Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aase Reyes Tlf.: 73 59 45 24 Eksamensdato: 5. desember 2014 Eksamenstid (fra-til): 9.00 13.00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: : D: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Annen informasjon: Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer omtrentlig tidsforbruk på hver oppgave). Målform/språk: Bokmål Antall sider (uten forside): 5 Antall sider vedlegg: 9 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
OPPGAVE 1 (ca 40 %) (a) (b) (c) (d) Figur 1: (a) Ramme påkjent av to punktlaster. (b) Ramme påkjent av temperaturøkning. (c) Ramme med hjørneforsterkninger. (d) Detalj av hjørneforsterkning. Figur 1 (a) viser en ramme som er belastet med en vertikal punktlast F i punkt C og en horisontal last F/2 i punkt B. Alle komponenter i rammen har samme tverrsnitt, bøyestivhet EI og termisk utvidelseskoeffisient T. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Ta bare hensyn til bøyedeformasjoner. a) Løs det statisk ubestemte problemet i Figur 1 (a) ved bruk av enhetslastmetoden (kraftmetoden). Bestem lagerreaksjonene A x, A y, E x, og E y. Tegn M-diagram (på strekksiden). b) Bestem vertikalforskyvningen under lasta F i punkt C. Skisser konstruksjonens forskyvningsform. c) Figur 1 (b) viser den samme rammen som i Figur 1 (a), men nå virker ingen ytre laster på rammen. Derimot er hvert element i rammen utsatt for en temperaturøkning Anta at alle deler i rammen har et dobbeltsymmetrisk tverrsnitt med høyde h. Bestem lagerreaksjonene A x, A y, E x, og E y, og tegn M-diagram (på strekksiden) for rammen med temperaturøkning i Figur 1 (b). Side 1 av 1
I resten av denne oppgaven skal vi se på den plastiske oppførselen til rammen som er påkjent av de to punktlastene vist i Figur 1 (a). Alle deler i rammen har samme plastisk momentkapasitet M p. d) Skissér én aktuell bruddmekanisme og finn bruddlasten for denne. Kontroller om den plastiske momentkapasiteten overskrides eller ikke. Det er ikke nødvendig å undersøke flere bruddformer dersom kapasiteten overskrides. e) Tenk deg at hjørnene blir avstivet som vist i Figur 1 (d). Utstrekningen til avstivningen er a/2 som vist i Figur 1 (c). Dette vil si at vi kan anta en uendelig stor stivhet i en viss avstand fra hjørnene (a/2), som vist på figuren. Hvordan vil denne endringen påvirke bruddlasten du beregnet i deloppgave d)? Kommenter svaret. OPPGAVE 2 (ca 10 %) Figur 2: Mekanisme med to staver og en fjær. Figur 2 viser to staver AB og BC som er holdt på plass av en lineær fjær. Hver stav har masse m og lengde L. I punktene A og D er det uforskyvelige leddlagre. Fjæren er ubelastet når = 0 og stavene er i likevekt når = 60. Bestem fjærstivheten k og avgjør om likevektsposisjonen er stabil eller ustabil. Side 2 av 2
OPPGAVE 3 (ca 20 %) Figur 3: Stav med rektangulært tverrsnitt utsatt for en strekkraft P. Figur 3 viser en stav med massivt, rektangulært tverrsnitt med areal A = 800 mm 2, utsatt for en strekkraft P = 60 kn. a) Hva blir normalspenningen x for staven? Sett opp spenningsmatrisen. b) Et vilkårlig plan er orientert med en vinkel i forhold til x-aksen, som vist i Figur 3. Uttrykk normalvektoren til dette planet med vinkelen Hva blir normal- og skjærspenningen (uttrykt med ) på dette planet? c) Skisser hvordan normal- og skjærspenningen endrer seg med vinkelen til planet når 0 180 (tegn normal- og skjærspenning som funksjon av vinkelen). I en komponent er spenningene i et punkt gitt som 20 10 10 MPa σ 10 30 0. 10 0 50 d) Finn normal- og skjærspenningen til et plan som går gjennom punktet og er parallelt til planet 2x y 3z 0 e) Hva blir den hydrostatiske og deviatoriske spenningsmatrisen? En nyttig formel kan være: 2 2 sin cos 1 Side 3 av 3
OPPGAVE 4 (ca 20 %) Figur 4: Fritt opplagt plate utsatt for trekantlast. Figur 4 viser en fritt opplagt, kvadratisk plate med tykkelse h. Plata er utsatt for en trekantlast, som vist på figuren. Her er p 0 = 200 kn/m 2. Vi skal bruke Rayleigh-Ritz metode til å estimere den største nedbøyningen til plata på grunn av trekantlasten. Dimensjonene til plata er L = 4 m, h = 20 mm, og platas E-modul og tverrkontraksjonstall er henholdsvis E = 210 000 MPa og = 0.3. Anta følgende forskyvningsfelt: w( x, y) a sin x sin y L L a) Vis at ytre virtuelt arbeid blir W y 8 3 2 p0l a b) Det indre virtuelle arbeidet blir W i 4 2D aa. Sett opp utrykket for det indre virtuelle 2 L arbeidet og forklar hvordan du ville gått frem for å komme fram til nødvendig å integrere). W i (det er ikke c) Bruk Rayleigh-Ritz metode til å estimere den største nedbøyningen til plata på grunn av trekantlasten. d) Det går an å finne den eksakte løsningen for dette plateproblemet. Beskriv hvordan du ville gått fram for å finne denne. En nyttig formel kan være: 2 1 u u sin ku du sin ku cos ku C k k Side 4 av 4
OPPGAVE 5 (ca 10 %) (a) (b) Figur 5: Et plateelement hvor (a) spenningsfordelingen x og (b) tilhørende moment M x er tegnet inn. Figur 5 viser et plateelement med dimensjoner dx og dy, hvor spenningsfordelingen x er tegnet inn i Figur 5 (a), mens det tilhørende momentet M x er tegnet inn i Figur 5 (b). Skisser/Tegn et tilsvarende plateelement med a) De resterende spenningene som virker på et plateelement og b) de tilhørende kreftene og momentene som virker på plateelementet. Side 5 av 5
4
5
6
7
8
9
10
11
12 20 10 10 2 20 2 10 30 80 1 1 10 30 0 1 20 30 50 MPa 14 14 10 0 50 3 20 150 170 Φ σ n 80 T 1 1 720 n Φ 2 1 3 50 MPa 160 50 510 MPa 51,43MPa 14 14 14 170 80 1 1 80 50 170 50 MPa 80 50 170 MPa 14 14 170 1 6400 2500 28900 2700MPa 14 Φ Φ T 2 2 2 2 2 Φ Φ T 2 2 2700 51, 43 MPa 7,41MPa 2
13
14
15
16 Ikke nødvendig å regne ut. Forklar fremgangsmåten.
17 Dette plateproblemet kan løses eksakt med Naviers plateløsnings siden plata er fritt opplagt. Beskriv lasten med en dobbel Fourier-rekke: M N m x n y q( xy, ) qmn sin sin a b hvor m 1 n 1 Sett inn for uttrykket for lasten (q(x,y)). Platas forskyvningsform beskrives dermed med følgende doble Fourier-rekke: a b 4 m x n y qmn q( x, y)sin sin d yd x ab a b 00 M N m x n y w( xy, ) w mn sin sin a b hvor m 1 n 1 w mn D 4 q mn m n a b 2 2 2
18
Sensurkommentarer eksamen 2014 TKT 4124 MEKANIKK 3 Eksamen 5/12 2014 SENSUR Oppsummering: Karakterfordelingen er gjengitt i figuren nedenfor (antall og prosentvis). Ca 60% har fått A, B eller C, noe vi kan være ganske fornøyd med. Oppgave 1 a) Generelt bra. Mange har valgt samme SBG nemlig å fjerne 14E_x, en del har fjernet 14A_x, mens noen få har innført ledd i enten B, C eller D. De fleste har fått full score på denne oppgaven, samt at en del har gjort
mindre feil som gir lite trekk. Imidlertid er det noen som tegner momentdiagrammer som dessverre ikke gir mening i det hele tatt. Det skal alltid være momentlikevekt om hjørner (B og D), og det skal ikke være moment i ledd (A og E). Her var noen syndere. b) Overvekt av gode besvarelser, men mange har glemt av å skissere forskyvningen. Dette var eksplisitt gitt som en del av oppgaven, og gir dermed litt trekk. Noen få har kombinert momentdiagrammet 14M~ med enten 14M_0 eller 14M_1, noe som ikke er riktig. Det er også noen som har satt på både horisontalkraften og vertikalkraften ved beregning av _c, hvilket gir feil svar. c) Dette viste seg å være den oppgaven som flest har hatt problemer med. Det er mange som tolker det som en temperaturgradient, noe som også har blitt spurt om ved eksamen, men det er egentlig en uniform temperaturforandring på hele tverrsnittet. Dette har imidlertid ikke blitt straffet hardt dersom resten av oppgaven er gjort korrekt. En del har ikke tatt med aksialbidraget fra bjelke BD, noe som også blir feil i og med at det er opphavet til momentet i rammen. Det er også en del som ikke har tatt med bøyedeformasjoner i det hele tatt, og kun regnet på aksialdeformasjon. Dette er ikke korrekt siden det blir eksplisitt spurt om bøyedeformasjoner. Imidlertid har de som regner på både bøye- og aksialdeformasjoner fått full uttelling, gitt at oppgaven er regnet korrekt, selvfølgelig. d) Her var det grei uttelling på de fleste. Imidlertid er det en del som sliter med å sette opp korrekt momentdiagram ut i fra den beregnede bruddlasten. Dette kan dermed føre til feil konklusjon når det gjelder den plastiske momentkapasiteten. e) De aller fleste har svart at bruddlasten vil øke, noe som er riktig. Det er også noen som sier at momentkapasiteten i rammen vil øke. Det vil den strengt talt ikke gjøre, bortsett fra i en avstand a/2 fra hjørnene B og D. Resten av ramma har fortsatt samme momentkapasitet. Noen få har beregnet hvor mye bruddlasten øker, noe som kreves for å få full score på denne deloppgaven. Oppgave 2 To fremgangsmåter kan brukes for å løse denne oppgaven: prinsippet om stasjonær potensiell energi eller virtuelle forskyvningers prinsipp (VFP). Flesteparten har valgt førstnevnte, og mange sanket noen poeng her. De fleste som brukte prinsippet om stasjonær potensiell energi visste at de måtte finne utrykk for tøyningsenergi (U) og lastpotensiale (), og derivere for å finne et uttrykk for fjærstivheten k, noe som er bra. Men en god del hadde satt opp feil uttrykk for U og/eller. Noen få prøvde seg på VFP, men ytterst få lyktes med det. Det kan nevnes flere fikk et negativt uttrykk for k, og da bør det ringe alarmbjeller fordi det er fysisk umulig! Et par stykker kommenterte nettopp dette, og det belønnes. Man skulle også sjekke om likevektsposisjonen var stabil eller ikke, og de aller fleste visste at da gjelder det å sjekke fortegnet på den andrederiverte av uttrykket for potensiell energi (). En god del fikk at likevektsposisjonen var ustabil (pga regnefeil eller feil uttrykk for ), men det var ytterst få av disse som kommenterte at man kan se fra figuren og fysikken til problemet at den oppgitte likevektsposisjonen likevel er stabil. Oppgave 3 a) Denne oppgaven klarte de fleste! Her er det altså bare 1 spenningskomponent i matrisen. Noen blandet inn Hookes lov eller spennings vektoren for plan spenning. b) En god del fant riktig uttrykk for normalvektoren n. De fleste visste regneprosessen for å bestemme normalspenningen og skjærspenningen (formlene var oppgitte), men for mange det ble trukket poeng for litt grove regnefeil. c) Her var det varierende besvarelser. Basert på svaret i b) så skulle man plotte uttrykkene for normalspenningen og skjærespenningen som en funksjon av vinkelen. Noen prøvde seg på polar-plot, noe som generelt ikke gikk så bra. En generell kommentar: cos() (og dermed cos() 2) er en glatt funksjon, og kan derfor ikke ha «hjørner» eller «spisser» når man plotter cos() mot. Det var flere som ble trukket poeng for dette. d) Denne oppgaven gikk bra for mange! Noen hadde glemt å gjøre om normalvektoren til en enhetsvektor. Og noen fikk negativt tall under roten i uttrykket for skjærspenningen (noe som ikke kan stemme), men flere av de kommenterte at de derfor måtte ha regnet noe feil, og det er bra fordi da vises det at man har tenkt over svaret
sitt! e) Her fikk de fleste full pott! Oppgave 4 Veldig mange har fått til mye på denne oppgaven. Veldig mange klarer å sette opp riktig uttrykk for lasten. De aller fleste har brukt symmetri (bra) slik at de integrerer fra x=0 til x=l/2 og ganger svaret med to. Oppsett av hvordan de ville gått fram for å finne det indre virtuelle arbeidet er også bra, og de fleste har klart å finne maksimal forskyvning. Noen har ikke satt inn tall. De aller fleste som har satt inn tall har reagert på at det er ganske stor forskyvning. Dette er helt rett, tykkelsen til denne plata var nok i tynneste laget for spennvidden. Videre har de fleste forklart at de kan bruke Naviers løsning for å løse problemet eksakt, og forklart i varierende grad hvordan man gjør dette. Oppgave 5 Her har studentene svart mye forskjellig, mye bra, men også mye rart. Veldig mange har fått til sigma_y, mens skjærspenningsfordelingene er det litt verre med. På den annen side har veldig mange fått til å tegne opp riktig krefter og momenter, selv om spenningene og/eller fordelingene ikke er blitt helt rette.