FYS216 ermodynamikk og statistisk fysikk Oblig 4 Sindre Rannem Bilden 23. september 215
Oppgave.5 - Rotasjon av diatomiske molekyler a) Skriv ned partisjonsfunksjonen Z R ( ) Z R ( ) =Σ j g(j)e ε jβ =(2j + 1)e j(j+1)kβ j(j+1) =(2j + 1)e b) Lag et program som plotter uttrykket i partisjonsfunksjonen for forskjellige verdier av /. Får ut plottene som vist under: Figur 1: Plot av j sitt bidrag P til partisjonsfunksjonen opp mot/. Figur 2: Plot av j sitt bidrag P til partisjonsfunksjonen ved forskjellige verdier av /. j = 5 # maximum state = linspace (1E -1,3,1) #[ theta ] J = linspace (,j,j +1) P = P = (2* j +1)* exp ( -( j *( j +1))/ ) plot (,P, label = 'j =% i ' %j) xlabel ( ' [ theta ] ') ylabel ( 'P(j) ') savefig ( ' OB4_b_plot. png ') j = 2 # maximum state = [1E -2,1E -1,1,.5 E1,1 E1,.5 E2 ] J = linspace (,j,1) for t in : P = (2* J +1)* exp ( -( J *( J +1))/ t) plot (J,P, label = '[ theta ]=% g ' %t) xlabel ( 'j ') ylabel ( 'P(j) ') legend () savefig ( ' OB4_b_plot_2. png ')
c) Finn Z r in grensen. (Konverter til et integral) Ved vil tilstand j max, den tilstanden med høyest energi og bidrar til Z være høy. Siden j max dj = 1 kan vi skrive om summen til et integral: Z g(j)e εj/k dj = (2j + 1)e j(j+1)k/k dj Setter vi j(j + 1) = u får vi u = 2j + 1 og = = = [ e (2j + 1)e u e du ] u = [ 1] = u du 2j + 1 d) Finn Z r in grensen. (a kun med noen få elementer i summen) e) Finn energien U( ) for høye og lave temperaturer av. Har U dβ ln(z) Høy temperatur blir da: U( ) dβ ln dβ ( ) dβ [ln( ) ln()] [ ( 1 ln kβ ) ln( ) dβ [ln(1) ln(k) ln(β) ln()] ( = 1 ) β =k For lave temperaturer: U( ) dβ ln ( 1 + 3e 2 ] ) dβ ln ( 1 + 3e 2kβ) d dβ 3e 2kβ =6k e 2/ Z r =Σ n j=g(j)e ε j/k =(1)e 2 + (3)e ( =(1)e + 3 =1 + 3e 2 e + (5)e 6... ) 2 ( ) + 5 e 6 +... For vil alle ledd over første orden være forsvinnende liten. f) Finn varmekapasiteten C V ( ) for høye og lave temperaturer. Har at C V = U N,V For høy temperatur får vi C V ( ) = k, for lav temperatur får vi: C V ( ) = 6ke 2/ ( ) 1 =6k 2 e 2/ =12k 2 ( ) 2 e 2/
g) Skriv et program som beregner partisjonsfunkjsonen Z(, N, V ) for en spesi- k verdi av / (Hvordan vil du sørge for å få tilstrekkelig med termer i summen?) j = 1 # maximum state = linspace (1E -1,1,1) #[ theta ] J = linspace (,j,j +1) k = 8.6 E -5 Z = P = (2* j +1)* exp ( -( j *( j +1))/ ) Z += P plot (,, label = 'Z= [ theta ] ') plot (,Z, label = ' Z_num (j =% i) ' %j) plot (,Z -, label = ' Diff.(% g) '\ %( Z [ -1] - [ -1])) xlabel ( ' [ theta ] ') ylabel ( 'Z() [ theta ] ') savefig ( ' OB4_g_plot. png ') Fra deloppgave b) ser vi bidraget fra de forskjellige verdiene av j, ved å inkludere alle j-verdier som bidrar med over δ til Z vil man få en tilstrekkelig tilnærming om δ er relativt liten. h) Bruk programmet til å beregne Z( ) fra til. Plot resultatet. Plottet ligger som Figur 3. Figur 3: Plot av Z opp mot i enheter, tilnærmingen Z( ) = er lagt til som sammenlikning. Z(N, V, )? Finn uttrykk som du kan bruke til å nne U( ) og C V ( ) nummerisk fra Z(N, V, i ) beregnet fra diskrete verdier av i. Ved en j max = n kan vi skrive: U( i ) =Σ n g(j)p (j, i )ε j j= Z( j ) =Σ n g(j)p (j, i )ε j j= Z( j ) C V ( i ) = U( i+1) U( i ) i+1 i i) Vis at tilnærmingen for Z ved høye temperaturer er litt lav og beregn hva forskjelen er. Fra Figur 3 ser vi at tilnærmingen Z( ) = [ ] er litt lav. For relativt høye er dieransen stabilt på rundt 3. Denne feilen kommer av konverteringen fra sum til integral, hvor j max ikke tilfredstiller kravet om j max dj = 1. j) Hvordan kan du beregne energien og varmekapasiteten om du kjenner
k) Inkluder så mange ledd i partisjonsfunksjonen du mener er nødvendig og plot U( ) og C V ( ). Sammenlikn med det analytiske resultatet i høy og lav grense. Kommenter. j = 1 # maximum state = linspace (1E -1,1,1) #[ theta ] J = linspace (,j,j +1) Z = U = P = (2* j +1)* exp ( -( j *( j +1))/ ) Z += P u = P *( j *( j +1)) U += u U = U/Z Un = 6* e **( -2/ ) C = zeros (( len ( ),1)) k = ones (( len ( ),1)) d = [1] - [] for i in range (, len ( ) -1): C[i] = (U[i +1] - U[i ])/ d C = 12*(1/ )**2* e **( -2/ ) # PLO U subplot (2,1,1) title ( 'U() ') plot (,, label = ' Analytic [ H ] ') plot (,Un, label = ' Analytic [ L ] ') plot (,U, label = ' Nummeric ') ylabel ( 'U() [ ev / theta ] ') subplot (2,1,2) title ( ' C_V () ') plot (,k, label = ' Analytic [ H ] ') plot (,C, label = ' Analytic [ L ] ') plot (,C, label = ' Nummeric ') xlabel ( ' [ theta ] ') ylabel ( 'C() [ ev ] ') legend ( loc =4) savefig ( ' OB4_i_C. png ') Figur 4: Plot av analytisk og nummerisk uttrykk for U og C. ilnærmingene for lav og høy temperatur for C V stemmer godt, men i temperaturintervallet mellom 1 2 < < 2 oppfører C V seg som en kombinasjon av disse tilnærmingene. Ser at tilnærminen for lav temperatur stemmer godt ved. ilnærmingen for høy temperatur har en fast feil som kommer fra feilen i Z (diskutert tidligere).