HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNING TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Onsdag 17.01.2007, kl: 09:00-12:00 Fagansvarlig: Per J. Nicklasson, tlf. 76966401/48297237 Tillatte hjelpemidler: Alle kalkulatorer tillatt. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Relativ vekt av deloppgaver er oppgitt i prosent.
Oppgave 1 (5% 10% 10% 25% ) a) Forklar hva man mener med spinnet til et stivt legeme. Spinnet defineres utfra (se figuren over) h r mv dvs. at spinnet er definert som momentetn av bevegelsesmengden om et punkt. b) Vis matematisk at absoluttverdien til spinnet h h til et legeme med masse m 1 kg (enhetsmasse) som beveger seg i en Keplarsk bane kan skrives som h r 2 d dt og at dh dt 0 I formlene over er r r, der r er avstandsvektoren fra legemet til origo i et kartesisk koordinatsystem. Sentralkraften F på legemet virker langs r, og angir vinkelen mellom en av aksene i koordinatsystemet og r. Vi vet at h r F der F er kraften på legemet. I en Keplarsk bane virker sentralkraften langs radiusvektoren. Følgelig har vi h r F 0 og h må være konstant. Fra figuren over ser vi at h r v rv sin rv sin 90 o rv cos. Nå har en at absoluttverdien av tangentialhastigheten er v T v cos. Denne kan også skrives som v T r d /dt, slik at h h r 2 d dt c) Keplars andre lov sier at radiusvektoren (langs sentralkraften) til et legeme i en Keplarsk bane sveiper over like arealer i like tidsrom. Vis matematisk at denne sammenhengen holder slik at den tidsderiverte av arealet vektoren sveiper over er proporsjonal med absoluttverdien til spinnet h.
Fra figuren over har vi at arealet av trekanten mellom r og r r er gitt som A rr /2. Ved å dividere begge sider med t og la t 0, finner vi da 1 d r2 dt 2 dt 1 h konstant. 2 Endringen av arealet som radiusvektoren sveiper over er altså konstant. Oppgave 2 (5% 10% 5% 20% ) a) Anta at det benyttes Eulervinkler for å beskrive orienteringen av et romfartøy relativt et banefast referansesystem. Utled rotasjonsmatrisen på matriseform (du trenger ikke multiplisere ut/addere enkeltelementene) som transformerer vektorer fra det legemefaste koordinatsystemet til det banefaste referansesystemet når rotasjonsrekkefølgen (relativt det banefaste systemet) benyttes. I dette løsningsforslaget har jeg multiplisert ut elementene. Det er ikke nødvendig, så lenge man setter opp matrisene for enhetsmatrisene, viser at disse skal multipliseres sammen, og indikerer at det er den transponerte man er ute etter. Rotasjonsmatrisen fra det banefaste systemet er gitt som A c c s s s s c c s s s c s c c s s c c s s c s c c s s c c Det ble imidlertid spurt etter den inverse av denne matrisen (rotasjon fra legemefast til banefast system), og denne er gitt som A 1 A T c c s s s s c c s s c s s c c c s c s s s c s s c s c c c b) Utled transformasjonen på matriseform (du trenger ikke multiplisere ut/addere enkeltelementene) mellom deriverte av Eulervinkler (,, ) og legemefaste rotasjonshastigheter (p, q,r for rotasjonsrekkefølgen. For hvilke vinkler er transformasjonen mellom (p,q,r og (,, ) singulær? Jeg har multiplisert ut uttrykkene. Det er ikke nødvendig så lenge man greier å sette opp summen av matrisene som inngår, og indikerer at man må løse ut de deriverte av vinklene. Man bør huske at denne transformasjonen er singulær når den miderste rotasjonsvinkelen har gitt verdier, men det kan også utledes. p q r sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 0 sin cos cos 0 0 sin 1
cos sin 0 sin cos sin sin cos Singulær for 90 o. n180 o,n 0,1,2, cos cos 0 cos sin cos 1 p q r c) Ved bruk av 3 parametre for beskrivelse av orientering vil det alltid oppstå singulariteter i de kinematisk transformasjonene. Foreslå med utgangspunkt i Euler s teorem for rotasjoner og en gitt rotasjonsmatrise, en singularitetsfri beskrivelse av orientering vha. 4 parametre. Hvilke andre fordeler er det med denne måten å beskrive orientering på relativt bruk av Eulervinkler? Gitt en rotasjonsmatrise A tar vi utgangspunkt i den egenvektoren e e 1,e 2,e 3 T til matrisen som har egenverdi 1. Denne normaliseres slik at den får lengde e 1. Det skal roteres en vinkel om denne egenvektoren. tr A 1 cos 2 Vi får følgende 4 parametre (kvaternioner eller symmetriske Euler-parametre) definert utfra egenvektoren og rotasjonsvinkelen: q 1 e 1 sin/2 q 2 e 2 sin/2 q 3 e 3 sin/2 q 4 cos/2 Ved bruk av kvaternioner som definert ovenfor for beskrivelse av orientering vil det kun inngå multiplikasjon og addisjon/subtraksjon når transformasjoner skal beregnes. En slipper således unna regnekrevende trigonometriske funksjoner ved bruk av disse parametrene. Oppgave 3 (10% 5% 5% 5% 25% ) De lineariserte bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden, er gitt på generell form som: T dx T cx T dy T cy T dz T cz I x 4 0 2 I y I z 0 I y I z I x h wx 0 h wz h wy0 0 h wy0 I y 3 0 2 I x I z h wy I z 0 I z I x I y 0 2 I y I x h wz 0 h wx h wy0 0 h wy0 a) Anta at en gitt type satellitter ikke har mulighet for stabilisering vha. noen form for spinnbaserte pådragsorganer, at treghetsmatrisen er gitt som [I] k[1] (en skalert versjon av identitetsmatrisen), og at det er snakk om saktevarierende endringer i Euler-vinklene. Sett opp differensialligningene som beskriver satellittens rotasjon. Er det mulig å få til gravitasjonsbasert stabilisering i dette tilfellet? Forklar. Differensialligningene blir nå T dx T cx T dy T cy T dz T cz k k k dvs. 3 dekoblede andreordens differensialigninger. Det er ikke mulig å få til gravitasjonsbasert
stabilisering, siden denne i utgangspunktet baserer seg på at det er signifikant forskjell i treghetsmomentene. b) Anta at den generelle modellen tilnærmes med et sett med tre dekoblede andreordens differensialligninger. Foreslå en enkel regulatorstruktur for stabilisering av orienteringen. Den mest naturlige fremgangsmåten er å benytte tre dekoblede PID-regulatorer, slik at f.eks. t d T cx K px d K dx dt d K ix d dt 0 Tilsvarende for de to andre vinklene. Merk at det ikke holder med PD-regulator dersom en ønsker null stasjonært avvik når det virker forstyrrelser på satellitten. c) Anta at det er nødvendig at satellitten kan utføre store og hurtige endringer av orientering med svært store krav til nøyaktighet. Kan den generelle modellen over fortsatt benyttes ved utvikling av styrealgoritmer? Grunngi svaret. Modellen kan ikke brukes fordi den er basert på en linearisering av den fulle ulineære modellen om et arbeidspunkt, og kun gyldig for små avvik, dvs. små og saktevarierende vinkler. Den vil derfor ikke gi en god nok beskrivelse av det virkelige systemet når det blir snakk om store og hurtige endringer. d) I enkelte tilfeller er det aktuelt å minimalisere vinkeldreiningene som en satellitt må utføre for å komme fra en orientering til en annen ønsket orientering. Forklar hvordan dette kan gjøres. Dette kan gjøres ved å la rotasjonen foregå om Euler-aksen. Det beregnes en avviksmatrise A E for forskjellen mellom nåværende og ønsket orientering, og parametre fra denne benyttes i de tre regulatorene, slik at rotasjonen ikke foregår om de tre aksene som definerer Euler-vinklene, men om Euler-aksen. Regulatoren blir nå eksempelvis (kan evt. ta med I-ledd også): T cx K px a 32E a 23E K dx p Oppgave 4 (6 5% 30% ) Forklar kort følgende begreper. Benytt gjerne skisser dersom du synes det er nødvendig: a) Nutasjonsdempning Ved rotasjon om en akse, f.eks. i forbindelse med stabilisering av orientering, vil rotasjonsaksen lett kunne får en nikkebevegelse, jfr. en roterende kon ( snurrebass ) som mister hastigheten og begynner å vingle. I verste tilfelle kan bevegelsen øke i amplitude (ustabilitet), og plutselig endrer rotasjonsaksen retning. For å stabilisere/redusere denne uønskede nikkebevegelsen, innfører vi et aktivt reguleringssystem som sørger for at bevegelsen stabiliseres/minimaliseres. Bruken av ordet aktivt refererer til systemer som benytter energi (trustere, magnetspoler, etc.) for å stabilisere/redusere nikkebevegelsen. Motsatt har vi passive systemer, f.eks. fjær-masse-demper-systemer, som ikke må tilføres energi, men som derimot dissiperer (lader ut) energi, slik at bevegelsen dempes. b) Rotasjonsmatrise Vi snakker her om transformasjoner mellom ulike koordinatsystemer som er rotert i forhold til hverandre.
Med rotasjonsmatrisen eller også retningskosinusmatrisen, mener vi en matrise som inneholder cosinus til vinkelen mellom alle mulige kombinasjoner av en (enhet)akse i det roterte koordinatsystemet, og en akse i et ikke-roterte kordinatsystem. Dersom enhetsvektorene langs aksene i det roterte systemet kan beskrives som u T u 1,u 2,u 3,v T v 1, v 2,v 3,w T w 1, w 2,w 3 i det systemet som ikke er rotert (se skissen), vil retningskosinusmatrisen kunne uttrykkes som A u 1 u 2 u 2 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Matrisen transformerer beskrivelsen av vektorer fra en dekomposisjon (koordinater) i det ikke-roterte systemet, til en dekomposisjon i det roterte systemet. c) Treghetsmatrise I sin enkleste form kan denne skrives I I x 0 0 0 I y 0 0 0 I z der elementene er treghetsmomentene langs hovedtreghetsaksene. Matrisen kan også brukes i beskrivelsen av spinn h I og rotasjonsenergi T 1/2 T I. d) Parasittisk moment Moment som oppstår fordi et pådragsorgan (f.eks. en reaksjonsthruster), ikke er perfekt innrettet i den retningen man ønsker et kraftpådrag. Det oppstår dermed også et moment vinkelrett på den aksen man egentlig ønsker en kraft i. e) Klassiske baneparametre De 6 klassiske baneparametre benyttes for å beskrive en Keplersk bane til et legme om et annet legeme: a- største hovedakse for banen e-eksentrisiteten i-inklinasjonen -rektasensjonen til oppstigende knute -perigeets lengde M n t t 0 -midlere anomalitet (n er midlere bevegelse)
f) Spinndumping Dersom vi benytter spinnbaserte enheter for stabilisering/styring av orientering, vil det før eller siden komme dukke opp en situasjon der enheten har oppnådd sin maksimale hastighet, f.eks. pga. konstante forstyrrelser som medfører at et konstant moment må motvirke forstyrrelsen. Vi får som kjent kun et moment fra en spinnbasert enhet når den endrer hastighet. Vi må da få ned hastigheten på enheten uten at satelliten endrer orientering. Det kan vi oppnå ved å benytte andre pådragsorganer (f.eks. trustere eller magnetspoler) for å gi et moment motsatt av det som oppstår når vi reduserer hastigheten på enheten.