TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2
Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner. 3 Eksponentiell og logistisk vekst. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 2
Den naturlige logaritmen Vi har at d x n+ dx n + = x n for n. Vi ønsker å konstruere en funksjon f slik at Definisjon 6: Den naturlige logaritmen d dx f (x) = x. For x > 0 la A x være arealet til området begrenset av kurven y = /t, linjen y = 0 og de vertikale linjene t = og t = x. Den naturlige logaritmen er funksjonen ln x definert ved at { A x hvis x, ln x = A x hvis 0 < x <. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 3
Den deriverte til ln x Teorem d dx ln x = x for x > 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 4
Bevis for teorem Anta x > 0 og h > 0. Da er ln(x + h) ln x arealet til området begrenset av kurven y = /t, linjen y = 0 og de vertikale linjene t = x og t = x + h. Det følger at h x+h < ln(x + h) ln x < h x Så < ln(x+h) ln x x+h h ln(x + h) ln x lim h 0 + h y x <, hvorav det følger at x = x. x x+h x + h /t t www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 5
Bevis for teorem Tilsvarende har vi at hvis x > 0 og h < 0, så er ln(x + h) ln x arealet til området begrenset av kurven y = /t, linjen y = 0 og de vertikale linjene t = x og t = x + h. Det følger at h x < ln(x + h) ln x < h x+h y x+h x + h Så < ln(x+h) ln x <, hvorav det følger at x h x+h ln(x + h) ln x lim = h 0 h x. x x /t t www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 6
Bevis for teorem Følgelig er d ln(x + h) ln x ln x = lim dx h 0 h = x www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 7
Eksempel For hvilke x er funksjonen f (x) = ln(x 2 x 2) definert og hva er f (x)? f (x) = ln(x 2 x 2) er definert når x 2 x 2 > 0. Nullpunktene til x 2 x 2 ± 2 + 4 2 2 = ± 3 2 = { 2 så x 2 x 2 = (x 2)(x + ) > 0 når x < eller x > 2. Dvs. f (x) = ln(x 2 x 2) definert for x < og x > 2. f (x) = d dx ln(x 2 x 2) = 2x x 2 x 2. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 8
Egenskaper ved ln x Teorem 2 Anta x > 0, y > 0 og r er et rasjonalt tall. Da er ln(xy) = ln x + ln y 2 ln(/x) = ln x 3 ln(x/y) = ln x ln y 4 ln(x r ) = r ln x www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 9
Bevis for teorem 2 d y (ln(xy) ln x) = dx xy = 0. Det følger at x ln(xy) ln x er en konstant C. Hvis vi lar x =, ser vi at C = ln(y) ln() = ln(y). Så ln(xy) ln x = ln y. 2 d /x 2 (ln(/x) + ln x) = + = 0. Det følger at dx /x x ln(/x) + ln x er en konstant C. Hvis vi lar x =, ser vi at C = ln() + ln() = 0. Så ln(/x) + ln x = 0. 3 ln(x/y) = ln x + ln(/y) = ln x ln y. d 4 dx (ln(x r r rx ) r ln x) = r = 0. Det følger at x r x ln(x r ) r ln x er en konstant C. Hvis vi lar x =, ser vi at C = ln( r ) r ln() = 0. Så ln(x r ) r ln x = 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 0
Eksempel 2 La oss forenkle uttrykket 4 ln x + 6 ln(x /3 ). 4 ln x + 6 ln(x /3 ) = ln(x /2 ) 4 + ln(x /3 ) 6 = ln x 2 + ln x 2 = 2 ln x 2 = ln(x 2 ) 2 = ln x 4. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side
Egenskaper ved ln x lim ln x = og lim ln x =. x x 0 + 2 dx = ln x + C. x www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 2
Bevis Da ln 2 > 0 vil ln(2 n ) = n ln 2 når n, og ln(/2) n = n ln 2 når n. Da d ln x = /x > 0 for x > 0 følger det at ln x er en dx voksende funksjon, og derfor er lim ln x = og x lim ln x =. x 0 + 2 For x > 0 er d ln x = /x, så ln x = ln x er en dx antiderivert til /x på intervallet (0, ). For x < 0 er d ln( x) = /( x) = /x, så dx ln x = ln( x) er en antiderivert til /x på intervallet (, 0). Altså er ln x en antiderivert til /x på (, 0) (0, ). Dvs. dx = ln x + C. x www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 3
Eksponentialfunksjonen Funksjonen ln x er strengt voksende (da d ln x = /x > 0 for dx x > 0), og den er dermed injektiv. Vi la exp x være den inverse funksjonen til ln x. Vi har da at y = exp x x = ln y for y > 0, ln(exp x) = x for alle x, exp(ln x) = x for x > 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 4
Egenskaber ved eksponentialfunksjonen Det følger av egenskabpene til ln x at exp x har følgende egenskaper: For alle x og y og alle rasjonale tall r gjelder (exp x) r = exp(rx) 2 exp(x + y) exp(x) exp(y) 3 exp( x) = / exp(x) 4 exp(x y) = exp(x)/ exp(y). www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 5
Eksponentialfunksjonen La e = exp(). Da er e 2, 7828828459045... For alle rasjonale tall r har vi at e r = (exp()) r = exp(r). For en vilkårlig x definerer vi e x til å være exp(x). www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 6
Egenskaber ved eksponentialfunksjonen Da gjelder for alle x og y at (e x ) y = e xy 2 e x+y = e x e y 3 e x = /e x 4 e x y = e x /e y. Dessutten har vi at lim x ex = 0 og lim e x =. x www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 7
Eksempel 3 La oss forenkle uttrykket e 2 ln cos x + (ln e sinx ) 2. e 2 ln cos x + (ln e sinx ) 2 = (e ln cos x ) 2 + (sin x) 2 = cos 2 x + sin 2 x =. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 8
Den naturlige logaritmen Da ln x er den inverse funksjonen til exp(x), og exp(x) = e x er en eksponentialfunksjon, er ln x en logaritme: ln x = log e x. ln x kalles den naturlige logaritmen. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 9
Den deriverte og antideriverte til e x ln x er deriverbar og d ln x = /x > 0 for alle x > 0. dx Det følger at også e x er deriverbar og at d dx ex = d dy ln y y=e x = y y=e x = y y=e x = e x. Følgelig er e x dx = e x + C. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 20
Generelle eksponentialfunksjoner Hvis a > 0 og r er et rasjonalt tall har vi at ln(a r ) = r ln a, og dermed a r = e r ln a. Definisjon 7 For en vilkårlig x definerer vi a x til å være e x ln a. Da er a x deriverbar og d dx ax = d dx ex ln a = e x ln a ln a = a x ln a. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 2
Generelle logaritmer Hvis a > 0 er log a x = log e x log e a = ln x ln a. Det følger at log a x er deriverbar og d dx log a x = d ( ) ln x = dx ln a x ln a. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 22
Eksempel 4 La oss derivere funksjonen f (x) = (/x) ln x + log 2 (3x 2). f (x) = d ( (/x) ln x + log dx 2 (3x 2) ) = d ( ) e ln(/x) ln x ln(3x 2) + dx ln 2 = e ln(/x) ln x d (ln(/x) ln x) + dx ln 2 ( /x = e ln(/x) ln x 2 ln(/x) ln x + /x x 3 3x 2 ) ln x eln(/x) = (ln(/x) ln x) + 3 (3x 2) x ln 2 x 2 ln(x)(/x)ln = + 3 (3x 2) x ln 2 + 3 (3x 2) ln 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 23
En egenskaper ved den naturlige logaritme Teorem 4 For x > 0 er ln x x. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 24
Bevis for teorem 4 La g(x) = ln x (x ). Da er g() = 0, og g (x) = /x som er negativ for x (0, ) og positiv for x >. g er altså avtagende på (0, ] og voksende på [, ), og derfor er g(x) 0 for alle x (0, ). Det følger at ln x x for alle x > 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 25
Grenseverdier til eksponentialfunksjoner og logaritmer Teorem 5 For a > 0 gjelder: x a lim x e = 0 x ln x 2 lim x x = 0 a 3 lim x x a e x = 0 4 lim x 0 + x a ln x = 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 26
Eksempel 5 log La oss regne ut grenseverdien lim 2 (3x). x 4 x/0 log lim 2 (3x) ln(3x) = lim x 4 x/0 x ln 2ex ln 4/0 ( ) 3 x ln 4/0 ln 4/0 = lim x ln = lim y ln = lim y ln = ln 2 lim y ln 2ex ln 4/0 ( ) 3 y ln 4/0 ln 2e ( y ) 3 ln 4/0 ln 2e y ln (y) y ln (y) + lim y ln 2e y y e = 0 y www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 27
Eksponentiell vekst Løsningen til initialverdiproblemet dy dt = kt, y(0) = y 0 er y(t) = y 0 e k t. Vi sier at y vokser eksponentielt hvis k > 0 og avtager eksponentielt hvis k < 0. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 28
Eksempel 6 En bakteriekultur inneholder 0000 bakterier. Vekstfarten målt i bakterier per time er på ethvert tidspunkt 20% av bakterietallet. Hvis y(t) er bakterietalle etter t timer er y (t) = 20 y(t) og 00 y(0) = 0000. Vi har derfor at y(t) = 0000e t/5. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 29
Logistisk vekst Hvis y(t) = Ly 0 y 0 + (L y 0 )e kt der y 0, L og k er konstanter, sies y at ha logistisk vekst. www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2, side 30