??.??.???? MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 30 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes) Alt arbeid i regneark (Excel) og i graftegner (GeoGebra) skal limes inn i et tekstdokument (Word). Tekstdokumentet skal ha filnavn lik elevens navn. I tekstdokumentets topptekst skal elevens navn, klasse og dato skrives inn. Tekstdokumentet skal leveres på ITSLEARNING. Total poengsum: 32 poeng Karakter 2: -p Karakter 3: -p Karakter 4: -p Karakter 5: -p Karakter 6: -p Poeng i oppgaven er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at lærer vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler forklarer fremgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske fremstillinger vurderer om svar er rimelige Læreplanmål Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner
KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE Lav grad Karakter 2 Middels grad Karakter 3/4 Høy grad Karakter 5/6 Begreper, forståelse og ferdigheter: Eleven forstår en del grunnleggende begreper. Eleven behersker en del enkle, standardiserte framgangsmåter. Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse av sammenhenger i faget. Eleven behersker de fleste enkle, standardiserte framgangsmåter, har middels god regneteknikk og bruk av matematisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk av ulike matematiske representasjoner. Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fra ulike områder med sikkerhet og har god forståelse av dypere sammenhenger i faget. Eleven viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk av matematisk formspråk og bruk av ulike matematiske representasjoner. Problemløsning: Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske og enkle situasjoner. Eleven klarer iblant å planlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt av mer kompliserte metoder. Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske situasjoner, og viser eksempler på bruk av fagkunnskap i nye situasjoner. Eleven klarer delvis å planlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige antakelser. Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller og løser oppgaver med utgangspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situasjoner. Eleven viser sikkerhet i planlegging av løsningsmetoder i flere steg og formulering av antakelser knyttet til løsningen, viser kreativitet og originalitet. Eleven kan avgjøre om svar er rimelige i en del enkle situasjoner. Eleven viser eksempler på bruk av hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger. Eleven kan ofte vurdere om svar er rimelige. Eleven bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del ulike sammenhenger. Eleven viser sikkerhet i vurdering av svar, kan reflektere over om metoder er hensiktsmessige. Eleven viser sikkerhet i vurdering av hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i valg mellom hjelpemidler. Eleven kan bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre. Eleven klarer delvis å bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger. Eleven kan bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger, og kan sette opp hypoteser ut fra dette. Kommunikasjon: Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer. Eleven presenterer løsninger på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk. Eleven presenterer løsninger på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk. Karakteren 1 uttrykker svært lav kompetanse i faget
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter Oppgave 1 (6 poeng) I kiosken på senteret ble det notert hvor mye hver av de syv første kundene betalte for varene de kjøpte. Dette var resultatet: 20, 60, 50, 45, 55, 20, 30 a) Finn variasjonsbredden. Variasjonsbredden er forskjellen mellom høyeste og laveste verdi. Varasjonsbredden = Høyeste verdi Laveste verdi = 60 20 = 40 Variasjonsbredden er 40. b) Finn medianen. Median som også kalles Q 2 ligger midt i tallmaterialet. Vi ordner tallene: 20, 20, 30, 45, 50, 55, 60 og ser at 45 er det midtre tallet. Medianen er 45. c) Hvor mye brukte kundene i gjennomsnitt. Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle verdiene og deler på antallet observasjoner. 20+60+50+45+55+20+30 7 d) Finn nedre kvartil. = 280 7 Lager en tabell over resultatene. NEDRE HALVDEL = 40 Gjennomsnittet er 40. ØVRE HALVDEL 20 20 30 45 50 55 60 nedre kvartil median øvre kvartil Q 1 Q 2 Q 3 Nedre kvartil som også kalles Q 1 ligger midt i den nedre halvdel av observasjonene. Nedre kvartil er 20. e) Finn øvre kvartil. Se tabellen i oppgave d). Øvre kvartil som også kalles Q 3 ligger midt i den øvre halvdel av observasjonene. Øvre kvartil er 55. f) Finn kvartilbredden. Kvartilbredden = Øvre kvartil Nedre kvartil = 55 20 = 35 Kvartilbredden er 35.
Oppgave 2 (6 poeng) Histogrammet viser aldersfordelingen i en sjakklubb. y 7 6 5 4 3 2 1 20 30 40 50 80 Alder x Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [ a, b f b a f b a [00, 20 4 20 80 [20, 30 3 10 30 [30, 40 5 10 50 [40, 50 6 10 60 [50, 80 2 30 60 N = 020 S = 280 a) Se på histogrammet, tegn av tabellen og fyll inn verdiene. Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [ a, b f b a f b a [00, 20 4 20 80 [20, 30 3 10 30 [30, 40 5 10 50 [40, 50 6 10 60 [50, 80 2 30 60 N = 20 S = 280 b) Hvor mange medlemmer har sjakklubben? Frekvensen (f) viser hvor mange medlemmer sjakklubben har i de ulike aldersintervallene. Vi legger sammen frekvensene og får n = 20. Sjakklubben har 20 medlemmer. c) Finn gjennomsnittsalderen til medlemmene i sjakklubben. Intervall (Alder) Frekvens Midtpunkt Sum (S) [ a, b f x m f x m [00, 20 4 10 40 [20, 30 3 25 75 [30, 40 5 35 175 [40, 50 6 45 270 [50, 80 2 65 130 N = 20 S = 690 Gjennomsnittsalderen i sjakklubben = S N = 690 20 = 34, 5 år
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter Oppgave 4 (10 poeng) Her er karakterfordelingen i matematikkfaget for alle elever som har matematikk 2P-Y i Norge, skoleåret 2015/2016. Karakter Frekvens 6 400 5 1557 4 2168 3 2704 2 2946 1 747 Kilde: statistikkportalen.udir.no a) Hva er typetallet? Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ser at frekvensen for karakter 2 er 2946. Typetallet er 2. b) Finn gjennomsnittet. Karakter x Frekvens f f x 6 400 2400 5 1557 7785 4 2168 8672 3 2704 8112 2 2946 5892 1 747 747 N = 10522 S = 33608 Gjennomsnittskarakter = Summen av karakterer Antall studenter = S N = 33608 = 3,194 3, 19 10522
c) Finn variansen. Karakter x Frekvens f f Kvadratisk avvik f (x g) 2 6 400 400 (6 3,194) 2 = 400 ( 2,806) 2 0 0 3149,45 5 1557 1557 (5 3,194) 2 = 1557 ( 1,806) 2 5078,37 4 2168 2168 (4 3,194) 2 = 2168 ( 0,806) 2 1408,41 3 2704 2704 (3 3,194) 2 = 2704 ( 0,194) 2 0101,77 2 2946 2946 (2 3,194) 2 = 2946 ( 1,194) 2 4199,92 1 747 0747 (1 3,194) 2 = 0747 ( 2,194) 2 3595,79 N = 10522 A 17533,71 Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er = 17533,71 17534 Variansen = A = 17534 1, 67 A er summen av de kvadratiske avvikene N 10522 N er antall observasjoner d) Finn standardavviket. standardavviket = variansen = A N = 17534 10522 1, 29 e) Framstill datamaterialet i tre ulike diagrammer: Sirkel, Stolpe og Linjediagram.
Oppgave 5 (10 poeng) Tabellen viser omtrent hvor mange personer i Norge som betalte formueskatt i 2012. Alder Frekvens [17, 27 6 744 [28, 40 34 725 [41, 50 84 972 [51, 60 142 676 [61, 70 191 760 [71, 100 196 520 Kilde: ssb.no a) Hvor mange personer betalte formueskatt? Alder Frekvens [17, 27 6 744 [28, 40 34 725 [41, 50 84 972 [51, 60 142 676 [61, 70 191 760 [71, 100 196 520 N = 657 397 Vi legger sammen frekvensen og får N = 657 397. Det betyr at 657 397 personer betalte formueskatt i 2012. b) Hva er gjennomsnittsalderen til en person som betaler formueskatt? Utvider tabellen med Midtpunkt og Sum i tabellen. Intervall (Alder) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [17, 27 6 744 22,0 148 368 [28, 40 34 725 34,0 1 180 650 [41, 50 84 972 45,5 3 866 226 [51, 60 142 676 55,5 7 918 518 [61, 70 191 760 65,5 12 560 280 [71, 100 196 520 85,5 16 802 460 N = 657 397 S = 42 476 502 Gjennomsnittsalder = 42 476 502 657 397 64, 61 år
c) Finn medianen i det gruppedelte materialet ved regning. Legger til Kumulativ frekvens i tabellen. Intervall (Alder) Frekvens (f) Kumulativ frekvens [17, 27 6 744 6 744 [28, 40 34 725 41469 [41, 50 84 972 126 441 [51, 60 142 676 269 117 [61, 70 191 760 460 877 [71, 100 196 520 657 397 Vi har 657 397 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer: 657 397 +1 2 = 328 699 Observasjon nummer 328 699 ligger i intervallet [61, 70 som har kumulativ frekvens = 269 117 460 876. I dette intervallet har vi da 191 760 observasjoner (fra og med 269 117 og til og med 460 876). Observasjon nummer 328 699 269 117 = 59 582 i intervallet [61, 70 blir da «medianalder». "Medianalder" = 61 år + 59 582 191 760 9 63, 7964 år 9 fordi intervallet har bredde = 9 d) Finn medianen i det gruppedelte materialet grafisk ved hjelp av GeoGebra. Utvider tabellen med Relativ kumulativ frekvens. Intervall (Alder) Frekvens (f) Kumulativ frekvens Relativ kumulativ frekvens [17, 27 6 744 6 744 0,0103 [28, 40 34 725 41 469 0,0631 [41, 50 84 972 126 441 0,1923 [51, 60 142 676 269 117 0,4094 [61, 70 191 760 460 877 0,7011 [71, 100 196 520 657 397 1,0000 1: Kopierer den kumulative frekvensen og limer denne inn vertikalt i Regneark. 1: Fører også inn 17 og 0 i linje 1 i regneark. 2: Høyreklikk i det merkede området i Regneark og velg: Lag Polylinje 3: 4: Lag ved å velge og så og klikk i skjæringen.
sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 64,1059 år.
e) Lag et histogram i GeoGebra som viser fordelingen. Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde [a, b f b a f b a [17, 27 6 744 10 674,40 [28, 40 34 725 12 2 893,75 [41, 50 84 972 9 9 441,33 [51, 60 142 676 9 15 852,89 [61, 70 191 760 9 21 306,67 [71, 100 196 520 29 6 776,55 NB! Husk at GeoGebra ikke vil ha komma (, ) i Regneark, men punkt (. ) Merk intervallene (A1 til A7) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Merk intervallene (B1 til B6) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Vi har nå laget to lister, Liste1 og Liste2. Nederst, i kommandofeltet : Vi får da dette resultatet: