EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Aase Reyes, EKSAMEN I EMNE TKT414 MEKANIKK 3 Torsdag 17. desember 009 Kl Hjelpemidler / Aids: Bestemt, enkel kalkulator / Approved calculator 9 vedlagte formelark / 9 attached sheets with formulas Ingen medbragte trykte eller håndskrevne hjelpemidler er tillatt / No other aids are allowed Settet består av i alt 19 ark: 1 forside, 9 ark med oppgavetekst og 9 vedlagte ark med formler This exam contains 19 pages: 1 front page, 9 pages with problems and 9 pages with formulas Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer cirka tidsforbruk på hver oppgave). Emphasize to hand in a solution with clear sketches and systematic report of your calculations. Make your own assumptions if any part of this exam seems to be incomplete. Many of the questions in this exam can be solved independently of each other. If you struggle with one of the questions: Continue with other questions, and return to the difficult one later. The percentages specify the approximate weight (and indicate the time needed at each problem).

2 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 OPPGAVE 1 (Vekt / weight ca 45%) E D q C 3aa F A B a 3aa Figur 1a: Ramme påkjent av jevnt fordelt last q. Figure 1a: Frame subjected to a uniformly distributed load q. Figur 1a viser en mulig utforming av en konstruksjon. Dette er en én gang statisk ubestemt ramme. Alle komponenter i rammen har samme tverrsnitt, termisk utvidelseskoeffisient T og bøyestivhet EI. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. I oppgave 1 skal det kun tas hensyn til bøyedeformasjoner. Deformasjoner pga. aksialkraft N og skjærkraft V neglisjeres. Figure 1a shows a possible design for a structure. It is a frame which is statically indeterminate of first order. All parts of the frame have the same cross section, the coefficient of thermal expansion is T and bending stiffness EI. The geometrical measures and support conditions are shown in the figure. Throughout Problem 1, only bending deformations are to be considered. Neglect deformations caused by normal (axial) force N and shear force V. a. (14%) I figur 1a er rammen påkjent av en jevnt fordelt last q langs DC. Løs det statisk ubestemte problemet ved bruk av enhetslastmetoden (kraftmetoden). Bestem lagerreaksjonene A y, B x, B y og M B. Tegn M-diagram. M-diagrammet tegnes på strekksiden. Påvis spesielt hvor langt fra C det største momentet i felt DC virker, og angi størrelsen på dette maksimalmomentet. The frame in Figure 1a is subjected to a uniformly distributed load q along DC. Solve the statically indeterminate problem with use of the unit load method (the force method). Determine the support reactions A y, B x, B y, and M B. Draw the bending moment diagram (M-diagram). Draw the diagram at the tension side of the components. Determine the distance from C to the section along DC having the maximum bending moment, and determine the magnitude of this maximum moment. b. (3%) Beregn vertikalforskyvningen av punkt F pga. lasten q. Calculate the vertical displacement of point F caused by the load q.

3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 3 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember T/ +T/ + T +T/ h +T/ Temperaturfordeling / Temperature field +T/ Rammedel Structural Beam ABC member +T Figur 1b: Figure 1b: Ramme utsatt for temperaturøkning. Frame subjected to a temperature increase. Figur 1b viser den samme rammen som i spørsmål a og b, men nå virker det ingen ytre last q på rammen. Derimot fører branntilløp på innsiden av rammen til en temperaturøkning. Denne er på T på innsiden av rammens komponenter, og på T/ på utsiden av komponentene, som vist i figuren. Anta at alle komponenter i rammen har dobbeltsymmetrisk tverrsnitt med tverrsnittshøyde h. Figure 1b shows the same frame that was analyzed in question a and b, but without the external load q. Instead, due to the onset of a fire inside the frame, it is subjected to a temperature increase. This equals to T on the inner surface of the frame components, and T/ on the outer surface of the components. Assume that all components have a double-symmetrical cross-section with height h. c. (8%) Bestem lagerreaksjonene A y, B x, B y og M B pga. temperaturøkningen i rammen vist i Figur 1b. Tegn M-diagram. M-diagrammet tegnes på strekksiden. Determine the support reactions A y, B x, B y, and M B caused by the temperature field shown in Figure 1b. Draw the bending moment diagram (M-diagram). Draw the diagram at the tension side of the components.

4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 4 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 E q C 3aa A B 4a Figur 1c: Ramme påkjent av jevnt fordelt last q. Figure 1c: Frame subjected to a uniformly distributed load q. En alternativ utforming av konstruksjonen er vist i figur 1c. For enkelhets skyld virker nå den jevnt fordelte lasta over hele lengden EC. La oss analysere den plastiske kapasiteten for denne rammen med jevnt fordelt last q som vist i figuren. Anta plastisk momentkapasitet M p for alle komponenter. Figure 1c shows an alternative design for the structure. For simplicity the uniformly distributed load now acts on the whole length EC. Let us analyze the plastic capacity of this frame with the uniformly distributed load q as shown in the figure. Assume that the plastic moment capacity is M p for all components. d. (15%) Identifiser aktuelle bruddmekanismer, og beregn de tilhørende bruddlastene q p uttrykt ved M p og a. Benytt prinsippet om virtuelt arbeid og flyteledd. Det er tilstrekkelig å regne på én sideveis mekanisme (utenom eventuelle andre mekanismer). Identify the relevant collapse mechanisms, and calculate the corresponding collapse loads q p expressed as a function of M p and a. Apply the principle of virtual work and plastic hinges in the calculation. It is sufficient to consider one lateral mechanism (beside other possible mechanisms). Derivert av brøk / Quotient rule u uv uv v v Løsning av. gradsligning / Solution of second-degree equation: 4 ax bx c 0 x b b ac a

5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 5 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 e. (5%) Kontroller at den laveste bruddlasten fra spørsmål d er den korrekte ved å tegne M-diagrammet (på strekksiden) for den aktuelle mekanismen, og påvis at den plastiske momentkapasiteten ikke overskrides i noe punkt i rammen. Check that the lowest collapse load from problem d is the correct one by drawing the bending moment diagram (still on the tension side) for the corresponding mechanism, and verify that the plastic bending moment capacity is not exceeded at any point in the structure. OPPGAVE (Vekt / weight ca 10%) stiv k a L Ikke gitt i oppgaven, men skulle vært gitt: Anta at mg=ka og a=l/3 Figur : Figure : System bestående av stav støttet av en lineær elastisk fjær. System consisting of a rod supported by a linear elastic spring. Figur viser et system bestående av en stiv stav med lengde L og masse m, støttet av en lineær elastisk fjær med stivhet k. Avstanden fra opplageret til fjæren er a. Fjæren er ubelastet (ikke strukket) når = 90, og den er festet til veggen slik at den alltid forblir horisontal. Anta at vinkelen kan variere mellom 0 og 90. Figure shows a system consisting of a rigid rod with length L and mass m, supported by a linear elastic spring with stiffness k. The distance from the support to the spring is a. The spring is unstretched when = 90, and it is attached to the wall in such a way that it always remains horizontal. Assume that the angle can vary between 0 and 90. a. (7%) Bruk prinsippet om stasjonær potensiell energi til å bestemme aktuelle likevektsposisjoner (vinkler ) og avgjør om disse er stabile eller ustabile.

6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 6 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 Use the principal of stationary potential energy to determine possible equilibrium positions (angles ) and determine if these are stable or unstable. b. (3%) Vi tenker oss at dette systemet er en modell for en sidevegg i et akvarium. Da vil det i tillegg virke et hydrostatisk vanntrykk på veggen. Er det mulig å bruke prinsippet om stasjonær potensiell energi til å beregne eventuelle likevektsposisjoner? Begrunn svaret. Let us imagine that this system is a model for a side wall in an aquarium. A hydrostatic water pressure will then act on the wall. Is it possible to use the principal of stationary potential energy to calculate possible equilibrium positions? Substantiate the answer. OPPGAVE 3 (Vekt / weight ca 15%) a P a/ y a P a a/ Alle render er kontinuerlige og fritt opplagte All boundaries are continuous and simply supported x a Figur 3: Figure 3: Kvadratisk, fritt opplagt plate med punktlast på midten av plata. Quadratic, simply supported plate with a concentrated load at the center of the plate Figur 3 viser en kvadratisk, fritt opplagt plate. Platas randbetingelser, geometriske mål og valgt koordinatsystem xy fremgår av figuren. Plata er belastet med en punktlast P i punktet (x, y) = (a /, a /). Se bort fra egenlast. Materialet i plata har elastisitetsmodul E og tverrkontraksjonstall. Anta at tynnplateteori er gyldig i denne oppgaven.

7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 7 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 Figure 3 shows a quadratic, simply supported plate. The boundary conditions and geometry of the structure, as well as the selected xy coordinate system are shown in the figure. The plate is subjected to a force P acting at the point (x, y) = (a /, a /). Neglect the weight of the structure. The material can be described by the Young's modulus E and the Poisson's ratio. Assume that thin plate theory is valid in this problem. a. (3%) Forklar bakgrunnen for Naviers plateløsning, beskriv metoden og diskuter hvorfor denne løsningen kan brukes til å analysere platen i Figur 3. Ta gjerne utgangspunkt i formlene nederst på side A9 i formelarket. Explain the background for Navier s solution for plates, describe the method and discuss why this solution to analyze the plate in Figure 3. Feel free to use the formulas at the bottom of page A9 in the sheets with formulas as basis. b. (10%) For en konsentrert last P midt på en kvadratisk plate blir q mn i Naviers plateløsning 4P m n qmn sin sin (1) a Bruk de første tre leddene med lavest positiv verdi av m+n til å finne et tilnærmet uttrykk for forskyvningen midt på plata (under lasten). For a concentrated load P at the center of a square plate, q mn in Navier s solution is given in Equation (1) above. Use the three first nonzero terms for which m+n is smallest to approximate the center deflection (beneath the load). c. (%) Gi en kortfattet vurdering av kvaliteten til den tilnærmede løsningen du fant i spørsmål b. Give a brief assessment of the quality of the approximate solution you found in question b.

8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 8 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 OPPGAVE 4 (Vekt / weight ca 15%) Innspente render Clamped boundaries q 0 y L L -t- L Frie render Free boundaries x L (a) (b) Figur 4: (a) Rektangulær plate. Perspektivskisse med jevnt fordelt last q 0. (b) Rektangulær plate. Snitt i xy-planet med angivelse av randbetingelser. Figure 4: (a) Rectangular plate. Perspective view with uniformly distributed load q 0. (b) Rectangular plate. Section view in the xy-plane, including specification of boundary conditions. Figur 4 viser en kvadratisk plate med bredde L og konstant tykkelse t. Materialet i platen har elastisitetsmodul E og tverrkontraksjonstall. Platestivheten er D. Plata er fast innspent langs to tilstøtende render (x = 0 og y = 0), mens de to andre rendene er fri (x = L og y = L). Anta at tynnplateteori er gyldig i denne oppgaven. Det virker en jevnt fordelt last q 0 med konstant intensitet over hele platen. Platas utbøyning antas på formen wxy (, ) axy () Figure 4 shows a quadratic plate with width L and constant thickness t. The material can be described by the Young's modulus E and the Poisson's ratio. The plate stiffness is D. Two adjacent boundaries are clamped (x = 0 og y = 0), while the remaining boundaries are free (x = L og y = L). Assume that thin-plate theory is valid in this problem. A uniformly distributed load q 0 acts over the entire plate. The plate s deflection is assumed to be as given in Equation ().

9 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 9 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 a. (%) Vis at den oppgitte utbøyningsfunksjonen oppfyller de essensielle randkravene til plata. Show that the given deflection function fulfils the boundary conditions for the plate. b. (5%) Benytt den oppgitte utbøyningsfunksjonene til å bestemme platas spenningsog tøyningsfelt. Use the given deflection function to determine the stress- and strain field of the plate. c. (5%) Vis at virtuelle forskyvningers prinsipp leder til følgende likning: qal 0 4aaD L (3) Show that the principle of virtual displacements leads to Equation (3) above. d. (3%) Beregn en tilnærmet verdi for nedbøyningen av det frie hjørnet (x, y) = (L, L) av platen uttrykt ved L, D og q 0. Sett = 0.3. Determine the displacement of the free corner (x, y) = (L, L) of the plate expressed by L, D and q 0. Assume that = 0.3. OPPGAVE 5 (Vekt / weight ca 15%) [mm] z 5 y Figur 5: Figure 5: Tverrsnitt til komponentene i rammen. Cross section of the components in the frame.

10 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 10 av 10 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Desember 009 a (6%) Figur 5 viser et rektangulært tverrsnitt med et utskåret kvadratisk hull. Alle dimensjoner er gitt i mm og er vist på figuren Ta utgangspunkt i dette tverrsnittet, og beregn stivheten EI z og det elastiske motstandsmomentet W z. Bestem det plastiske motstandsmomentet W p, den plastisk momentkapasisteten M p, samt formfaktoren (forholdet) f mellom plastisk og elastisk momentkapasitet. Materialet i tverrsnittet har flytespenning f y = 355 MPa. Figure 5 shows a rectangular cross section with a quadratic cut out. All dimensions are given in mm and are shown in the figure. For this cross section, calculate the stiffness EI z and the elastic section modulus W z. Determine the plastic section modulus W p, the plastic moment capacity M p, and also the form factor (relationship) f between the plastic and elastic moment capacity. The cross section material has a yield stress of f y = 355 MPa. b. (4%) Forklar hva hydrostatisk og deviatorisk spenning er. Hva er bakgrunnen for å dele opp spenninger slik? Hvordan kan von Mises flytekriterium utledes fra deviatorisk tøyningsenergitetthet? (Forklar, det er ikke nødvendig med utledning). Hvorfor brukes den deviatoriske tøyningsenergitettheten og ikke total eller hydrostatisk? Explain what hydrostatic and deviatoric stresses are. What is the background for dividing stresses in this way? How can von Mises yield criterion be derived from the deviatoric strain energy density? (Explain, the explicit derivation is not necessary). Why is the deviatoric strain energy density used and not the total or the hydrostatic? c. (3%) Forklar hva vi mener med stivlegemebevegelse. Hva bidrar til stivlegemebevegelse (hvordan kan vi dele inn bidragene)? Hvordan kan vi definere lokal deformasjon i et legeme? Explain what we mean by rigid body movement. What contributes to rigid body movement (how can we split the contributions)? How can we define local deformation in a body? d. (%) Utled uttrykket for volumtøyning V x y z ved små tøyninger. Derive the expression for volume strain V x y z when small strains are assumed.

11 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TKT414 MEKANIKK 3 Torsdag 17. desember 009 a. (14%) OPPGAVE 1 (Vekt / weight ca 45%) E D q C q 3aa F A B B x By M B A y a 3 a Fjerner M B : Likevekt gir: A B y x B 0 y 3qa q 3aa 3 M [qa ] 0 B x 3 A y B y a 3 a

12 Side av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Setter på X 1 =1: B Likevekt gir: A x y 0 1 3a B y M 1 1/ /3 B x A y B y X 1 M M1 dx qa a qa 3a qa 1 3a EI EI ramme 3 71qa 4EI M a 11 M1 dx a 3a 1 1 3a 1 1 3a EI EI EI ramme X1 qa qa Lastsituasjon og momentdiagram: q M [qa ] 0.45a 1.7a A y = qa B x =0 639qa M B = 95 B y = qa

13 Side 3 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember q Moment langs CD: M uk qax qa x d 1641 Derivert M langs CD: M uk qa qx dx 95 Maks M for x Maks moment langs CD: q 1641 M uk aq a qa a 0.814qa a M=0 langs CD: q M uk qax qa x M = 0 for x 0.45a og x 3a b. (3%) Setter på vertikal virtuell enhetslast i hjørnet F på det statisk bestemte grunnsystemet. Likevekt gir: 4 1 Bx 0, Ay, By 3 3 4a 3 M 0 F 1 A y B x B y 4a 3 Deler M opp i summen av to diagrammer (for enklere integrasjon): 3 M [qa ]

14 Side 4 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 M 1M dx EI qa a a a a a 3a a 3a EI FA: to trekanter FA: to trekanter EF: to firkanter EF: to firkanter 1 4a 3 1 4a 13 a a a a ED: trekant + trapes 5391 qa qa 5, EI EI 4 4 ED: trekant + trapes a 3a a 3a DC: trekant + parabel DC: to motsatte trekanter c. (8%) + T/ +T/ + T +T/ h +T/ Temperaturfordeling / Temperature field +T/ Rammedel Structural Beam ABC member +T Splitter temperatureffekt i to bidrag: T u & T g : T/ 3T/4 -T/4 = + T +T/4 T u T g Bruker samme SBG som i a)

15 Side 5 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Får positiv tøyning i alle elementer, og krumning på innsiden av rammen. u u = T T u = 3 T T 4 g 1 TT 1 TT 4 h/ h M 1 blir som før, må sette opp N 1 1/3a N 1 M 1 1 1/3a 1/3 1 1/3a 1/3a 1/ U 1 g N dx M dx Aksialbidrag summerer til M1g dx 1 TT 1 TT 1 1 TT TT a 3a 13a 13a h 3 h 3 h h 19 TTa 1 h

16 Side 6 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 N1 M1 119a 111 N1 dx M1 dx EA EI 7EI Neglisjeres Kjenner fra før X TTa 1 h 171 TT EI 119 a 476 h 7EI M TT h EI

17 Side 7 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Alternativt SBG

18 Side 8 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

19 Side 9 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

20 Side 10 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

21 d. (15%) Side 11 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

22 Side 1 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

23 e. (5%) Side 13 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009

24 Side 14 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 OPPGAVE (Vekt / weight ca 10%) stiv k a L datum a. (7%) Forlengelse av fjær: fjær asin a cos Tøyningsenergi: U k fjær ka sin ka cos Lastpotensiale pga tyngdekraft: L L mg cos mg sin Potensiell energi: 1 L 1 L U ka sin mg cos ka cos mg sin Stasjonær potensiell energi i likevekt: d 1 L ka sin cos mg sin 0 d eller d 1 L ka sin cos mg cos 0 d L coska sin mg 0 L cos 0 eller ka sin mg 0 mgl 90 eller sin ka

25 Side 15 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Tilleggskrav for stabil likevekt: d d 0 d L L ka mg ka mg cos sin sin 1 sin sin sin d L ka 1 sin mg sin Setter inn for aktuelle vinkler: L 90: STABIL LIKEVEKT hvis ka 01mg 1 0 L ka ka mg 1 eller 1 mgl mgl sin : ka STABIL LIKEVEKT hvis 1 0 d ka ka d mgl ka mg L mgl mgl 1 mgl ka mgl ka mgl 4ka mgl 4ka 4 ka ka 4ka ka 1 mgl 1 ka 0 0 Kan gjøre antakelse om forhold mellom ka og mg + samt a og L. Innsatt verdier mg=ka og a=l/3: 3 90 eller sin mgl kal ka L ka

26 Side 16 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Tilleggskrav for stabil likevekt: d d 0 90: STABIL LIKEVEKT hvis ka 1 mgl Innsatt verdier: 4 1 OK STABIL LIKEVEKT : STABIL LIKEVEKT hvis Innsatt verdier: mgl ka USTABIL LIKEVEKT 4 b. (3%) Siden vanntrykk ikke er en konservativ kraft kan vi ikke bruke prinsippet om stasjonær potensiell energi til å beregne likevektsposisjoner.

27 Side 17 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 OPPGAVE 3 (Vekt / weight ca 15%) a P a/ y a P a a/ Alle render er kontinuerlige og fritt opplagte All boundaries are continuous and simply supported x a a. (3%) Naviers plateløsning gjelder for fritt opplagte plater. Antar at platas forskyvninger kan beskrives som en dobbel Fourier-rekke som i formelarket. w mn er ukjente koeffesienter og a og b er platas dimensjoner i hhv x- og y-retning. Tverrlasten kan utvikles i en Fourier-rekke av samme type. Ved innsetting i platas diff. likning finner man uttrykket for de ukjente forskyvningskoeffisientene w mn som gitt i formelarket. Fordi plata i Figur 3 er fritt opplagt og lasta går i tverr-retningen kan Naviers plateløsning brukes på denne plata. b. (10%) M N m x n y w( xy, ) w mn sin sin a b m1 n1 w mn q mn 4 m n D a b 4P m n qmn sin sin a

28 Side 18 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 w mn 4P m n sin sin a 4 m n D a b Midt på plata: x=y=a/: w(, ) w sin sin M N a a mn m n m1 n1 m n sin og sin = 0 for partall og har verdi for oddetall. m=n=1: m=1; n=3: m=3; n=1: w w w 4P 4P 1 Pa a a 4 D D a a a D 4 4P 4P 1 1 a a Pa D D a a a D 4 w Pa 5 D a a Pa Pa Pa w(, ) D 5D 5D Pa Pa Pa D D D

29 Side 19 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 c. (%) Ser på de neste ledd: m=n=3: m=1; n=5: 4P Pa Pa w a D D D a a 4P 1 1 Pa Pa w a D D D a a w 33 utgjør ca 1,1% av svaret vi fikk i b), og w 15 utgjør ca 0,5%. Pa Dvs hvis vi tar med to ekstra ledd får vi 1.1 D 4 som er tilnærmet likt det vi fikk i b). Tar vi med enda flere ledd har dette minimal betydning for de første desimalene i svaret. Siden Naviers løsning vil gå mot riktig svar kan vi anse løsningen som god.

30 Side 0 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 OPPGAVE 4 (Vekt / weight ca 15%) Innspente render Clamped boundaries q 0 y L L L Frie render Free boundaries x L (a) (b) a. (%) utbøyningsfunksjon: wxy (, ) axy randbetingelser: wx ( 0) 0, wy ( 0) 0 b. (5%) w, ( x, y) axy x w, ( x, y) ax y y, w,( x x 0) 0, w, y ( y 0) 0 w, xx ay, w, yy ax, w, xy 4 axy Spenninger: ze w w ze x a y x 1 x y 1 ze w w ze y a x y 1 y x 1 ze w ze 4azE (1 ) (1 ) 4axy 1 xy 1 1 xy xy

31 Side 1 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Tøyninger: 1 1 ze ze x x y a y x a x y E E E 1 1 az azy 1 1 y x x y 1 azy 1 1 ze ze y y x a x y a y x azx E E E 1 1 xy 1 1 4az E (1 ) 4az E xy xy xy8azxy G G 1 E 1 c. (5%) Virtuelt forskyvningsfelt: wxy (, ) axy Virtuelle tøyninger: x azy y azx 8azxy xy Indre virtuelt arbeid: LL t/ 00 t/ T ε σ x y W dv dv i x y xy V E E E 4aaz y y x 4aaz x x y 3aaz x y dv t/ L L 4 4 E 4aa z dz y x y x x y 81x y dxdy 1 t/ 0 0 t/ V E aa z y 6 x y 1 3 x 8x y dxdy L t/ aaDy L L y L L y dy LL aaD L L L L 4aaD L xy

32 Side av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Ytre virtuelt arbeid: LL LL L L W y q0 w( x, y) dxdy q0 ax y dxdy q0a x y dy q0a L L q0a L 0 W i 58 L W y: 6 6 4aaD L q0a q.e.d. d. (3%) VFP: L 4aaD L q0a q0 a 58 36D 45 3 Innfører = 0.3 = 3/10: q0 q0 90q0 5q0 5 q0 a D98 4D D 36D 36D q0 wxy (, ) 196 D xy Nedbøyning i hjørnet: 5 ql 0 wll (, ) 196 D 4

33 Side 3 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 OPPGAVE 5 (Vekt / weight ca 15%) [mm] z 5 y a. (6%) Lar foreløpig y-aksen gå fra underkant og oppover: y c yc 11.5 mm I mm 1 1 Antar stål: max N EI mm Nmm mm I Wel y 11.5 mm M Y = f Y W el mm mm 3 Plastisk nøytralakse: A trykk = A strekk eller A over = A under Sjekker arealet over det kvadtatiske hullet: A=15075=11 50 mm og under A= = 8750 mm Det betyr at den plastiske nøytralaksen må ligge mellom overkant og hullet. y PN Totalt areal er mm, dvs vi må ha mm over og under den plastiske nøytralaksen. y PN 150 mm = mm y PN = 00/3 mm = mm

34 Side 4 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Plastisk motstandsmoment: W ( A a ) pz i i mm 6 3 Plastisk momentkapasitet: Mp = f Y W p =.355 MPa mm 3 = knm Formfaktor: f M p M Y W W pz z b. (4%) Spenningsmatrisen kan dekomponeres i en hydrostatisk og deviatorisk del: σ σ s m Den hydrostatiske spenningsmatrisen er definert som følger: m m m 1 3. Dette representerer et hydrostatisk trykk. hvor = m x y z Den deviatoriske spenningsmatrisen blir da som følger: x m xy zx s xy y m yz zx yz z m

35 Side 5 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 Motivasjon for å dekomponere spenningsmatrisen i hydrostatisk og deviatorisk spenning σσm s : Den hydrostatiske spenningskomponenten uttrykker endring av volum. En hydrostatisk spenningstilstand vil øke eller redusere volumet til et spenningselement, men formen endres ikke. Den deviatoriske spenningskomponenten uttrykker endring av form. En deviatorisk spenningstilstand vil ikke endre volumet til spenningselementet. Eksperimentelle undersøkelser viser at plastisk deformasjon av metaller er inkompressibel, dvs at den foregår ved konstant volum. (OBS: For de fleste andre materialer, f.eks betong og polymerer,er plastisk deformasjon ikke inkompressibel.) Den deviatoriske spenningen er derfor sentral i materialmodeller som beskriver plastisitet i metaller: Spenningsmatrisen dekomponeres i et hydrostatisk og et deviatorisk bidrag, og kun den deviatoriske spenningen benyttes i den delen av modellen som representerer plastisitet. Mises flytekriterium kan utledes ved å betrakte tøyningsenergien relatert til den deviatoriske spenningen. Et alternativt navn på deviatorisk tøyningsenergitetthet er formendringsenergi. Årsak: Deviatoriske spenninger forårsaker kun formendring av legemet; dvs. ingen volumendring. Von Mises flytekriterium kan utledes ved at man antar at flytning i en flerdimensjonal spenningstilstand inntreffer når den deviatoriske tøyningsenergitettheten = den deviatoriske tøyningsenergitettheten v/ flytning i en 1D-spenningstilstand: Deviatorisk tøyningsenergitetthet ved flytning i 1-D spennings-tilstand: 1 f x y U 0d,1D = =U0d,cr 1G x 6G 6G Flerdimensjonal spenningstilstand: antar flytning når: 1 1G Flytning y 6 U 0d,cr = x y y z z x xy yz zx I 3D blir Mises flytekriterium dermed: 1 j x y y z z x 3xy yz zx f Grunnen til at man bruker den deviatoriske tøyningsenergitettheten er at eksperimentelle undersøkelser har vist at plastisk deformasjon av metaller er inkompressibel, dvs ingen volumendring skjer v/ plastisk deformasjon. f 6G y

36 Side 6 av 6 Løsningsforslag eksamen TKT 414 Mekanikk 3 Desember 009 c. (3%) Stivlegemebevegelse forskyvning uten tøyning kan dele inn i translasjon (identisk forskyvningsvektor i alle punkt) og rotasjon (dreining om et gitt punkt) Lokal deformasjon kan beskrives av endring av avstand mellom to punkter i materialet og endring av vinkel mellom to kryssende linjer d. (%) Tenker oss en kube med sidekanter x, y, z. Opprinnelig volum er da V0 xy z Etter deformasjon er volumet små tøyninger V x y z 0 x y z V 1 1 x 1 y1 z x y z xyz Forandring i volum: V V V0 V0 x y z V V Volumtøyning: V x y z 0

37 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK TKT 414 MEKANIKK 3 Eksamen 17/1 009 SENSUR Oppsummering: Karakterfordelingen er gjengitt i figuren nedenfor (antall og prosentvis). Essens: Ca 70% har fått A, B eller C. Noe mer spredning enn i 007 og 008. Flere D, E og F enn tidligere år, men positivt at eksamen skiller. TKT 4116 Mekanikk 3, eksamen Antall A B C D E F Karakter TKT 4116 Mekanikk 3, eksamen 009 % A B C D E F Karakter

38 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Oppgave 1: Gjennomsnittsuttelling var ca 75% av full score, og det er bra. De aller fleste valgte å fjerne A y for SBG. Dette var også den enkleste løsningen da mye av M 0 blir 0. Rent regnemessig falt oppgaven litt vanskelig ut, og mange ble satt ut av at svarene de kom fram til ikke var enkle og fine brøker, og kommenterte at de måtte ha regnet feil, selv om mange hadde fått det til. Mye bra i spørsmål d. Veldig mange har klart å sette opp riktige mekanismer og regne på disse, men også mange som ikke kommer helt i mål. På siste oppgaven var det litt enten eller. Mange har tegnet opp M-diagram, mens omtrent like mange ikke har gjort det. Oppgave : Denne oppgaven var ny i forhold til fjorårets eksamen, og falt nok noe vanskeligere ut enn forventet. Oppgaven har likhetstrekk med ting dere har sett før (eksempel 6.). Det som ble litt annerledes var at fjæra hadde bevegelse i horisontal retning og tyngden i vertikal. Likevel var det mange som fikk til å sette opp riktige uttrykk for forskyvningene til fjæra og staven. Mange hadde glemt uttrykket for tøyningsenergi for en fjær, og mange bytta cosinus og simus. Men veldig mange satte opp fine uttrykk for stasjonær potensiell energi og også for stabil og ustabil likevekt. Oppgave b. var det for det meste enten eller. Hvis man hadde fått med seg at prinsippet om stasjonær potensiell energi gjelder for konservative laster, så skjønte man også at prinsippet ikke kunne brukes. Og det var faktisk 5 stk som hadde full score på hele oppgaven. Oppgave 3: Det var nok mange som ble satt ut av at Navier ikke har vært gitt på tidligere eksamenssett, selv om denne oppgaven ikke var så vanskelig regneteknisk sett. Gjennomsnittelig klarte dere å svare på ett av de teoretiske spørsmålene på a. enten litt om bakgrunnen, noen få beskrev metoden, og en god del visste hvorfor Naviers løsning kunne brukes på dette problemet. På b. var det god spredning fra blankt til full score, mens på c. var det mange som svarte blankt, men også en god del som hadde gode vurderinger og diskusjoner. Oppgave 4 Denne oppgaven var veldig lik plateoppgaven fra tidligere år, og dermed var også resultatene deretter. De fleste klarte mye på både a., b. og d., og så var det litt forskjellig hvor mange som kom i mål på utledningen, og det kan også skyldes tidsnød. Dette var også oppgaven som flest har klart full score på. Oppgave 5: Her var det mye blankt, og for en del skyldes det nok tidsnød. Mange fikk til en del på a., men det var skuffende at såpass mange ikke regnet ut det elastiske arealsent, og dermed fikk helt feil I. Ellers kunne de fleste formlene, men det var en del grums i beregningene. På b. var det mye bra. De fleste forklarte en god del om hydrostatisk og deviatorisk spenning og bakgrunnen for oppdelingen. Og veldig mange hadde fått med seg hvorfor den deviatoriske tøyningsenergitettheten kan brukes til å utlede flytekriterium. Akkurat hvordan dette gjøres var det ikke så mange som klarte å sette ord på. De fleste klarte også å forklare hva stivlegemebevegelse er, men ikke inndelingen av bidrag. Og lokal deformasjon var det få som svarte på. d. var jo siste oppgave, så dette var oppgaven med aller dårligs uttelling, i gjennomsnitt var uttellingen kun 16 %.