Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet. 1 Sannsynlighetsmodellen er P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =. 6 2.5 a Hjulet har seks farger det kan stoppe på: grønn, rød, blå, oransje, rosa og gul. Utfallsrommet er U = {grønn, rød, blå, oransje, rosa, gul}. b Det gule og det blå feltet dekker en firedel av hjulet hver, mens de andre fargene dekker en åttedel. Sannsynlighetsmodellen blir 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = 4 8 2.6 a Hendelsen "minst fire øyne" omfatter utfallene fire, fem og seks øyne. 1 1 1 1 1 Sannsynligheten blir P(minst fire øyne) = P(4) + P(5) + P(6) = + + = 3 =. 6 6 6 6 2 b Hendelsen "minst 2 øyne" omfatter utfallene to, tre, fire, fem og seks øyne. 1 5 Sannsynligheten blir P(minst to øyne) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 5 =. 6 6 c Hendelsen "høyst 2 øyne" omfatter utfallene ett og to øyne. 1 1 Sannsynligheten blir P(høyst to øyne) = P(1) + P(2) = 2 =. 6 3 d Hendelsen "høyst 4 øyne" omfatter utfallene ett, to, tre og fire øyne. 1 2 Sannsynligheten blir P(høyst fire øyne) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 4 =. 6 3 2.7 I oppgave 2.5 fant vi sannsynlighetene for hver av fargene: 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = 4 8 a Sannsynligheten for at hjulet stopper på gul eller oransje, er 1 1 2 1 3 P(gul eller oransje) = P(gul) + P(oransje) = + = + = 4 8 8 8 8 b Sannsynligheten for at hjulet stopper på rød eller rosa, er 1 1 2 1 P(rød eller rosa) = P(rød) + P(rosa) = + = = 8 8 8 4 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 10
c Hvis hjulet ikke skal stoppe på rød eller rosa, må det stoppe på enten grønn, blå, oransje eller gul. Sannsynligheten er P(ikke rød eller rosa) = P(grønn) + P(blå) + P(oransje) + P(gul) 1 1 1 1 1 2 1 2 6 3 = + + + = + + + = = 8 4 8 4 8 8 8 8 8 4 2.8 a P(blodtype B eller AB) = P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0,08 + 0,04 = 0,12. Det er 12 % sannsynlig at blodgiveren har type B eller type AB. b Skal blodgiveren ikke ha blodtype 0, må hun enten ha A, B eller AB. Sannsynligheten for det er P(ikke blodtype 0) = P(blodtype A) + P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0, 48 + 0,08 + 0,04 = 0,60 Det er 60 % sannsynlig at blodgiveren ikke har blodtype 0. c Sannsynligheten for at blodgiveren skal ha type A eller type 0, er P(blodtype A eller 0) = P(blodtype A) + P(blodtype 0) = 0, 48 + 0, 40 = 0,88 Det er 88 % sannsynlig at en person med blodtype A kan få overført blod fra den nye blodgiveren. 2.9 a "Minst 5 øyne" = A = {5, 6} b A = {1, 2, 3, 4}. Med ord har vi at A er hendelsen "høyst 4 øyne". c 1 1 1 1 PA ( ) = P(5) + P(6) = + = 2 = 6 6 6 3 1 2 PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 = 3 3 2.11 Når du kaster én terning, er det m = 6 mulige utfall som alle er like sannsynlige. a Det er g = 5 gunstige utfall: 2, 3, 4, 5 og 6 øyne. g 5 Dermed er P (minst to øyne) = =. m 6 b Her er det g = 4 gunstige utfall: 1, 2, 3 og 4 øyne. 4 2 Vi får P (høyst fire øyne) = =. 6 3 c Det er g = 3 gunstige utfall: 1, 3 og 5 øyne. 3 1 Vi får P (odde tall) = =. 6 2 d Det er g = 3 gunstige utfall: 2, 4 og 6 øyne. 3 1 Det gir P(partall) = =. 6 2 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 2 av 10
2.12 a Vi kan merke av hendelsene i utfallsrommet slik: 1 sum øyne lik sju 2 sum øyne minst ni 3 minst én ener 4 terningene viser like mye (par) b Det er 36 mulige utfall. Vi teller antall gunstige utfall for hver av hendelsene og finner sannsynlighetene: 6 1 1 P (sum øyne lik sju) = = 36 6 10 5 2 P (sum øyne minst ni) = = 36 18 11 3 P (minst én ener) = 36 6 1 4 P (par) = = 36 6 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 10
2.13 Det er 52 kort i kortstokken, så det er m = 52 mulige utfall. a Det er 13 hjerterkort i stokken, så det er g = 13 gunstige utfall. g 13 1 Sannsynligheten blir P(hjerterkort øverst) = = =. m 52 4 b Stokken har fire konger, én i hver farge, så det er g = 4 gunstige utfall. 4 1 Sannsynligheten blir P (konge øverst) = =. 52 13 c Det er fire honnørkort i hver farge, så det er g = 16 gunstige utfall. 16 4 Sannsynligheten er P (honnørkort øverst) = =. 52 13 2.14 a Det er 3 mulige måter å trekke den første kula på. Siden vi ikke legger tilbake, er det to kuler igjen når du trekker andre gang. Antall utfall (måter å trekke to kuler på) blir derfor 32 = 6. b Valgtreet viser de seks måtene du kan trekke de to kulene på: 2.15 a Antall måter å velge to elever på er m = 25 24. Det er de mulige utfallene. Antall måter å velge to jenter på er g = 15 14. Det er de gunstige utfallene for hendelsen at både medlem og varamedlem blir jenter. Sannsynligheten for denne hendelsen er g 15 14 7 P(medlem og varamedlem blir jenter) = = = = 0,35 m 25 24 20 b Hendelsene "minst én gutt blir valgt" og "både medlem og varamedlem blir jenter" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser har vi at P(minst én gutt blir valgt) = 1 P(både medlem og varamedlem blir jenter) 7 13 = 1 = = 0,65 20 20 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 10
2.16 a Siden vi ikke legger tilbake, er det m = 54 mulige måter å trekke to kuler på. Antall gunstige utfall for hendelsen "to røde kuler" er g = 3 2. Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er derfor g 32 3 P(to røde kuler) = = = m 54 10 b Hendelsene "minst én blå kule" og "to røde kuler" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser, har vi at 3 7 P(minst én blå kule) = 1 P(to røde kuler) = 1 = 10 10 2.17 a Av de 90 medlemmene er det 20 som spiller fotball, og 20 som spiller håndball. 20 20 Det gir P (fotballspiller) = og P (håndballspiller) =. 90 90 Addisjonssetningen gir at P(fotballspiller eller håndballspiller) = P(fotballspiller) + P(håndballspiller) 20 20 40 = + = = 0,444 90 90 90 b Det er 20 som løper orientering, og 15 som driver med friidrett. 20 15 Dermed er P (orienteringsløper) = og P (friidrettsutøver) =. 90 90 Addisjonssetningen gir at P(orienteringsløper eller friidrettsutøver) = P(orienteringsløper) + P(friidrettsutøver) 20 15 35 = + = = 0,389 90 90 90 c De som spiller ballspill, er de som ikke driver med friidrett eller løper orientering. Av regelen for komplementære hendelser får vi derfor at sannsynligheten for å trekke en som driver med ballspill, blir P(ballspiller) = 1 P(orienteringsløper eller firidrettsutøver) = 1 0,389 = 0, 611 2.18 a Får du en sekser i ett av kastene, må summen bli sju eller større. Begge hendelsene kan derfor ikke inntreffe samtidig, så de er disjunkte. b Får du en femmer i første kast og en sekser i andre kast, inntreffer begge hendelsene. Hendelsene er ikke disjunkte. c Får du en sekser i første kast og en treer i andre kast, inntreffer begge hendelsene. Hendelsene er ikke disjunkte. d Får du en treer i andre kast, må summen bli ni eller mindre. Begge hendelsene kan derfor ikke inntreffe samtidig, så de er disjunkte. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 10
2.19 a Venndiagrammet kan vi tegne slik: Vi kan også lage en oversiktstabell: Mobil Ikke mobil Sum MP3 13 2 15 Ikke MP3 12 3 15 Sum 25 5 30 b Det er 13 elever som har både MP3-spiller og mobiltelefon. Sannsynligheten blir 13 P (både mobiltelefon og MP3-spiller) = = 0,433 30 c Det er 12 elever som bare har mobiltelefon, 2 som bare har MP3-spiller og 13 som har begge deler. Sannsynligheten blir P(mobiltelefon eller MP3-spiller eller begge deler) 12 + 2 + 13 27 = = = 0,900 30 30 d Fra oversiktstabellen eller venndiagrammet ser vi at det er 3 elever som verken har mobiltelefon eller MP3-spiller, så sannsynligheten blir 3 P (verken mobiltelefon eller MP3-spiller) = = 0,100 30 Vi kan også bruke regelen om komplementære hendelser: P(verken mobiltelefon eller MP3-spiller) = 1 P(mobiltelefon eller MP3-spiller eller begge deler) = 1 0,900 = 0,100 2.20 a Hver gang vi snurrer, er sannsynligheten 1 8 for at lykkehjulet stopper på det røde feltet. Produktsetningen gir at 1 1 1 P(rød begge gangene) = P(rød første gang) P(rød andre gang) = = 8 8 64 b Sannsynligheten er 1 4 for at lykkehjulet stopper på det blå feltet. Produktsetningen gir at 1 1 1 P(først rød så blå) = P(rød) P(blå) = = 8 4 32 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 10
2.21 a Sannsynligheten for at alle tre barna er jenter blir ved produktsetningen P(alle er jenter) = P( J) P( J) P( J) = 0, 486 0, 486 0, 486 = 0,115 b Hendelsene "alle er jenter" og "minst én er gutt" er komplementære. Det gir P(minst én gutt) = 1 P(alle er jenter) = 1 0,115 = 0,885 c Produktregelen for uavhengige hendelser gir oss at P(eldste gutt, to yngste jenter) = P( G) P( J) P( J) = 0,514 0,486 0,486 = 0,121 d Vi regner ut på samme måte som i oppgave c: P(to eldste jenter, yngste gutt) = P( J) P( J) P( G) = 0,486 0,486 0,514 = 0,121 2.22 a Sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind, er 1 0,08 = 0,92. Sannsynligheten for at ingen av de 12 guttene er rødgrønn fargeblinde, blir da 12 P (ingen fargeblinde gutter) = 0,92 = 0,368 Vi må anta at guttene ikke er i slekt fordi fargeblindhet går i arv. Så hvis guttene var i slekt, kunne vi ikke ha brukt produktsetningen for uavhengige hendelser. b Hendelsene "ingen er fargeblinde" og "minst én er fargeblind" er komplementære. Dermed får vi at P(minst én fargeblind gutt) = 1 P(ingen fargeblinde gutter) = 1 0,368 = 0,632 2.23 a Sannsynligheten for å trekke en blå kule første gang er 7 11. Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang 6 10. Produktsetningen for avhengige hendelser gir oss at 7 6 P (begge kulene er blå) = = 0,382 11 10 b Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er 4 11. Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en rød kule andre gang 3 10. 4 3 Dermed er P (begge kulene er røde) = = 0,109. 11 10 c Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er 4 11. Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang 7 10. 4 7 Dermed er P (første kule rød, andre kule blå) = = 0, 255. 11 10 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 10
2.24 a Det er 1 29 sannsynlig at den første bokstaven er P. Gitt at den første bokstaven er P, er sannsynligheten 1 28 for at den neste er E. Gitt at de to første bokstavene er P og E, er sannsynligheten 1 27 Ganger vi sammen disse sannsynlighetene, får vi 1 1 1 P (PER) = = 0, 000 046 29 28 27 for at den siste er R. 2.25 a Sannsynligheten for å tippe det første tallet galt er 27 34. Gitt at du tippet det første tallet galt, er sannsynligheten 26 for at du også tipper det 33 andre tallet galt. Gitt at du tippet de to første talene galt, er sannsynlighet 25 for at du også tipper det 32 tredje tallet galt. Osv. Sannsynligheten for at du ikke får et eneste riktig vinnertall, er dermed 27 26 25 24 23 22 21 P (ingen riktige vinnertall) = = 0,165 34 33 32 31 30 29 28 Du har 16,5 % sannsynlighet for ikke å få ett eneste riktig vinnertall. b Hendelsene "minst ett riktig vinnertall" og "ingen riktige vinnertall" er komplementære. Dermed har vi at P(minst ett riktig vinnertall) = 1 P(ingen riktige vinnertall) = 1 0,165 = 0,835 Det er 83,5 % sannsynlig at du får minst ett riktig vinnertall. 2.26 a Vi tegner valgtreet. Her står F for en FOX-karamell, og N for en NOX-karamell. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 10
b Av valgtreet finner vi: 15 14 210 1 P (to FOX) = = = 0,35 25 24 600 10 9 90 2 P (to NOX) = = = 0,15 25 24 600 3 P(én FOX) = P(først FOX, så NOX) + P(først NOX, så NOX) 15 10 10 15 300 = + = = 0,50 25 24 25 24 600 90 510 4 P(minst én FOX) = 1 P(to NOX) = 1 = = 0,85 600 600 2.27 a Valgtreet er tegnet opp under. Her står R står for rød, G for gul og B for blå kule. b Av valgtreet finner vi at: 1 P(én rød kule) = P( RG) + P( RB) + P( GR) +P( BR) 15 20 15 20 70 = + + + = = 0,530 132 132 132 132 132 2 P(én blå kule) = P( RB) + P( GB) + P( BR) +P( BG) 20 12 20 12 64 = + + + = = 0,485 132 132 132 132 132 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 10
3 P(én gul kule) = P( RG) + P( GR) + P( GB) + P( BG) 15 15 12 12 54 = + + + = = 0,409 132 132 132 132 132 4 P(forskjellig farge) = 1 P(lik farge) = 1 PRR ( ) PGG ( ) PBB ( ) 20 6 12 94 = 1 = = 0, 712 132 132 132 132 2.28 a Vi kaller det å trekke en spar for hendelsen S. Det å trekke noe annet enn en spar kaller vi hendelsen A. Da kan vi tegne valgtreet slik: b Vi er interessert i hendelsen at det øverste kortet er en spar, dvs. hendelsen SAA. 1 39 38 Den har sannsynlighet PSAA ( ) = = 0,145. 4 51 50 c Her finner vi at P(én spar) = P( AAS) + P( ASA) + P( SAA) 3 38 13 3 13 38 1 39 38 = + + = 0,436 4 51 50 4 51 50 4 51 50 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 10 av 10