Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at du ikke overser noen av spørsmåla. Oppgave 1 Vi har gitt et vektorfelt v = (+sin +z)i+( 2 +e z )j +( 2 + 2 +3)k a) Finn divergensen til v. v = 1 1 = b) Finn virvlingen til v. v = (2 e z )i+(1 2)j +(2 cos)k c) Diskuter om v er et potensialfelt, og finn i så fall potensialet. Diskuter om v har en strømfunksjon, og finn i så fall strømfunksjonen. Siden virvlingen er forskjellig fra null så er dette ikke et potensialfelt. Feltet er divergensfritt og det utelukker ikke at en strømfunksjon kan eksistere. Feltet er imidlertid tredimensjonalt i z-koordinatene og har derfor ikke en strømfunksjon som kan uttrkkes ved to av disse koordinatene på den vanlige måten i kurset. 1
z Vi ser nå på en lukket overflate σ som er satt sammen av en topp σ T og en bunn σ B. Toppen σ T er gitt ved likningen 2 + 2 +4z 2 = 1 avgrenset av z. Bunnen σ B er gitt vedz = avgrensetav 2 + 2 1. Toppen og bunnen avgrenser et volum τ. Se figur. d) Finn enhetsnormalvektorer til σ T og σ B som peker ut av volumet τ La f(,,z) = 2 + 2 +4z 2. Toppen er gitt ved f = 1. Legg merke til at f øker når vi beveger oss vekk fra volumet τ. Dermed kan vi skrive n T = f f = i+j +4zk 2 + 2 +16z 2 La g(,,z) = z. Bunnen er gitt ved g =. Legg merke til at g øker når vi beveger oss vekk fra volumet τ. Dermed kan vi skrive n B = g g = k e) Regn ut fluksen q B av v ut fra volumet τ gjennom bunnen σ B. q B = v n B dσ = ( 2 + 2 +3)dσ = σ B σ B 2π 1 (r 2 +3)rdrdθ = 7π 2 hvor vi har introdusert polare koordinater = rcosθ og = rsinθ slik at dσ = rdrdθ, og slik at σ B er gitt ved r 1 og θ 2π. 2
f) Regn ut fluksen q T av v ut fra volumet τ gjennom toppen σ T. q T = v n T dσ, σ T men dette integralet er sannsnligvis vanskelig å regne ut direkte. Vi kan bentte Gauss sats fordi v ikke har noen singulære punkter vdτ = v n T dσ + v n B dσ = q T +q B τ σ T σ B hvor vi har splittet opp overflateintegralet i en toppdel og en bunndel. Siden feltet er divergensfritt så ser vi at venstresiden blir identisk lik null. Derfor har vi q T = q B = 7π 2 Oppgave 2 Vi ser på plan strøm som er divergensfri og virvelfri overalt utenom singulære punkter. En strømfunksjon er gitt ved en sum av to ledd hvor a og U er konstanter. ψ = ψ 1 +ψ 2 hvor ψ 1 = U og ψ 2 = Ua2 2 + 2 a) Det kan være en fordel å uttrkke dette strømfeltet i plane polarkoordinater = rcosθ og = rsinθ. Skriv strømfunksjonene ψ 1 og ψ 2 i polarkoordinater. ψ 1 = Ursinθ og ψ 2 = Ua2 sinθ r Vis at det totale hastighetsfeltet er ) ) v = U (1 a2 cosθi r U (1+ a2 sinθi θ. r 2 r 2 v r = 1 r ψ θ og v θ = ψ r 3
Gi navn til strømfeltene representert ved ψ 1 og ψ 2, tegn en skisse for hvert av disse strømfeltene, angi retningen til strømfeltene, og angi hvor eventuelle singulære punkter er lokalisert. ψ 1 representerer en rettlinjet strøm i positiv -retning og har ingen singulære punkter. ψ 2 representerer en dipol i origo orientert i -retning slik at strømmen går igjennom origo i negativ -retning. Origo er et singulært punkt. b) Regn ut sirkulasjonen til strømfeltet representert ved ψ rundt sirkelen r = R. 2π v dr = U(1+ a2 R 2)sinθRdθ = r=r hvor vi har benttet at r = Ri r og dr = Ri θ dθ. Merk at vi ikke kan bruke Greens eller Stokes sats for å finne denne sirkulasjonen fordi feltet har et singulært punkt inne i integrasjonsområdet. Regn deretter ut sirkulasjonen rundt ellipsen gitt ved likninga ( 5a) 2 +(2 4a) 2 = a 2. I prinsippet kan vi regne ut dette integralet direkte, men det er sannsnligvis vanskelig. Istendenfor kan vi starte med å identifisere lokaliseringen til ellipsen, nemlig sentrum ( = 5a, = 2a), store halvakse a langs -aksen, lille halvakse a/2 langs -aksen. Vi innser at ellipsen ikke omslutter origo, og følgelig er det ingen singulære punkter inne i ellipsen. Nå bentter vi oss av Stokes sats, og det faktum at feltet er virvelfritt, v =, v dr = v kdσ = ( 5a) 2 +(2 4a) 2 =a 2 ( 5a) 2 +(2 4a) 2 a 2 4
c) Finn stagnasjonspunktene til strømfeltet representert ved ψ. Finn deretter strømlinjene som går gjennom stagnasjonspunktene. Stagnasjonspunkt(er) er løsninger av v r = U(1 a2 r 2)cosθ = v θ = U(1+ a2 r 2)sinθ = Dette sstemet har to løsninger (r = a,θ = ) og (r = a,θ = π), som henholdsvis svarer til ( = a, = ) og ( = a, = ). Strømlinjene gjennom stagnasjonspunktene finner vi ved å sette inn koordinatene til stagnasjonspunktene i uttrkket for strømfunksjonen, og vi må følgelig løse ψ = U(r a2 r )sinθ = Denne likninga har to løsninger: (1) sirkelen r = a og (2) -aksen. Skisser strømfeltet, indiker stagnasjonspunktene, og marker strømlinjene som går gjennom stagnasjonspunktene. Her er stagnasjonspunktene markert som store svarte punkter, og strømlinjene gjennom stagnasjonspunktene er markert som tkke kurver. Forklar hvordan dette strømfeltet kan representere vind som blåser på tvers av et langstrakt telt med halvsirkelformet tverrsnitt (et såkalt tunnelltelt). 5
For å la dette feltet representere vind på tvers av et halvsirkelformet telt, la bakken være -aksen og la teltet være r a for. d) Vi skal nå betrakte luftstrømmen på tvers av et telt som så på i forrige oppgave. Vi lar tngdens akselerasjon g væer rettet i negativ -retning. Tettheten til lufta er ρ. Vi gjør dessuten den urealistiske forenklingen at teltduken er stiv og ikke deformerer seg når det blåser. Vi skal la lufttrkket p rundt teltet være gitt ved Bernoullis likning. Skriv ned Bernoullis likning (utledning ikke nødvendig) og forklar når og hvordan denne likningen kan brukes. Bernoullis likning forutsetter 1. Friksjonsfri strømning 2. Stasjonær strømning 3. Konstant tetthet eller inkompressibelt fluid Da er p ρ + 1 2 v2 +g konstant langs en strømlinje. 6
Regn ut total kraft F som virker fra lufta på teltet. Forklar ut fra dette svaret hvorfor det kan være en god idé å bardunere teltet godt på en vindfull dag. I det følgende regner vi ut total kraft som virker på teltet fra lufta på utsiden av teltet. Det er selvfølgelig luft inne i teltet også, men det har vi sett bort fra i løsningen nedenfor. Velg strømlinjen r = a. Velg stagnasjonspunktet (r = a,θ = ) som referansepunkt hvor vi setter p = p. Langs denne strømlinjene har vi hastighet v = v θ r=a i θ = 2U sinθi θ Bernoullis likning gir nå trkket langs strømlinjen p = 2ρU 2 sin 2 θ ρgasinθ +p Enhetsnormalvektor til teltet er n = i r = cosθi+sinθj, og et infinitesimalt overflateelement langs teltduken er dσ = a dθ. Den totale kraften pr. lengdeenhet fra lufta på teltet blir da F = pndσ = r=a, θ π π ( 2ρU 2 sin 2 θ ρgasinθ +p )(cosθi+sinθj)adθ = 8 3 ρau2 j + 1 2 ρgπa2 j 2ap j Det første leddet representerer vind-indusert løft som virker oppover. Det andre leddet representerer oppdrift, dvs. en vertikal kraft lik vekten av den fortrengte lufta. Det tredje leddet representerer nedoverrettet kraft på grunn av lufttrkket ved bakken. Formler: (Dersom vi i tillegg hadde tatt hensn til lufta inne i teltet så ville vi fått bidrag som hadde kanselert ut andre og tredje ledd ovenfor, og da hadde vi kun sittet igjen med det vind-induserte løftet.) Dersom vinden blir tilstrekkelig sterk vil det vind-induserte løftet bli så stort at teltet vil løftes opp fra bakken. Derfor kan det være lurt å bardunere godt. φ = φ r i r + 1 φ r θ i θ, sin 2 θcosθdθ = sin3 θ, 3 v = 1 r r (rv r)+ 1 v θ r θ sin 3 θdθ = cos3 θ 3 cosθ 7