UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: MEK3220/MEK4220 Kontinuumsmekanikk Eksamensdag: Onsdag 2. desembe 2015. Tid fo eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet e på 7 side. Vedlegg: Tillatte hjelpemidle: Ingen Rottman: Mathematische Fomelsamlung, godkjent kalkulato. Kontolle at oppgavesettet e komplett fø du begynne å besvae spøsmålene. Alle sva må begunnes. Sva som f.eks ja/nei elle venste/høye telle ikke som sva. Fomelak ligge bakest. Oppgave 1. (10 poeng) a) Utled Navie s elastisitetslikning fa Cauchy s likevektslikning og Hooke s lov. (10 poeng) b) Anta Hooke s lov og beegn nomal og skjæspenning med hensyn på planet z = 0. (10 poeng) c) Anta Hooke s lov og egn ut spenning fo en stiv bevegelse i 2D. Stiv bevegelse i 2D e som følge: ( ) ( ) y a u = c + x b (Fotsettes side 2.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 2 b U a z Figue 1: Stømning mellom to sylindee hvo den ene bevege seg. Oppgave 2. I denne oppgaven skal vi se på stømningen mellom to sylindee (med adius a og b), hvoav den inde bevege seg med (stasjonæ) hastighet U, som vist i Figu 1. Væsken e inkompessibel og Newtonsk. (10 poeng) a) Buk kontinuitetslikningen og θ-komponenten til Navie-Stokes likninge til å agumentee fo at stømningen i dette tilfelle vil væe på fomen: u = u z ()e z, gitt at stømningen e stasjonæ, z-uavhengig, og otasjonelt symmetisk (θ-uavhengig). (10 poeng) b) Utled analytisk løsning fo hastighet unde foutsetning av at tykket e 0. (10 poeng) c) Anta nå at stømningen utsettes fo et tykkfall slik at p = βe z, hvo β e konstant, og egn ut analytisk løsning. (10 poeng) d) Regn ut nomal- og skjæ-spenningen på veggene. Oppgave 3. En masse M e plasset på en stav, som vist i figu 2. Vi se bot fa vekten til staven. (HINT: Det kan lønne seg å egne i katesiske koodinate så lenge som mulig.) (Fotsettes side 3.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 3 (10 poeng) a) Staven ha et undt tvesnitt med adius R, en lengde L og e laget av gull. Nå staven belastes, så vil en kaft M g vike på staven i z-etning, se figu 2. Vi anta at stess tensoen e gitt ved σ xx = σ yy = σ xy = σ yz = σ zx = 0, σ zz = σ 0, (1) hvo σ 0 = Mg πr, (2) 2 og g e tyngdens akseleasjonen (g = 9.81m/s 2 ). Beegn foskyvingsveltet u = (u, v, w) fo en stav med Youngs modul E og Poisson atio ν. Hva e lengde L og adius R til staven ette belastning? Anta at maksimal spenning (yield stess) som gull tåle e 100 MPa. Hva e maksimal vekt M max som en stav med adius R = 3.5mm kan bæe? (20 poeng) b) I paksis vise seg det at staven knekke ved belastninge som e mye minde enn M max. Åsaken e at staven bøyes som vist i figu 3. Vi ønske å se næmee på poblemet og finne en passende adius R til en stav som tåle en gitt vekt M. Staven ha lengde L. Vi gå fem på følgende måte: Anta at y-komponenten til momentet M y i staven e gitt ved: M y (z) = u(z)mg og finn diffeensiallikningen fo den hoizontale foskyvingskomponenten u(z). Anta null foskyvning (elle fitt opplaget) i z = 0 og z = L og videe at u(z) = sin(ωz). Finn mulige vediene til ω som oppfylle andbetingelsen. Finn den minste vedien til M som oppfylle diffeensiallikningen (og andbetingelse). Beegn flateteghetsmomentet I fo en und stav med adius R, som e gitt i våt tilfelle e gitt ved: I = x 2 dxdy, (3) A 0 hvo integalet tas ove tvesnittet. Finn uttykket fo adius R. (Fotsettes side 4.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 4 z L M g 0 x Figue 2: Stav unde last. Anta at vi ha en vekt M = 150 kg. Finn tykkelsen til staven som tengs fo å bæe massen. Staven e laget av gull med E = 79 GPa og ha lengden L = 1 m. (Fotsettes side 5.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 5 z M g u e x M g x Figue 3: Knekking av stav unde last. (Fotsettes side 6.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 6 Fomle Vi buke boldface notasjon fo vektoe. 1. Youngs modul E og Poisson atio ν : Lamé paametene λ og µ e elatet til E og ν på følgende måte: E = µ (3λ + 2µ) λ + µ ν = λ 2 (λ + µ) (4) 2. Hooke s lov fo et isotopt mateiale 3. inves Hooke s lov: 4. Newtonsk væske: σ ij = λ 3 ɛ k δ ij + 2µɛ ij k=1 ɛ ij = 1 E (σ ij ν( hvo S e tøyningsate tensoen. 5. Coulomb-Saint-Venant s lov: 6. Radiell defomasjon av sylinde: (λ + 2µ) d d 3 σ kk δ ij σ ij )) k=1 σ ij = pδ ij + 2ηS ij, M t = µjτ ( 1 ) d(u ) = f, d hvo u e adiell foskyvning og f adiell kaft. (Fotsettes side 7.)
Eksamen i MEK3220/MEK4220, Onsdag 2. desembe 2015. Side 7 7. Eule-Benoulli s lov: M b = EIκ hvo κ ofte appoksimees som 1/R elle 2 y/ 2 8. Navie-Stokes likninge (og kontinuitetslikningen) fo en inkompessibelt Newtonsk væske ρ( v t + (v )v) = p + η 2 v + ρf v = 0 9. Navie-Stokes ligninge i sylinde-koodinate: ( u ρ t + u u + u ) θ u θ u2 θ + u u z z = p ( 1 + η ( u ) u + 1 2 u 2 2 θ 2 ) u θ 2 2 θ + 2 u + ρf 2 ( uθ ρ t + u u θ + u θ u θ θ + u ) u θ u θ + u z = 1 ( p 1 θ + η ( u θ ) u θ + 1 2 u θ 2 2 θ + 2 ) u 2 2 θ + 2 u θ + ρf 2 θ ( uz ρ t + u u z + u ) θ u z θ + u u z z = p ( 1 + η ( u z ) + 1 ) 2 u z 2 θ + 2 u z + ρf 2 2 z 10. Kontinuitetslikning i sylinde-koodinate: 11. Cauchy s likevektslikningen: 1 (u ) + 1 u θ θ + u z = 0 0 = j 12. Tøying in sylinde-oodinate: ɛ θ = 1 2 ɛ = u ( uθ + 1 u θ ɛ θθ = 1 ) u θ ɛz = 1 2 SLUTT x j σ ji + f i u θ ( θ u + u + uz ) ɛθz = 1 2 ɛ zz = uz ( 1 u z θ + u θ )