(k) k v g = dω(k) dk = hk 2m = 2 hk 2m = hk m = p m = v klassisk 2m h = h2 k 2 2m h = hk2 2m b) Anta at vi har et sett med bølgefunksjoner ψ s,ms som er egenfunksjoner for det totale spinnet og dets zkomponent, det vil si der s = 1/2. Vi ser på superposisjonen Ŝ 2 ψ s,ms = h 2 s(s + 1)ψ s,ms, (1) Ŝ z ψ s,ms = hm s ψ s,ms, (2) ψ(x) = A m s m s ψ s,ms, (3) hvor A er en normeringskonstant. Hva er de tillatte verdiene for m s? Er ψ(x) en egenfunksjon for henholdsvis Ŝ2 og Ŝz? Begrunn svaret.
Svar: De tillatte verdiene for m s er m s = ± 1 2. 1 ψ(x) = A 2 ψ s, 1 ] Ŝ 2 ψ(x) = A Ŝ 2 1 2 ψ s, 1 ] Ŝ2 = A h 2 s(s + 1) 1 2 ψ s, h 2 s(s + 1) 1 ] 1 = h 2 s(s + 1)A 2 ψ s, 1 ] = h 2 s(s + 1)ψ(x) ψ(x) er en egenfunksjon for ] Ŝ2 1 Ŝ z ψ(x) = A Ŝ z 2 ψ 1 s, Ŝz = A ( h 1 2 )1 2 ψ s, ( h 1 ] 2 )1 ψ(x) er ikke en egenfunksjon for Ŝz Da Ŝ2 gir ut en egenverdi ganget med ψ(x) er ψ(x) en egenfunksjon for Ŝ2. Dette er ikke tilfellet for Ŝz. c) Et nøytron i en atomkjerne kan bevege seg over et område med en utstrekning på omlag 5 fm. Bruk uskarphetsrelasjonen til å estimere hvilke hastigheter man kan forvente å måle for dette nøytronet. Svar: Ser i én dimensjon at maksimalt er σ x = 5fm, fra heisenbergs uskarphetsrelasjon vil Antar derifra en p i området σ p σ x σ p h 2 σ p h = h 10 14 2σ x v = p m = h 1014 1.67 10 27 6.3 106 ms 1 ] Svar: d) En partikkel med masse m beveger seg fritt i tre dimensjoner. Skriv ned Hamiltonoperatoren for partikkelen og forklar hvorfor de stasjonære tilstandene har skarpt angulærmoment (L 2 og L z ). Ĥ = h2 2m 2 Man kan se på potensialet i en fri partikkel som et sentralsymmetrisk potensiale der V (r) = 0. For et sentralsymmetrisk potensiale vet vi at ˆL 2 og ˆL z kommuterer med Ĥ og har derfor skarpt angulærmoment.
Oppgave 2 Vi skal i denne oppgaven se på et en-dimensjonalt problem med en partikkel med masse M som beveger seg på en sirkel med radius R. a) Bruk det klassiske uttrykket L z = MvR til å uttrykke partikkelens kinetiske energi ved hjelp av L z. Bruk deretter substitusjonen L z ˆL z = i h / φ til å vise at Svar: L z = MvR = pr Ĥ = h2 2 2MR 2 φ 2. (4) E = p2 2M = L2 z 2MR 2 ˆL2 Ĥ = Ê = z 2MR 2 = h2 2 2MR 2 φ 2 b) Vis at ψ k (φ) = N k e ikφ, (5) er en løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen og samtidig egenfunksjon for ˆL z. Bestem normeringskonstanten N k. Det er disse løsningene vi skal bruke i resten av oppgaven. Svar: ˆL z ψ k (φ) = i h φ ψ k(φ) = (ik)ψ k (φ) Normaliserer: 2π 0 Eψ k = Ĥψ k = h2 2MR 2 2 φ 2 ψ k = h2 2MR 2 (ik)2 ψ k E = h2 k 2 2MR 2 ψ k (φ)ψ k(φ)dφ = N 2 k N k = 1 2π 2π 0 e ikφ e ikφ dφ = N 2 k 2π
Svar: c) Siden partikkelen lever på en sirkel, må vi identisere vinklene φ og φ+2π som samme punkt i rommet. Bølgefunksjonen må derfor ha samme verdi for begge disse argumentene (krav om entydighet). Formuler det matematiske kravet dette gir for bølgefunksjonen og vis hvilken betingelse dette gir for tillatte verdier av k. Skriv ned de tilsvarende kvantiserte verdiene for partikkelens angulærmoment L z og energi E k. Hva er degenerasjonsgraden til E k? ψ k (φ) = ψ k (φ + 2π) e ikφ = e ikφ e ik2π 1 = e ik2π e in2π = e ik2π n = 0, ±1, ±2, ±3,.. n = k k = 0, ±1, ±2, ±3,.. Får da L zk = ik og E k = h2 k 2 2MR 2 gitt ved k = 0, ±1, ±2, ±3,.. Da E k k 2 vil alle negative og positive k gi lik energi. Derfor er degenerasjonen lik 2 for alle k utenom k = 0 med degenerasjon lik 1. Vi antar nå at det benner seg to partikler i systemet, og at disse er spinn- 1 2 fermioner. Vi ser bort fra eventuelle vekselvirkninger mellom dem. d) Formuler Paulis eksklusjonsprinsipp. Svar: Bølgefunksjonen til to identiske fermioner er nødt til å være antisymmetrisk. e) Anta at de to partiklene benner seg i hver sin angulærmomenttilstand k 1 og k 2 der k 1 k 2. Skriv ned de mulige to-partikkel-bølgefunksjonene. Spesiser både rom- og spinndel. Normér romdelen. Skriv ned egenenergien for tilstanden. Svar: For kortere notasjon deneres: Romdel ψ = A ψ k1 (φ 1 )ψ k2 (φ 2 ) ψ k1 (φ 2 )ψ k2 (φ 1 )] ψ + = A ψ k1 (φ 1 )ψ k2 (φ 2 ) + ψ k1 (φ 2 )ψ k2 (φ 1 )] Spinndel χ :,, + Symmetrisk Antisymmetrisk
Kombinasjoner av disse gir ψ + (6) ψ + (7) ψ + + (8) ψ + (9) ψ (10) ψ (11) ψ + (12) ψ (13) Men her vil (6),(7),(8) og (13) være symmetriske som ikke er lov fra Paulis eksklusjonsprinsipp. Ved normering fås ψ ψ = ψ k1 ψ k1 ψ k2 ψ k2 ψ k1 ψ k2 ψ k2 ψ k1 ψ k2 ψ k1 ψ k1 ψ k2 + ψ k2 ψ k2 ψ k1 ψ k1 = A 2 + 0 + 0 + A 2 ψ + ψ + = ψ k1 ψ k1 ψ k2 ψ k2 + ψ k1 ψ k2 ψ k2 ψ k1 + ψ k2 ψ k1 ψ k1 ψ k2 + ψ k2 ψ k2 ψ k1 ψ k1 = A 2 + 0 + 0 + A 2 1 = 2A 2 A = 1 2 Fra energiuttrykket i c) får vi nå E k = h2 (k 2MR 2 1 + k 2 ) 2.