EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Dato: 10.juni 2016 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: rute 12 ü oppgaver på bokmål s. 2-6, ü oppgaver på nynorsk s. 7-11 ü formelark s. 12 Frank Melandsø Telefon/mobil: 776 45666 (kontor)/ 9978 6050 (mobil) NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no

Oppgave 1 (bokmål) i skal i denne oppgaven se på elektrostatiske felter mellom to store ledende plater som ligger parallelt ovenfor hverandre. a) La oss først anta at vi plasserer en ledende kule i midten mellom de ledende platene som vist i Fig. 1. Her viser Fig. (a) og (b) henholdsvis systemet i 3D og som en 2D-skisse gjennom sentrum av kula. (a) a a (b) -Q f d Q f Fig 1: Skisse av ledende kule mellom to ledende plater SP1: Ta utgangspunkt i Fig. 1 (b) og illustrer hvordan de elektriske feltlinjene vil gå hvis vi antar at kula totalt har null fri ladning og vakuum mellom platene. is også tydelig i skissen hvor du forventer å finne frie ladninger og angi fortegnet til disse. I skissen skal man anta at alle ledere er perfekte og at den nedre og øvre platen er tilført henholdsvis en total positiv og negativ fri ladning Q!. Illustrasjonen krever ingen begrunnelse i form av for eksempel utledninger eller formler. b) i tar nå bort kula og fyller hele rommet mellom de ledene planene med to dielektriske medier med permittiviteter ε! og ε!. Mediene antas avgrenset av et plan parallelt med elektrodeplanene, der avstand fra øvre og nedre elektrode er den samme (). Et 2D-snitt gjennom systemet er vist i Fig. 2. ε 1 σ f ε 2 σ f Fig. 2: To dielektriske medier mellom ledende plater idere antar vi at de elektriske vektorfeltene E og D i begge mediene er relatert ved likningen D = ε E (1) der permittiviteten ε er en skalar. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 2

SP2: Forklar kort hvilke antagelser som ligger bak relasjon (1) og gi minst et eksempel på medier der (1) ikke kan brukes. SP3: Ta utgangspunkt i Fig. 2 og illustrer hvor du forventer å finne bundne ladninger (polarisasjonsladninger) når ε! < ε!. Angi også fortegn på di bundne ladningene når den frie ladningstettheten σ! = Q! /a! i Fig. 2 antas positiv. c) i skal videre anta at avstanden mellom platene er liten i forhold til platenes bredde (d a) og at ladningen er distribuert uniformt utover platene. SP4: Bruk disse antagelsene sammen med Gauss lov og en passende integrasjonsflate, til å vise at normen til de elektriske feltene er gitt ved E! = σ! /ε! og E! = σ! /ε! i henholdsvis medium 1 og 2. SP5: Finn også et uttrykk for den bundne ladningen på grenseflaten mellom medium 1 og 2 som funksjon av permittivitetene og σ!. (Hint: Ta utgangspunkt i Gauss lov for E-feltet og benytte en passende grenseflate). d) De ledende planene kobles nå til en DC spenningskilde som gir et konstant potensiale > 0 på nedre plate og = 0 på øvre plate (se Fig. 3). ε 1 σ f 0 ε 2 σ f Fig. 3: Ledende plater koblet til DC spenningskilde SP6: Beregn kapasitansen C til systemet i Fig. 3 og vis at denne kan uttrykkes som C = 2 a! ε! ε! (ε! + ε! ) d e) i skal tilslutt fjerne begge de dielektriske materialene mellom platene mens spenningskilden er tilkoblet ( antas konstant under hele operasjonen). SP7: il den totale elektrostatiske energien øke eller minke når de dielektriske mediene fjernes (antar ε = ε! mellom platene etter at mediene er fjernet)? SP8: il den totale frie ladningen på platene øke eller minke? For de to siste spørsmålene kreves ikke detaljerte utregninger, men svaret må begrunnes for eksempel v.h.a. fysiske antagelser og/eller relevante formler. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 3

Oppgave 2 Denne oppgaven omhandler krefter og kraftmoment (dreiemoment) som virker på ledere når disse påvirkes av magnetiske felter. a) Det kan vises eksperimentelt at kraften F! som virkes på en punktladning q! som beveger seg med en hastighet v! i et magnetisk felt B, er gitt ved F! = q! v! B. (2) SP9: Ta utgangspunkt i likning (2) og vis at den magnetiske kraften F som virker på en leder med konstant tverrsnitt kan omformes til linjeintegralet F = I! dl B. (3) I denne likninger er I strømmen gjennom lederen mens dl et lite linjeelement langs konturen C som peker i positiv strømretning. b) La oss nå anta en strøm som beveger seg rundt i en sirkelbane i xy-planet mot klokka som vist i Fig. 4. I hele oppgaven skal vi anta at B er konstant og uniform med retning langs y-aksen (B = B! a! ). a y r ɸ dl B a x Fig. 4: Sirkulær strømsløyfe i et konstant magnetfelt SP10: is at kraften df som virker på linjeelementet dl i Fig. 4 kan skrives som df = I r B! sin φ dφ a! (4) der a! er en enhetsvektor i z-retningen og bruk dette uttrykket til å finne den totale kraften F som virker på strømsløyfen. c) SP11: Finn det totale dreiemomentet τ for rotasjon av strømsløyfa rundt x-aksen og vis at uttrykket du er kommet frem til er ekvivalent med den generelle formelen τ = m B der m det magnetiske dipolmomentet m = πr! I a!. (Hint: Dreiemomentet dτ som virker på linjestykket dl er gitt ved dτ = r df.) UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 4

d) SP12: Forklar (for eksempel ved hjelp av en figur) hvordan man kan lage en enkelt elektromotor basert på sirkulære strømsløyfer. Ta med alle komponenter som er viktige hvis motoren skal kunne drives av en DC-spenning (for eksempel et batteri). Oppgave 3 I den siste oppgaven vil vi se på hvordan gjensidig induksjon kan brukes til å måle den totale strømmen i senterlederen I! til en koaksial kabel. Kabelen vist gjennom 2D snittflater i Fig. 5, har også en skjerm (ytre leder) der det vil gå en like stor, men motsatt rettet strøm. i vil betrakte kabelens senterleder og skjermen som en strømsløyfe (heretter kalt sløyfe 1). For å kunne måle I!, lages det en liten åpning gjennom skjermen der det settes inn en rektangulær strømsløyfe (sløyfe 2) i rommet mellom senterleder og skjerm. Sløyfe 2 legges i et plan som går gjennom sentrum av kabelen som vist i Fig. 5 (a). Den rektangulære strømsløyfa er også tegnet inn i Fig. 5 (b) som viser et 2D snitt normalt på kabelens lengderetning. For sløyfe 2 er det koblet inn en resistans R slik at vi kan måle en spenning over denne [se Fig. 5 (a)]. (a) (b) a I 1 I 1 b d l I 2 -I 1 -I 1 R Fig. 5: Skisse av koaksial kabel med en rektangulær strømsløyfe innsatt. a) Det oppgis at B-feltet i hele rommet kan tilnærmes med μ! I! B = 2π r a! for a r b 0 ellers. Her er r er avstanden fra kabelens sentrum, μ! er permeabiliteten i vakuum, a! enhetsvektoren i asimut retning, a radius til indre leder og b radiell avstand fra sentrum til indre kant av skjermen som vist i Fig. 5 (a). (5) SP13: Nevnt minst 3 fysiske forutsetninger som må være tilstede for at likning (5) kan brukes som en god tilnærming. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 5

b) SP14: Angi også i en figur hvilken retning strømmen I! vil ha hvis vi anta at strømmen I! øker. Man må her argumentere for svaret, for eksempel ved å bruke Lenz lov. c) I resten av oppgaven skal vi anta at strømmen I! i sløyfe 2 kan beskrives vha. differensiallikningen L d dt I! + R I! = M d dt I!. SP15: Forklar hvor de ulike komponentene i denne ligningen kommer fra og forklar hva L er. d) SP16: Finn et uttrykk for den gjensidige induktansen M mellom sløyfene basert på likning (5) og dimensjonene angitt i Fig. 5. e) Anta videre at I! varierer harmonisk som I! = I! cos ωt med amplitude I! og angulær vinkelfrekvens ω. SP17: is at amplituden! til spenningen som måles kan uttrykkes som ω M! = 1 + ω L/R I!!. f) i ønsker å gjøre målinger i et frekvensområde der! er uavhengig av frekvensen. SP18: Angi for hvilke frekvenser slike målinger kan utføres for verdier R = 50 Ω og L = 1 nh (nano Henry). Diskuter resultatet. SP19: Diskuter også hvordan måleoppsettet kan forbedres for å utvide frekvensområdet og/eller øke M. ------------------------------------------ slutt ----------------------------------------------------- UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 6

Oppgåve 1 (nynorsk) I denne oppgåva skal vi sjå på elektrostatiske felt mellom to store leiande plater som ligg parallelt ovanfor kvarandre. a) i går først ut frå at ei leiande kule vert plassert i midten mellom dei leiande platene som vist i Fig. 1. Her viser Fig. (a) og (b) høvesvis systemet i 3D og som ei 2D-skisse gjennom sentrum av kula. (a) a a (b) -Q f d Q f Fig 1: Skisse av leiande kule mellom to leiande plater SP1: Ta utgangspunkt i Fig. 1 (b) og illustrer korleis dei elektriske feltlinjene vil gå dersom vi tenkjer oss at kula totalt har null fri ladning og vakuum mellom platene. is også tydeleg i skissa kvar du ventar å finne frie ladningar og gi forteiknet til desse. I skissa skal ein gå ut frå at alle leiarar er perfekte og at den nedre og øvre plata er tilført høvesvis ei total positiv og negativ fri ladning Q!. Illustrasjonen krev inga grunngjeving i form av til dømes utleiingar eller formlar. b) Kula vert no teken bort og heile rommet mellom dei to leiande plana vert fylt med to dielektriske medium med permittivitetar ε! og ε!. i tenkjer oss at media er avgrensa av eit plan parallelt med elektrodeplana, der avstand frå øvre og nedre elektrode er den same (). Et 2D-snitt gjennom systemet er vist i Fig. 2. ε 1 σ f ε 2 σ f Fig. 2: To dielektriske medium mellom leiande plater i går også ut frå at dei elektriske vektorfelta E og D i begge media er relatert ved likninga D = ε E (1) der permittiviteten ε er ein skalar. SP2: Forklar kort kva for nokre føresetnader som ligg bak relasjon (1) og gi minst eit døme på medium der ein ikkje kan bruke(1). SP3: Ta utgangspunkt i Fig. 2 og illustrer kvar du ventar å finne bundne ladningar UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 7

(polarisasjonsladningar) når ε! < ε!. Oppgi også forteikn på dei bundne ladningane når vi tenkjer oss at den frie ladningstettleiken σ! = Q! /a! i Fig. 2 er positiv. c) i skal deretter gå ut frå at avstanden mellom platene er liten samanlikna med breidda til platene (d a) og at ladninga er distribuert uniformt utover platene. SP4: Bruk desse føresetnadene saman med Gauss lov og ei passande integrasjonsflate, til å vise at norma til dei elektriske felta er gitt ved E! = σ! /ε! og E! = σ! /ε! i høvesvis medium 1 og 2. SP5: Finn òg eit uttrykk for den bundne ladninga på grenseflata mellom medium 1 og 2 som funksjon av permittivitetane og σ!. (Hint: Ta utgangspunkt i Gauss lov for E-felt og bruk ei passande grenseflate). d) Dei leiande plana vert no kopla til ei DC spenningskjelde som gir eit konstant potensiale > 0 på nedre plate og = 0 på øvre plate (sjå Fig. 3). ε 1 σ f 0 ε 2 σ f Fig. 3: Leiande plater kopla til DC spenningskjelde SP6: Rekn ut kapasitansen C til systemet i Fig. 3 og vis at ein kan uttrykke denne som C = 2 a! ε! ε! (ε! + ε! ) d e) i skal til slutt fjerne båe dei dielektriske materiala mellom plata medan spenningskjelda er kopla til (i går ut frå at er konstant under heile operasjonen). SP7: il den totale elektrostatiske energien auke eller minke når vi fjernar dei dielektriske media (gå ut frå at ε = ε! mellom platene etter at media er fjerna)? SP8: il den totale frie ladninga på platene auke eller minke? For dei to siste spørsmåla er det ikkje noko krav om detaljerte utrekningar, men svaret må grunngjevast til dømes v.h.a. fysiske føresetnader og/eller relevante formlar. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 8

Oppgåve 2 Denne oppgåva handlar om krefter og kraftmoment (dreiemoment) som verkar på leiarar når desse vert påverka av magnetiske felt. a) Ein kan vise eksperimentelt at krafta F! som verkar på ei punktladning q! som beveger seg med ei hastigheit v! i eit magnetisk felt B, er gitt ved F! = q! v! B. (2) SP9: Ta utgangspunkt i likning (2) og vis at den magnetiske krafta F som verkar på ein leiar med konstant tverrsnitt kan formast om til linjeintegralet F = I! dl B. (3) I denne likninga er I straumen gjennom leiaren medan dl er eit lite linjeelement langs konturen C som peikar i positiv straumretning. b) La oss no tenkje oss ein straum som beveger seg rundt i ei sirkelbane i xy-planet mot klokka som vist i Fig. 4. I heile oppgåva skal vi gå ut frå at B er konstant og uniform med retning langs y-aksen (B = B! a! ). a y r ɸ dl B a x Fig. 4: Sirkulær straumsløyfe i eit konstant magnetfelt SP10: is at ein kan skrive krafta df som verkar på linjeelementet dl i Fig. 4 som df = I r B! sin φ dφ a! (4) der a! er ein einingsvektor i z-retninga og bruk dette uttrykket til å finne den totale krafta F som verkar på straumsløyfa. c) SP11: Finn det totale dreiemomentet τ for rotasjon av straumsløyfa rundt x-aksen og vis at uttrykket du kom fram til er ekvivalent med den generelle formelen τ = m B der m er det magnetiske dipolmomentet m = πr! I a!. (Hint: Dreiemomentet dτ som verkar på linjestykket dl er gjeve ved dτ = r df.) UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 9

d) SP12: Forklar (til dømes ved hjelp av ein figur) korleis ein kan lage ein enkelt elektromotor basert på sirkulære straumsløyfer. Ta med alle komponentane som er viktige dersom ein skal kunne drive motoren ved hjelp av ei DC-spenning (til dømes eit batteri). Oppgåve 3 I den siste oppgåva vil vi sjå på korleis ein kan bruke gjensidig induksjon til å måle den totale straumen i senterleiaren I! til ein koaksial kabel. Kabelen vist gjennom 2D snittflater i Fig. 5, har også ein skjerm (ytre leiar) der det vil gå ein like stor, men motsett retta straum. i vil sjå på senterleiaren og skjermen til kabelen som ei straumsløyfe (heretter kalla sløyfe 1). For å kunne måle I!, vert det laga ei lita opning gjennom skjermen der ein set inn ei rektangulær straumsløyfe (sløyfe 2) i rommet mellom senterleiar og skjerm. Ein legg sløyfe 2 i eit plan som går gjennom sentrum av kabelen som vist i Fig. 5 (a). Den rektangulære straumsløyfa er også teikna inn i Fig. 5 (b) som viser eit 2D snitt normalt på lengderetninga til kabelen. For sløyfe 2 er det kopla inn ein resistans R slik at vi kan måle spenninga over denne [sjå Fig. 5 (a)]. (a) (b) a I 1 I 1 b d l I 2 -I 1 -I 1 R Fig. 5: Skisse av koaksial kabel med ei rektangulær straumsløyfe innsett. a) Ei tilnærming av B-feltet i heile rommet er gitt ved B = μ! I! 2π r a! for a r b 0 elles. Her er r er avstanden frå sentrum av kabelen, μ! er permeabiliteten i vakuum, a! einingsvektoren i asimut retning, a radius til indre leiar og b radiell avstand frå sentrum til indre kant av skjermen som vist i Fig. 5 (a). (5) SP13: Nemn minst 3 fysiske føresetnader som må vere tilstade for at ein kan bruke likning (5) som ei god tilnærming. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 10

b) SP14: Oppgi også i ein figur kva retning straumen I! vil ha dersom vi tenkjer oss at straumen I! aukar. Ein må her argumentere for svaret, til dømes ved å bruke Lenz lov. c) I resten av oppgåva skal vi gå ut frå at ein kan uttrykke straumen I! i sløyfe 2 vha. differensiallikninga L d dt I! + R I! = M d dt I!. SP15: Forklar kvar dei ulike komponentane i denne likninga kjem frå og forklar kva L er. d) SP16: Finn eit uttrykk for den gjensidige induktansen M mellom sløyfene basert på likning (5) og dimensjonane gitt i Fig. 5. e) i går ut frå at I! varierer harmonisk som I! = I! cos ωt med amplitude I! og angulær vinkelfrekvens ω. SP17: is at ein kan uttrykke amplituden! til spenninga som ein måler som ω M! = 1 + ω L/R I!!. f) i ynskjer å gjere målingar i eit frekvensområde der! er uavhengig av frekvensen. SP18: Oppgi kva frekvensar ein kan utføre slike målingar for når verdiane R = 50 Ω og L = 1 nh (nano Henry). Diskuter resultatet. SP19: Diskuter også korleis ein kan forbetre måleoppsettet for å utvide frekvensområdet og/eller auke M. ------------------------------------------ slutt ----------------------------------------------------- UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 11

Formelark F 12 = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 r 1 3 (r 2 r 1 ) E(r) = 1 4πε 0 E(r) = 1 4πε 0 E = ρ v ε 0 (r) = 1 4πε 0 (r) = 1 4πε 0 q ( r r ) r r 3 q r r E = 0 ( t = 0) ρ v (r )(r r ) r r 3 dv ρ v (r ) r r dv E = ( t = 0) = E dl L W E = 1 2 ρ v (r) (r)dv C = Q W E = 1 2 C 2 I = dq dt I = J ds S J = σe R = I P = I B = µ 0 4π L Idl (r r ) r r 3 B = µ 0 J ( t = 0) B = 0 B = A A(r) = µ 0 4π F = q(e + v B) L = λ I J(r ) r r dv 12 W m = 1 2 LI2 E = B t emf = dλ dt B = µ 0 J + µ 0 ε 0 E t E = A t D = ε 0 E + P H = 1 µ 0 B M E 1t E 2t = 0 H 1t H 2t = K D 1n D 2n = ρ s B 1n B 2n = 0 ρ ps = P ˆn ρ pv = P K b = M ˆn J b = M P = ε 0 χ e E M = χ m H D = ε 0 ε r E B = µ 0 µ r H ε r = 1 + χ e µ r = 1 + χ m ε 0 = 8.854 10 12 C 2 s 2 /kgm 3 µ 0 = 1.257 10 6 N m 2 /C 2 e = 1.602 10 19 C