Feltteori og vektoranalyse. Forelesningsnotater

Feltteori og vektoranalyse Forelesningsnotater av Geir Pedersen og Bjørn Gjevik Avdeling for mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 2009

Forord Dette dokumentet er utfyllende forelesningsnotater til deler av kurset MEK1100 høsten 2009. Det utfyller og utdyper deler av kompendiet Feltteori og vektoranalyse av Gjevik og Fagerland. For en del temaer går dette forelesningsnotatet mer i dybden eller inneholder flere detaljer enn kompendiet. Forøvrig er oppbygningen av stoffet og filosofien bak framstillingen i hovedsak lik. Hovedansvarlig for notatene er G. Pedersen, mens deler er utarbeidet i samarbeid med B. Gjevik. Forelesningsnotatene er organisert med kapittelnummere som følger kapittelnummere med tilsvarende innhold i kompendiet. Dette betyr bla.a. at det er hull i nummereringen i disse forelesningsnotatene. Kryssreferanser gjelder internt i forelesningsnotatene dersom ikke annet er angitt.

Innhold 2 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 7 2.1 Skalarfunksjoner av en variabel....................... 7 2.1.1 Derivasjon og differensial...................... 7 2.1.2 Taylorpolynom i en variabel..................... 8 2.2 Partiell derivasjon og retningsderiverte................... 8 2.2.1 Partiellderiverte........................... 8 2.2.2 Retningsderiverte........................... 10 2.3 Gradientvektoren til et skalarfelt...................... 11 2.4 Egenskaper og bruk av gradienten..................... 12 2.4.1 Et uttrykk for flatenormalen.................... 13 2.4.2 Hvordan finne skalarfunksjonen når gradientvektoren er kjent.. 14 2.5 Taylorutvikling i to og tre variable..................... 15 2.5.1 Eksempel på andre ordens Taylor-approksimasjon........ 16 2.6 En topografisk anvendelse av gradientvektoren.............. 16 2.7 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer..................... 17 2.7.1 Eksempler på strømlinjer...................... 20 2.7.2 Hastighetsfeltet i en skive som roterer............... 22 2.8 Oppgaver................................... 23 4 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling 27 4.1 Representasjon av kurver.......................... 27 4.1.1 Tangenter, buelengder og normaler................. 28 4.1.2 Eksempler på kurver......................... 29 4.2 Kurveintegraler................................ 30 4.2.1 Integral av skalarprodukt...................... 31 4.2.2 Integralet for volumfluks....................... 36 4.2.3 Trykkintegral............................. 39 4.2.4 Buelengdeintegral.......................... 41 4.3 Volumstrøm, sirkulasjon, divergens og virvling.............. 41 4.3.1 Sirkulasjon.............................. 41 4.3.2 Volumfluks ut av et lukket område................. 42 4.3.3 Divergensen til et vektorfelt..................... 42 4.3.4 Virvlingen til et vektorfelt...................... 45 4

INNHOLD 5 6 Notater: flateintegraler 47 6.1 Litt ekstra om flateintegraler........................ 47 6.1.1 Parameteriserte flater........................ 47 6.1.2 Parameterisering og integraler.................... 48 6.1.3 Eksempler på parameterisering av flater.............. 49 7 Notater: integralsatser 52 7.1 Integralsatser, fundamentalsatser...................... 52 7.2 Greens sats.................................. 52 7.3 Gauss og Stokes sats i planet........................ 56 7.4 Gauss sats i 3D................................ 58 7.5 Stokes sats.................................. 59 7.5.1 Stokes sats begrunnet vha. diskretisering............. 59 7.5.2 Stokes sats utledet fra Greens vha. parametrisering.*...... 59 9 Notater: strømfunksjon og potensialstrøm 61 9.1 Divergensfri strøm.............................. 61 9.1.1 Strømfunksjonen........................... 61 9.1.2 Eksistens av strømfunksjon..................... 62 9.2 Hastighetspotensialet............................. 64 9.3 Divergens- og virvelfrie felter, Laplace-operatoren............. 64 9.3.1 Laplacelikningen........................... 64 9.3.2 Randverdiproblemer og løsninger*................. 65 9.3.3 Noen løsninger av 2 φ = 0..................... 66 10 Tillegg; feltlikninger for fluider 69 10.1 Gradienten til et vektorfelt......................... 69 10.2 Virvellikningen; virvelfri bevegelse..................... 70 10.2.1 Men, hvor kommer virvlingen fra?................. 71

6 INNHOLD

Kapittel 2 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer I dette kapitlet skal vi blant annet innføre gradientvektoren for skalarfelter og diskutere viktige egenskaper ved denne. Gradientvektoren uttrykker den lokale variasjonen av skalarfelter og kan betraktes som en generalisering av den deriverte for vanlige funksjoner. Vi starter derfor med en rask repetisjon av derivasjon av reelle funksjoner av en variabel. 2.1 Skalarfunksjoner av en variabel 2.1.1 Derivasjon og differensial For funksjoner f(x) er den deriverte endringsraten av f mhp. x. Den vanlige matematiske definisjonen av den deriverte kan vi skrive f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). (2.1) x Dersom x står for en avstand uttrykker f endring av f pr. lengdeenhet, dersom x er tid er f tidsendring etc. For endelige, men små, x kan en lineær tilnærmelse til endringen av f fra x til x + x skrives f = f(x + x) f(x) f (x) x. (2.2) Innfører vi et feillledd, E, kan dette mer presist uttrykkes f = f(x + x) f(x) = f (x) x + E(x, x), (2.3) der E/ x 0 når x 0. Dette betyr at det andre leddet på høyresiden i (2.3) går fortere mot null enn det første for små x. En mer kompakt skrivemåte for (2.2) og (2.3) er df = f (x)dx. (2.4) I forhold til (2.2) er de endelige differensene f og x byttet ut med differensialene df og dx, og feilleddet i (2.3) er underforstått og ikke skrevet ut. Innholdet i (2.4) kan 7

8 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer uttrykkes: når endringen av x er liten nok, kan vi sette endringen av f til den deriverte ganger endringen av x. Til slutt merker vi oss at bruken av differensialet slik vi har innført det her er konsistent med hvordan det brukes i notasjonen for integraler. 2.1.2 Taylorpolynom i en variabel Når vi bruker relasjoner som (2.4) vil vi som regel ikke bry oss med å regne ut det eksplisitte feilleddet for den tilhørende differensrelasjonen av typen (2.3); det er nok for oss å vite at feilen er liten nok. I det enkle eksemplet ovenfor kan vi likevel finne feilleddet dersom vi har en Taylorutvikling av f, f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) +... + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n, (2.5) n! der vi har utviklet om x = x 0 og R n er restleddet. En populær form på restleddet er R n = f(n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1, der c ligger mellom x 0 og x. Vi merker oss at denne formen på restleddet er svært lik ledd n + 1 i Taylorutviklingen og ofte er det godt nok å bruke dette leddet som et mål på feilen. Vi ser nå at (2.3) tilsvarer en lineær Taylorutvikling om x med inkrement x. Feilleddet i (2.3) tilsvarer da restleddet i Taylorutviklingen og vi kan skrive E(x, x) = f (c) 2 ( x)2. Når f er endelig ser vi umiddelbart at E/ x 0 når x 0. 2.2 Partiell derivasjon og retningsderiverte For enkelhets skyld ser vi på et skalarfelt β(x, y) som avhenger av to frie variable, men mye av det vi gjør kan uten videre overføres til skalarfelter definert over flere variable. 2.2.1 Partiellderiverte Et skalarfelt vil endre seg ulikt i ulike retninger ut fra et punkt (x, y). Langs koordinataksene kan vi definere partieltderiverte. Den partiellderiverte mhp. x finnes da ved å holde y konstant og derivere mhp. x som om β var en funksjon av en variabel. Tilsvarende finner vi den partiellderiverte mhp. y ved å holde x konstant. I følge definisjonen av den deriverte gitt i (2.1) kan vi da skrive β(x, y) β(x + x, y) β(x, y) β(x, y) β(x, y + y) β(x, y) = lim, = lim. x x 0 x y 0 y (2.6) Vi bruker bøyde derivasjonssymboler for å understreke at funksjonen avhenger av flere variable. Videre ser vi at de partiellderiverte β β x og angir endringsraten av β

2.2. PARTIELL DERIVASJON OG RETNINGSDERIVERTE 9 y f(x) f(x 0 ) ( df ) dx x 0 (x x 0 ) x x 0 x Figur 2.1: En funksjon f(x) kan approksimeres i nærheten av et punkt x 0 med tangenten til f(x) i punktet x = x 0. i akseretningene. Geometrisk kan vi framstille et skalarfelt av to variable, x og y, som en flate F gitt ved z = β(x, y), slik som skissert i figur 2.2. Vi forutsetter at flaten er glatt og sammenhengende uten skarpe sprang (diskontinuiteter). Eksempel Funksjonen z = z(x, y) gitt ved z = 1 + x 2 + y 2 framstiller en parabolsk flate i rommet med laveste punkt z = 1 for x = y = 0. Partiellderivasjon gir: z x = 2x, z = 2y. For x = y = 0 er z x = z verdier av x og y blir z x og z Partiellderiverte av høyere orden = 0 slik at flaten tangerer planet z = 1 i origo. For store store og flaten stiger bratt for økende verdier av x og y. Dersom funksjonen f(x, y) er tilstrekkelig glatt og kontinuerlig kan man definere høyere ordens partielle derivasjoner 2 f x 2, 2 f x, 2 f x, 2 f 2.

10 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer z T 2 K y F T 1 K x y y=y 0 x=x 0 Figur 2.2: En flate F i rommet. Kurven K x er gitt ved z = β(x, y 0 ). T 1 er tangenten til K x i x 0, y 0 og har stigningstall x β(x 0, y 0 ). Tilsvarende for K y og T 2. x Ved den første holdes y konstant ved begge derivasjoner. Ved den andre holdes først y konstant når det deriveres med hensyn på x og deretter holdes x konstant når det deriveres med hensyn på y. Tilsvarende for de to andre uttrykkene. Det kan vises at for glatte kontinuerlige funksjoner så er rekkefølgen av derivasjonene uten betydning slik at 2 f x = 2 f x. For funksjoner av flere enn to variable defineres partiell derivasjon på tilsvarende måte. Vi skal se eksempel på det i neste avsnitt. 2.2.2 Retningsderiverte For å beskrive endringen i andre retninger enn de som er parallelle med aksene definerer vi en enhetsretningsvektor, a der a = 1. En linje gjennom r = (x, y) med retning a kan da beskrives ved r + as der s er avstanden langs linja fra r. Det vanlige derivasjonsbegrepet langs linjen gir den retningsderiverte β (r,a) = lim s 0 β(r + a s) β(r). (2.7) s Resultatet her avhenger retningen på a. På differensialform kan vi skrive (2.7) som dβ = β (r,a)ds, (2.8) i samsvar med (2.4). Denne dβ er altså endringen β får når posisjonen i (x, y) planet endres ads. Vi kommer ikke til å benytte notasjonen β for retningsderivert mye, men vil knytte begrepet til gradienten.

2.3. GRADIENTVEKTOREN TIL ET SKALARFELT 11 2.3 Gradientvektoren til et skalarfelt Vi vil nå se nærmere på grenseovergangen i (2.7). Når vi skriver a = a x i + a y j kan vi uttrykke endringen i posisjon i (2.7) ved a s = r = xi + yj der x = a x s og y = a y s. Først deler vi veien fra r til r + r i en del parallell med x-aksen, fra r til r + xi, og en del parallell med y-aksen, fra r + xi til r + xi + yi = r + r. Den dividerte differansen i (2.7) kan da deles i to dividerte differanser som vi kan relatere til de partiellderiverte. β β(r + a s) β(r) β(r + r) β(r) (r,a) = lim = lim s 0 s s 0 s β(r + xi) β(r) + β(r + r) β(r + xi) = lim s 0 s ( ) β(x + x, y) β(x, y) β(x + x, y + y) β(x + x, y) = lim +. s 0 s s (2.9) Siden x, y 0 når s 0 følger β β(x + x, y) β(x, y) (r,a) = a x lim x 0 x + a y lim x, y 0 β(x + x, y + y) β(x + x, y). y (2.10) Det første leddet gir den partiellderiverte mhp. x. I det andre leddet har vi en dobbel grenseovergang. For fastholdt x får vi den partiellderiverte mhp. y i punktet x+ x, y. Vi skal ikke diskutere formalitetene i detalj her, men dersom det antas kontinuitet av de partiellderiverte i en omegn omkring (x, y) vil den andre grensen, som rimelig er, gi den partiellderiverte mhp. y i punktet (x, y). Da følger β (r,a) = β(x, y) a x + x Det er mer hensiktsmessig å skrive dette på vektorform der vi har innført gradienten til β ved Kombineres (2.8) og (2.12) kan vi skrive β(x, y) a y. (2.11) β (r,a) = β a, (2.12) β = β x i + β j. (2.13) dβ = β dr = β β dx + dy, (2.14) x der dr = ads. (2.14) sier at endringen i β tilnærmet er gradienten til β prikket med endringen i posisjon. Uttrykket lengst til høyre viser at denne endringen svarer til å legge sammen endringen i en forflytning dx i x-retning med endringen i en forflytning dy i y-retning. Dette er illustrert i figur 2.3 og svarer til omskrivningen av (2.7) til (2.9). Uttrykt med endelige differanser svarer (2.14) til der lim r 0 E/ r = 0. β = β(r + r) β(r) = β r + E(r, r), (2.15)

12 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer y dr dβ = dβ 1 + dβ 2 = β dr dx dβ 1 = β x dx dy dβ2 = β dy x Figur 2.3: Forhold mellom retningsdifferensialer. Flere frie variable Dersom vi ser på et skalarfelt med tre frie variable, β(x, y, z), er partiellderiverte mhp. z definert på samme måte som for x og y. Retningsderivert kan stadig defineres ved (2.7) der retningsvektoren nå har tre komponenter a = a x i + a y j + a z k. Vi kan gjenta oppdelingen av veien fra r til r + dr i (2.9) ved å legge et tredje bidrag langs z aksen fra (x + x, y + y, z) til (x + x, y + y, z + z). Den videre utledning er som i to dimensjoner og leder til gradienten β = β x i + β j + β k, (2.16) z mens (2.12), (2.14) og (2.15) forblir uendret. Dersom skalarfeltet avhenger av tid og rom, slik at β(x, y, z, t) kan vi definere partiellderiverte mhp. t slik som for romkoordinatene. Derimot vil vi ikke trekke den tidsderiverte inn i gradienten. Vi foretrekker å la gradienten beskrive utelukkende romlig endring. 2.4 Egenskaper og bruk av gradienten Dersom vi betegner vinkelen mellom gradienten og dr med θ kan (2.14) skrives dβ = β dr cos θ. (2.17) Vi ser at den største endringsrate av β (endringen pr. dr ) inntreffer i retningene parallelt med β. Dersom dr er normal på β (θ = 1 2π) blir endringsraten null. Flater med samme verdi av skalaren β(x, y, z) kalles ekviskalarflater og er gitt ved β(x, y, z) = β 0

2.4. EGENSKAPER OG BRUK AV GRADIENTEN 13 hvor β 0 er konstant. Når dr ligger i tangentplanet til ekviskalarflaten er tilveksten dβ = 0 og fra (2.17) følger da at gradienten er normal til ekviskalarflaten i alle punkter. Enhetsnormalen til ekviskalarflaten β = konstant kan etter hva vi nå har lært skrives n = β β. z β β = β 0 y x Figur 2.4: Gradientvektoren til et skalarfelt β står normalt på ekviskalarflaten. Gradientvektoren har følgende viktige egenskaper: 1) Den står normalt ekviskalarflatene. 2) Den peker mot større verdier av skalaren. 3) Den angir økningen i skalarverdien pr. lengdeenhet i den retningen hvor økningen er størst. 2.4.1 Et uttrykk for flatenormalen Ovenfor så vi at gradienten til et skalarfelt er rettet normalt på ekviskalarflatene. Dette kan vi også benytte for å finne flatenormalen til en flate gitt på formen z = η(x, y). Vi skriver om likningen til flaten ved å definere skalarfeltet β(x, y, z) β(x, y, z) z η(x, y) = 0

14 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Poenget er at flaten nå har tolkning som en ekviskalarflate gitt ved β = β 0 =konst. for den spesielle verdien β 0 = 0. Gradienten til β er β = η x i η j + k siden z z = 1. Videre er ( η ) 2 β = + x ( ) η 2 + 1 slik at flatenormalen blir: n = ( η x i η ) / ( η j + k x ) 2 + ( ) η 2 + 1. Dersom η bare varierer i to dimensjoner i xz-planet forsvinner variasjonen i y-retning og en får et noe enklere uttrykk for normalen til kurven z = η(x) i xz-planet ( n = η )/ ( ) η 2 x i + k + 1. x 2.4.2 Hvordan finne skalarfunksjonen når gradientvektoren er kjent Ofte får man behov for å finne funksjonen β når gradientvektoren β er kjent. Vi skal illustrere dette ved et eksempel hvor β er gitt ved Vi har da at β x = y, β = yi + xj + k. β = x, β z = 1. Vi integrerer de tre likningene henholdsvis med hensyn på x, y og z og får β = yx + f 1 (y, z), β = xy + f 2 (x, z), β = z + f 3 (x, y), hvor f 1 (y, z), f 2 (x, z) og f 3 (x, y) er ubestemte funksjoner. Derivasjon av uttrykkene viser at vi har integrert riktig. Siden vi krever et entydig uttrykk for β(x, y, z) må vi velge f 1 (y, z) = z, f 2 (x, z) = z og f 3 (x, y) = xy. Derved blir uttrykket for skalarfunksjonen β(x, y, z) = xy + z + konstant. For å kontrollere kan vi nå finne β og se at uttrykket stemmer med utgangspunktet.

2.5. TAYLORUTVIKLING I TO OG TRE VARIABLE 15 2.5 Taylorutvikling i to og tre variable For funksjonen f(x) kan Taylorpolynomet av grad n, kalt p n (x), om punktet x 0 defineres ved å kreve at dj f(x 0 ) = dj p n(x 0 ) for j = 0, 1..n. Dette betyr at funksjonsverdiene og de dx j dx j n 1 første deriverte faller sammen i x 0. Fra dette følger polynomdelen av (2.5), mens en annen analyse er nødvendig for å finne feilleddet. Ideen med å kreve sammenfalne deriverte kan uten videre overføres til en funksjon av to variable g = g(x, y) om punktet x = x 0, y = y 0. Et førsteordens Taylorpolynom blir da ( ) ( ) g(x, y) g g = g(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) + (2.18) x x 0,y 0 x 0,y 0 hvor g g x og er de partielt deriverte av funksjonen g henholdsvis med hensyn på x og y beregnet i punktet (x 0, y 0 ). Andre ordens tilnærming av en funksjon av to variable er ( ) ( ) g(x, y) g g = g(x0, y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) + x x 0,y 0 x 0,y 0 1 2 ( 2 ) g x 2 (x x 0 ) 2 + 1 x 0,y 0 2 ( 2 ) g (x x 0 )(y y 0 ). x x 0,y 0 ( 2 ) g 2 (y y 0 ) 2 + x 0,y 0 Dersom vi partiellderiverer polynomet på høyre side finner vi raskt at det har de samme partiellderiverte som g tom. andre orden. Generalisering av (2.18) for funksjoner av tre romlige variable, x, y og z skulle være åpenbar. Et Taylorpolynom av første orden blir g(x, y, z) = g(x 0, y 0, z 0 )+ ( g x ) (x x 0 )+ ( g ) (y y 0 )+ ( ) g (z z 0 )+, (2.19) z der det er underforstått at de partiellderiverte er evaluert i (x 0, y 0 ). Også i tilfellet med flere variable kan vi utlede et restledd for Taylorpolynomet, selv om det får en litt komplisert form. Dersom funksjonen er glatt nok viser restleddet at feilen ved å tilnærme en funksjon med et Taylorpolynom av grad n er proporsjonal med inkrementene i x, y og z i kombinasjoner av potenser med samlet grad n + 1. Vi skal ikke gå nærmere inn på restleddet og dets utledning her. På tilsvarende måte som det lineære Taylorplynomet i en variabel innholder (2.3) inneholder et lineært Taylorpolynom av flere variable den samme informasjon som gradienten. Dersom vi flytter over første ledd på høyre side i (2.19) og innfører x = x x 0, y = y y 0 og z = z z 0 blir resultatet g = g x x + g g y + z = g r, z der g = g(x 0 + x, y 0 + y, z 0 + z) g(x 0, y 0, z 0 ) er endringen av g når posisjonen endres r = xi + yj + zk. Tilnærmelesen ovenfor svarer altså til (2.14) og (2.15) bortsett fra at vi nå har tre frie variable.

16 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 2.5.1 Eksempel på andre ordens Taylor-approksimasjon Vi ønsker å finne en andre ordens Taylor-approksimasjon for funksjonen g(x, y) = e xy, i omegn av punktet (0, 0). Vi må da finne verdien på g/ x, g/, 2 g/ x 2, 2 g/ 2 og 2 g/ x i punktet (0, 0). Disse er: g x = yexy g = xexy 2 g x 2 = y2 e xy 2 g 2 = x2 e xy 2 g x = exy + xye xy Taylor-approksimasjonen blir dermed ( g ) x = 0, 0,0 ( g ) = 0, 0,0 ( 2 g x 2 ) ( 2 g 2 ) 0,0 = 0, 0,0 = 0, ( 2 g ) x = 1. 0,0 g(x, y) = 1 + xy. 2.6 En topografisk anvendelse av gradientvektoren Den horisontale høydegradienten, dvs. endringen i høyde pr. meter i horisontalplanet, for en terrengform (se figur 1.7 i Kompendiet) gitt ved h = h 0 1 + x2 +y 2 R 2, kan finnes forholdsvis enkelt. Vi setter r 2 = x 2 + y 2. Da blir h = h(r) en funksjon av r. Nå er dh dr = h 0 2r ( ) 1 + r 2 2 R 2. R 2 Videre er og på tilsvarende måte r x = 1 2 (x2 + y 2 ) 1 2 2x = x r, r = y r.

2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 17 Høydegradienten er h = h x i + h j = h r r x i + h r r j = 2h 0 R 2( 1 + r2 R 2 ) 2 (xi + yj) 2h 0 r = R 2( ) 1 + r2 2. R 2 Konturlinjer (høydekvoter) for h og gradientvektoren h er tegnet i samme figur (2.5). 10 8 6 4 2 y 0 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x Figur 2.5: Konturlinjer for h og gradientvektoren h. x- og y-aksen er oppgitt i km. h 0 = 2277 m, R = 4000 m. Vi ser at høydegradientvektoren er størst der hvor høydekvotene ligger tettest og at gradientvektoren peker mot større verdier av h. 2.7 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer Vektorfeltet i figur 2.6 viser vindvariasjonen omkring den kraftige syklonen Floyd i Karibien ved et angitt tidspunkt, 10:48 UT (Universal time, også kalt verdenstid) den 13. september 1999. Lengden av vektorene angir vindstyrke og retningen angir vindretningen. Dette feltet representerer altså et øyeblikksbilde av vindvariasjonen omkring syklonsentret. Syklonsentret beveger seg samtidig med at styrken endres. Ved et senere tidspunkt har derfor vektorfeltet forandret seg. La oss, i første omgang, anta at vi har å gjøre med et to-dimensjonalt strømningsfelt. Strømhastigheten kan da beskrives ved en vektor v med komponenter {v x, v y } henholdsvis i x- og y-retning v = v x (x, y, t)i + v y (x, y, t)j.

18 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Kjenner en funksjonen i et utvalg punkter (x, y) ved en gitt t kan man tegne opp vektorfeltet på en tilsvarende måte som vist i figur 2.6. Hastigheten angir forflytingsraten til en partikkel som følger med væskestrømmen. Velger vi en slik partikkel og betegner posisjonen med (x p (t), y p (t)) vil relasjonen mellom hastighet og posisjon bli dx p dt dy p dt = v x (x p (t), y p (t), t), = v y (x p (t), y p (t), t). (2.20) Dette er et sett av differensiallikninger for x p og y p som i prinsippet kan løses dersom vi spesifiserer x p (0) og y p (0), dvs. hvor partikkelen kommer fra. Vi skal nå innskrenke oss til å se på et stasjonært strømningsfelt som altså ikke forandrer seg i tiden v = v x (x, y)i + v y (x, y)j. Ser vi på en fast posisjon x 0, y 0 vil ulike partikler være i denne posisjonen ved ulike tider. Etter at de har passert x 0, y 0 vil alle partiklene følge samme bane videre. Vi har altså sekvenser av partikler som som følger de samme linjene, kalt strømlinjer, som har strømhastighetsvektoren som tangent (se figur 2.7). For å få et visuelt bilde av feltet er det ofte hensiktsmessig å tegne strømlinjene for feltet. Når feltet er stasjonært kan vi dele de to likningene i (2.20) på hverandre og få dy p = v y(x p, y p ) dx p v x (x p, y p ), (2.21) som er en ordinær differensiallikning for y p betraktet som en funksjon av x p. Denne kan inneholde singulæriteter dersom strømlinjene har en komplisert form slik at det ikke er en entydig sammenheng fra x p til y p. Ganger vi med dx p v x vil vi få en likning på differensialform som svarer til (2.22). La oss betrakte strømlinjene på en alternativ, mer geometrisk måte. Vi betegner et vektorelement i tangentretning av strømlinjen med dr = dxi + dyj. Da må vektorene dr og v være parallelle og det kan uttrykkes ved kravet v dr = 0. Dette vektorproduktet kan regnes ut på vanlig måte i j k v dr = v x v y 0 dx dy 0 = (v x dy v y dx)k = 0 hvor k er enhetsvektoren normalt på xy-planet. Av dette ser vi at langs en strømlinje må v x dy = v y dx. (2.22) Dette er en viktig relasjon som kan brukes til å finne strømlinjene. Det er viktig å merke seg at x og y begge varier langs strømlinjene. I alminnelighet blir det derfor feil å antiderivere v x i (2.22) med mhp. y og v y mhp. x og sette resultatene lik hverandre, men i en del tilfeller kan vi gjenkjenne (2.22) som en separabel likning og løse den slik.

2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 19 Figur 2.6: Vind- og nedbørsfeltet i syklonen Floyd i Mexico Gulfen 13. september 1999. Vindretning og styrke er markert med piler, nedbørsintensitet (millimeter per time) med fargeskala. Syklonen Floyd forårsaket stor skade da den kom innover land de følgende dagene.

20 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer På tilsvarende måte kan en for et vilkårlig vektorfelt A finne et sett av linjer som har A som tangent. Linjene kalles feltlinjer. Slik kan en for eksempel visualisere elektriske eller magnetiske felt (se figur 2.8). y dr v v dr x Figur 2.7: En strømlinje har strømvektoren som tangent. 2.7.1 Eksempler på strømlinjer Eksempel 1 Vi vil se på strømfeltet v = ωyi + ωxj hvor ω er en konstant. Ved innsetning i (2.22) får vi y dy = x dx. Vi merker oss at likningen er separert og har formen funksjon(y)dy = funksjon(x)dx. Derfor kan vi integrere venstresiden av denne likningen med hensyn på y og høyresiden med hensyn på x y dy = x dx får vi 1 2 y2 = 1 2 x2 + hvor er en konstant. Dette kan skrives x 2 + y 2 = 2. Dette er kurven for en sirkel med sentrum i origo og radius 2. Strømlinjene er altså i dette tilfellet sirkler. Vi ser at strømvektorene er tangenter til strømlinjen og rotasjonen i feltet er slik som angitt på figur 2.9 når ω > 0. Siden feltet i dette tilfellet er stasjonært, uavhengig av tiden, vil partikler som flyter i feltet bevege seg langs strømlinjene altså i sirkelbaner.

2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 21 Figur 2.8: Visualisering av elektriske feltlinjer med linfrø som flyter i en oppløsning. Frøene er elektrisk ladet og retter seg derfor inn etter kraftlinjene. Foto: Ørjan Martinsen, Fysisk institutt, UiO. y 3 2 1 1 2 3 x Figur 2.9: Strømlinjene for feltet v = ωyi + ωxj er sirkler med sentrum i origo og radius 2. Her er strømlinjene for = 1/2, = 1 og = 3/2 tegnet.

22 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Eksempel 2 Et annet strømningsfelt er gitt ved v = A(x + y)i + A(x y)j, der A er en konstant. Dette feltet beskriver en mulig strøm rundt et punkt der hastigheten er null. I et senere kapittel skal vi behandle slike felter i en større sammenheng. Bruk av (2.22) gir nå (x + y)dy = (x y)dx. Denne likningen er ikke på separabel form og det blir galt å antiderivere venstresiden mhp. y og høyresiden mhp. x. Etter ordning vil denne gale framgangsmåten gi 1 2 (x2 y 2 ) 2xy =, NB : FEIL. (2.23) Det er en rekke tilgjengelige framgangsmåter for å finne strømlinjene i dette tilfellet. For eksempel vil (2.20) nå gi lineære likninger med konstante koeffisienter som kan løses greit. Vi foretrekker i stedet å bruke et knep i forbindelse med innsetting i likning (2.21) dy dx = v y = x y v x x + y. Dessverre er denne likningen ikke separabel, men ved å legge til 1 på begge sider får vi d(x + y) dx = dy dx + 1 = x y x + y + 1 = 2x x + y. Når vi innfører z = x + y som ny ukjent blir denne likningen separabel i z og x og kan lett løses. Etter at vi har satt inn for z blir løsningen som er uforenelig med (2.23) Magnetiske feltlinjer 1 2 (x2 y 2 ) xy =, NB : RIKTIG, (2.24) På tilsvarende måte som for strømningsfelt kan man tegne opp tangentlinjene til et vektorfelt som representerer kraftfeltet omkring en magnet eller magnetfeltet omkring en strømførende ledning. I disse tilfellene er det vanlig å bruke betegnelsene kraftlinjer eller feltlinjer som altså kan finnes på tilsvarende måte som strømlinjene. 2.7.2 Hastighetsfeltet i en skive som roterer La oss anta at en sirkulær skive roterer om en akse gjennom sentrum av skiven med en vinkelhastighet ω (radianer/sekund). Farten på et sted P i avstand r fra sentrum er da ωr. I løpet av en viss tid har skiven dreid seg en vinkel θ. Regnet fra et fast aksekors xy har punktet P hastighetskomponenter v x = ωr sinθ = ωy, v y = ωr cos θ = ωx.

2.8. OPPGAVER 23 y ω v v y j θ v x i P x y θ r θ v = ωr P Figur 2.10: Skive som roterer om en akse normalt xy-planet. r x På vektorform får vi v = ωyi + ωxj Hvis vi skriver vinkelhastigheten som en vektor ω = ωk hvor k er enhetsvektor i z-retning normalt skiven, kan hastigheten av punkt P skrives ved vektorproduktet v = ω r = ωk (xi + yj). Sjekk at dette er riktig! 2.8 Oppgaver 1. Gitt funksjonen f(x, y, z) = x 2 y + z 2 x. Finn de partielt deriverte 2 f x og 2 f x z og vis at de er lik henholdsvis 2 f x og 2 f z x. 2. Finn Taylor-approksimasjonen av første orden: a) f(x) = sin x om punktet x 0 = 0 b) f(x) = cos x om punktet x 0 = 0 c) f(x) = e x2 om punktene x 0 = 0 og x 0 = 1 d) f(x) = sin x om punktet x 0 = π 2 e) g(x, y) = sin x cos y om punktet (x 0, y 0 ) = (0, 0) f) g(x, y) = xy 2 e x+y om punktet (x 0, y 0 ) = (1, 1) g) g(x, y) = xy 1 + x 2 + y 2 om punktet (x 0, y 0 ) = ( 1, 2)

24 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 3. Finn Taylor-approksimasjonen av andre orden: a) f(x) = sin x om punktet x 0 = 0 b) f(x) = cos x om punktet x 0 = 0 c) f(x) = lnx om punktet x 0 = 2 d) f(x) = 1 2 e x om punktet x 0 = 1 4. Finn Taylor-approksimasjonen til andre orden for funksjonen f(x) = ln(x + 1) sinx. Bruk dette til å finne en tilnærmet verdi for ln(1.01)/ sin 0.01. Sammenlikn resultatet med eksakt verdi. (Hint: Rekkeutvikle først teller og nevner hver for seg.) 5. Regn ut gradientvektoren til skalarfeltet β: a) β(x, y, z) = x 2 + xy + z 2 b) β(x, y, z) = e (xy+z) c) β(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 d) β(x, y, z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 e) β(x, y, z) = β(r) hvor β er en funksjon av r = ( x 2 +y 2 +z 2) 1/2. Kontroller svaret ved å sammenligne med resultatene fra c) og d). 6. Finn skalarfeltet β(x, y, z) når gradienten til skalarfeltet er gitt ved: a) β = yzi + xzj + xyk b) β = cos(yz)i xz sin(yz)j xy sin(yz)k c) β = e x i e y j e z k 7. La α(x, y, z) og β(x, y, z) være to skalarfelt og la c være en konstant skalar. Benytt uttrykket for gradientvektoren gitt i (2.16) til å vise: a) (α + β) = α + β b) (cβ) = c β c) (αβ) = α β + β α ( ) 1 d) = 1 β β 2 β

2.8. OPPGAVER 25 8. Vi antar at temperaturfeltet i atmosfæren tilnærmet kan skrives T = T 0 R r hvor r = ( x 2 + y 2 + z 2) 1/2 er avstanden fra origo som ligger i jordens sentrum. R er jordens radius og T 0 er temperaturen ved jordens overflate. a) Finn temperaturgradientens størrelse og retning ved jordoverflaten. b) Velg passende skalering og skriv likningen på dimensjonsløs form. 9. Terrengformen i et fjellpass kan beskrives ved h(x, y) = h 0 + a R 2xy hvor h er høyden over et definert nullnivå og h 0, R og a er konstanter. a) Tegn opp høydekonturene når h 0 = 1200 m, a = 250 m og R = 2 km. b) Hvor i terrenget er det brattest stigning og fall? c) Velg hensiktsmessig skalering og transformer likningen for terrengformen over på dimensjonsløs form. 10. Finn og skisser strømlinjene for følgende hastighetsfelt: a) v = ai + bj b) v = ayi + bxj c) v = ai + bxj hvor a og b er positive konstanter. Hva blir resultatet for b) dersom a er negativ? 11. Finn strømlinjene når v = cy x 2 + y 2i + cx x 2 + y 2j hvor c er en konstant. 12. Finn strømlinjene når v = k β, β = β(x, y). 13. Gitt hastighetsfeltet a) Finn strømlinjene i xz-planet. v = 2kxi + 2kyj 4kzk, k > 0. b) Vis at strømmen er aksesymmetrisk og skisser strømlinjene.

26 Notater: Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer

Kapittel 4 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling 4.1 Representasjon av kurver Kurveintegraler spiller en viktig rolle i mange grener av fysikken. Senere skal vi se eksempler på integraler som svarer til væsketransport gjennom profiler og trykkintegraler som gir krefter på flater i væska. Før vi ser nærmere på integralene skal vi kort diskutere matematiske representasjoner og egenskaper til kurver. En kurve i R 2 kan uttrykkes f(x, y) = 0, (4.1) der f er en funksjon av to variable. Kurven er da mengden av de tallpar (x, y) som oppfyller likningen ovenfor. Viktige eksempler på kurver definert på en slik måte er ekviskalarlinjer for skalarfelter slik de er beskrevet tidligere. En ekviskalarlinje for en funksjon g(x, y) er gitt ved g(x, y) = der er en konstant. Dette svarer til (4.1) med f(x, y) = g(x, y). En kurve på formen (4.1) kan ha en komplisert form og kan også bestå av ulike deler som ikke henger sammen. En følge av dette er at vi ikke alltid kan finne en entydig løsning for, feks., y uttrykt ved x fra (4.1). I R 3 vil en enkelt skalarlikning f(x, y, z) = 0 definere enn flate og ikke en kurve. Legger man til en annen skalarlikning q(x, y, z) = 0 framkommer da en kurve som skjæringen av flatene definert ved hhv. f = 0 og q = 0. Vi skal ikke benytte oss mye av kurver beskrevet som skjæringen mellom to flater her. Ofte er det mer hensiktsmessig å parametrisere en kurve enn å uttrykke den ved hjelp av relasjoner mellom koordinatene. I R 3 innfører vi da en parameter t og skriver r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (4.2) der x(t), y(t) og z(t) er skalarfunksjoner av t og parameteren t kan gjennomløpe feks. et endelig intervall, halvuendelig intervall eller hele tallinja. For en gitt kurve er det mange mulige valg av t. Dersom vi har en annen parameter s, slik at t = t(s) for det aktuelle intervallet for t, kan kurven parametriseres i s ved r(s) = r(t(s)). Selve kurven er da naturligvis ikke endret. I noen anvendelser vil t svare til tiden og r(t) til posisjonen av et legeme eller partikkel, men ofte vil t ha en annen tolkning. Noen ganger vil parameteren 27

28 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling y dr dt x Figur 4.1: Den deriverte av r = ( 1 3 t + 1 2 t2 )i + ( 6 5 t 1 5 t2 )j i t = t 0 = 0.4 sammen med de dividerte differensene (r(t 1 ) r(t 0 ))/(t 1 t 0 ) og (r(t 2 ) r(t 0 ))/(t 2 t 0 ) der t 1 = 0.8 og t 2 = 1.2. Dersom vi framstiller fysiske størrelser med benevning på denne måten vil lengden av differenser og deriverte i forhold til kurven avhenge av valg av enheter/skalering. tilsvare en av koordinatene, feks. x, slik at r(t) = ti + y(t)j + z(t)k. Som regel bruker vi da koordinatens navn, i stedet for t, og skriver r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. 4.1.1 Tangenter, buelengder og normaler. Parametriseringen (4.2) definerer en vektorevaluert funksjon av t. Denne kan deriveres på vanlig vis dr dt = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, i + y(t+ t) y(t) t ) j + z(t+ t) z(t) t k (4.3) der x er det samme som dx dt. Vi kommer til å blande disse skrivemåtene for de deriverte mhp. parameteren t i det følgende. Grenseovergangen i (4.3) er illustrert i figur 4.1 der vi merker oss at dr dt er en tangent til kurven. Dersom r er en posisjonsvektor og t er tiden vil dr dt representere hastighet. Vi kan også putte den deriverte inn i en sammenheng

4.1. REPRESENTASJON AV KURVER 29 mellom endringen av r og endringen av t dr = dr dt dt = x dti + y dtj + z dtk = dxi + dyj + dzk Hvis vi regner buelengden fra en gitt t-verdi, feks. t = a, og betegner den med s(t) vil ds = dr dt dt = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt eller ved å dele på dt (som er regnet positiv) s (t) = dr dt = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4.4) En enhetstangent er da gitt ved t = 1 dr s (t) dt. For en kurve i R 3 vil vi ha mange normalvektorer til kurven i ett gitt punkt. Disse vil utspenne et plan normalt t. I R 2 vil det bare være en normalretning til en kurve. Da finner vi enkelt en normalvektor ved å krysse tangenten med en enhetsvektor normalt (x, y) planet N = dr dt k = y i x j. (4.5) Vi merker oss at N = dr dt = s (t). En enhetsnormal er da gitt ved n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (4.6) (x ) 2 + (y ) 2. Naturligvis er også n en enhetsnormal til kurven i R 2. Har vi gitt kurven på formen (4.1) kan en normalvektor alternativt finnes som f. 4.1.2 Eksempler på kurver En rett linje På formen (4.1) kan en rett linje i R 2 uttrykkes ax + by + c = 0, der a, b og c er konstanter og minst en av a og b er ulik null. En rett linje kan parametriseres ved hjelp av ett punkt r 0 = (x 0 i + y 0 j) og en retningsvektor v = u x i + v x j x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Valget av r 0, v og tolkningen av parameteren t er ikke entydig, men for at framstillingene skal svare til samme linje må en del relasjoner mellom a, b, c og r 0,v være oppfylt. Det overlates til leseren å finne disse relasjonene. En tangent finnes nå ved dr dt = v = u xi + v x j,

30 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling mens en enhetsnormal er n = v k v = v yi v x j. vx 2 + vy 2 Dersom b er ulik null kan linja også parametriseres ved å bruke x som parameter y = c b a b x. Denne svarer til et spesielt valg av r 0 og v. (Hvilket?) En ellipse En ellipse med halvakser a og b kan skrives f(x, y) = x2 a 2 + y2 b 2 = 1 Vi merker oss dersom vi løser denne med hensyn på enten x eller y får vi ikke en entydig løsning. Feks. y = ±b 1 x2 a 2. En enhetsnormal er gitt ved n = f f = En vanlig parametrisering av ellipsen er a 2 xi + b 2 yj a 4 x 2 i + b 4 y 2. r(t) = x(t)i + y(t)j = acos ti + b sintj, 0 t < 2π. En tangent er dr = asinti + b cos tj. dt Vi legger merke til at dette også kan skrives dr dt = a b yi + b a xj. Bruker vi dette finner vi at enhetsnormalen n = dr dt k, dr blir den samme som den ovenfor etter litt omforming. 4.2 Kurveintegraler Det eksisterer en rekke former for kurveintegraler. Vi skal definere noen som blir viktige for oss senere. De har alle det til felles at de kan tilbakeføres til vanlige integraler over et intervall når kurven er parametrisert. dt

4.2. KURVEINTEGRALER 31 4.2.1 Integral av skalarprodukt Dette integralet dukker opp i viktige sammenhenger senere. Vi skal først motivere det med det fysiske begrepet arbeid. Det enkleste uttrykket for arbeid har vi når et et legeme beveger seg langs en rett linje påvirket av en konstant kraft parallelt med denne linja. Arbeidet blir da W = F s, der F er størrelsen av kraften og s er veien legemet forflytter seg. Vi merker oss at benevning, i SI enheter, blir Nm = J. Dersom kraften stadig er konstant, men danner en vinkel med veien, kan vi for rettlinjet bevegelse uttrykke arbeidet som et skalarprodukt fordi det bare er kraftens komponent i veiretningen som utfører arbeid W = F r. (4.7) Vi vil nå generalisere arbeidsbegrepet til det tilfellet at veien er en kurve og kraften en funksjon av legemets posisjon. I tillegg kunne vi ha inkludert at kraften avhenger eksplisitt av tiden, men i mange eksempler er dette ikke tilfelle og vi holder denne muligheten utenfor. Kraften kan da uttrykkes som et vektorfelt F(r). Legemets posisjon (egentlig posisjonen til kraftens angrepspunkt på legemet) er gitt som en kurve,, parametrisert som r(t), a t b. Parameteren t kan her svare til tiden, men kan også være definert på annet vis. Et diskret estimat av arbeid langs en kurve Tilnærmede uttrykk for arbeidet kan vi finne ved å diskretisere kurven og bruke uttrykket (4.7). Å diskretisere kurven innebærer her å erstatte den med en serie rette linjestykker. På hvert linjestykke tilnærmer vi F med en konstant verdi og bruker (4.7). Når vi legger sammen verdiene for W fra alle linjestykkene får vi et tilnærmet uttrykk for det totale arbeidet. Vi ser først på to enkle diskretiseringer av kurven. 1. Et sett punkter, r 1...r n velges på kurven. Mellom disse trekkes rette linjer og vi får et polygondrag som vist i figur 4.2a. 2. Denne diskretiseringen tar utgangspunkt i parametriseringen. Vi deler opp parameterintervallet [a, b] i n delintervaller [0, h], [h, 2h],..,[(n 1)h, nh] der h = (b a)/n slik at h er intervall-lengden og nh = b. Midtpunktet i intervall i betegnes med t i = (i 1 2 )h. For hvert intervall tilnærmes den tilsvarende bit av kurven med en tangent gjennom r(t i ) med lengde r (t i ) h = s (t i )h. Resultatet blir en sekvens av separate, rette linjer som vist i figur 4.2a. For den videre utvikling av kurveintegralet passer alternativ 2 best, mens diskretisering 1 kommer vi tilbake til i en oppgave. Når vi bruker (4.7) på hver tangent, med F innsatt r(t i ) kan de legges sammen til et totalt arbeid som avhenger av n W(n) = n i=1 F(r(t i )) dr(t i) h = dt n F i r i, (4.8) i=1

32 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling y (a) r n y (b) r(t 5 ) r(t 1 ) r(t 2 ) r 1 x x Figur 4.2: To diskretiseringer av en kurve. (a) Et interpolerende drag av rette linjestykker. (b) Tangentlinjer for valgte verdier av parameteren t. der r i er (tilnærmet) veiendring som hører til parameterdelintervall i og F i er kraften midt i dette. Denne formelen gir et estimat av arbeidet langs kurven. Ulike valg av n gir ulike verdier og andre diskretiseringer, som alternativ 1, gir igjen ulike verdier. Dess finere en diskretisering blir, dvs. jo større n er, dess nærmere ligger den diskrete kurven til den egentlige og dess mer vil summen (4.8) svare til en rimelig oppfatning av hva arbeidet er. Vi vil først demonstrere at (4.8) nærmer seg en verdi når n øker for et gitt eksempel. Deretter vil vi diskutere konvergens når n litt mer stringent. Eksempel på diskretisering Vi velger et todimensjonalt kraftfelt og en som svarer til en kvartsirkel om origo med radius 1 i xy-planet r = costi + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x + 3 2 y2 )j (4.9) der gjennomløpes slik at vinkelen t starter i 0. Kurven og kraftfeltet er vist i figur 4.3(a). I dette eksemplet er det underforstått at kraft og posisjon er gitt med samme typen enheter eller er gjort dimensjonsløse. Eksemplet skriver seg heller ikke fra et fysisk problem. Vi bruker nå (4.8) med ulike valg av n. Resultatene i tabellen n 2 5 10 20 100 500 W(n) 3.56159 1.29244 0.96508 0.96431 0.96406 0.96405 er regnet ut med dobbel presisjon (64 bits aritmetikk) og antyder at vi faktisk nærmer oss en grenseverdi for store n, dvs. fin oppdeling.

4.2. KURVEINTEGRALER 33 y (a) g(t) (b) x 0 t 4 1 2 π t Figur 4.3: (a): Kurve i eksempel med piler for F langs kurven. Tetthet av vektorer tilsvarer n = 7. (b): Integrand, g(t), med diskretisering svarende til (4.8) med n = 7. Det skyggelagte arealet er er den diskrete tilnærmelsen til kurveintegralet, som tilsvarer arealet under den glatte linjen. Relasjon til vanlig integral, feilestimat Dersom vi oppfatter F(r(t)) r (t) som en vanlig funksjon av en variabel, kalt g(t), kan (4.8) uttrykkes n W(n) = g(t i )h, (4.10) som svarer til midtpunktmetoden anvendt på integralet (se figur 4.3(b)) W = b a i=1 g(t)dt. (4.11) Grenseverdien for (4.8), når n blir stor, må da svare til integralet i (4.11). For eksempelet ovenfor kan dette vises ved å utføre integralet b a g(t)dt = 1 2 π 0 ( 1 4 (cos t sint)( sin t) + (1 2 cos t + 3 2 sin2 t)cos t Vi kan nå også finne et estimat på feilen fra delintervall nummer i E i = t i + 1 2 h t i 1 2 h g(t)dt g(t i )h ) dt = 3 8 +3π 16 0.964049... Vi antar at g er kontinuerlig og innfører en antiderivert, G, slik at G (t) = g(t). Feilen kan da skrives E i = G(t i + 1 2 h) G(t 1 2 h) g(t i)h.

34 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Innsetting av Taylorpolynom med restledd og G (t i ) = g(t i ) etc., gir så G(t i + 1 2 h) = G(t i) +g(t i ) h 2 + 1 2 g (t i ) ( ) h 2 + 1 6 g (c + ) ( h G(t i 1 2 h) = G(t i) +g(t i ) h 2 g(t i )h = g(t i )h 2 1 2 g (t i ) ( h 2 ) 2 + 1 6 g (c ) ( h 2 2 )) 3 ) 3 E i = h 3 48 (g (c ) + g (c + )), der t i c + t i + 1 2 h og t i 1 2 h c t i. Dersom g er kontinuerlig finnes det en c slik at 1 2 (g (c ) + g (c + )) = g(c). Vi kan da skrive E i = h3 24 g (c) E i h3 24 M (4.12) der M er maksimal tallverdi av g på intervallet. Ved å legge sammen bidragene fra alle intervallene får vi den globale feilgrensen b n g(t)dt g(t i )h bh2 M, (4.13) 24 a i=1 der M nå er maksimum av g i intervallet [a, b]. Vi merker oss at feilen avtar mot 0 som h 2 når n. Titter vi igjen på eksemplet i (4.9) kan vi studere feilen W W(n) delt på h 2. I følge (4.13) skal dette forholdet nærme seg en konstant verdi når n øker. Tabellen n 2 5 10 20 100 500 W W(n) 2.6 3.3 10 1 1.0 10 3 2.6 10 4 1.0 10 5 4.1 10 7 W W(n) h 2 4.211 3.327 4.192 4.173 4.167 4.167 viser at dette faktisk er tilfelle. Notasjoner for kurveintegral Vår beregning av arbeid som en sum av diskrete bidrag endte med arbeidet uttrykt som et integral i variabelen t W = b a F(r(t)) dr(t) dt. (4.14) dt En kan vise at dette integralet er uavhengig av valget av parametrisering, det vil si at to parametriseringer som gir samme kurve også gir samme integral. Vi ønsker derfor også en skrivemåte som er uavhengig av parametervalg. Tidligere har vi skrevet r dt = dr. Innføres dette i (4.14) får vi den alternative skrivemåten W = F dr, (4.15)

4.2. KURVEINTEGRALER 35 der vi har merket integralet med kurven med. Fysisk kan vi uttrykke dette som summen av arbeid fra hvert element dr over hele kurven. Vi kan også innføre komponenter i integranden ved F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + F y dy. (4.16) De to siste integralene kan beregnes uavhengig, men det er viktig å huske at feks. F x(x, y)dx ikke kan integreres ved å antiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i. Både x og y vil variere langs. Dette blir tydelig hvis vi innfører parameteren t i integralene F x dx = b a F x (x(t), y(t))x (t)dt, F y dy = b a F y (x(t), y(t))y (t)dt. I forbindelse med definisjon av divergens og virvling får vi bruk for feilestimatet (4.12) uttrykt på formen F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (4.17) dt der er kurvebiten parametrisert over intervallet [ˆt 1 2 h, ˆt + 1 2h] og R er begrenset av ekstremverdiene av 1 d 2 24 (F dr dt 2 dt ) på dette intervallet. Skalarproduktintegraler på formen (4.15) opptrer ikke bare i forbindelse med arbeid, men i en rekke andre sammenhenger der F erstattes av vektorfelt med en annen fysisk tolkning. Ett eksempel er sirkulasjonsintegralet som er beskrevet senere i dette kapitlet. Integralet av en gradientvektor I et viktig spesialtilfelle kan vektorfeltet avledes av et potensial. Dette vil si at det eksisterer en β(x, y, z) slik at vi kan skrive Kurveintegralet blir nå b a F = β. F(r(t)) dr(t) b dt = dt a Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = dβ(r(t)) dt b a F(r(t)) dr(t) b dt = dt a og β(r(t)) dr(t) dt. dt dβ(r(t)) dt = β(r(b)) β(r(a)). dt Integralet er altså uavhengig av veien og er differensen av β i endepunktene av kurven. Bruker vi formen (4.15) og innfører dβ = β dr kan vi skrive utregningen mer direkte. β dr = dβ = β b β a, (4.18)

36 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling der det siste integralet kan leses som endringen av β integrert opp langs kurven som blir den totale endringen av β fra startpunktet til sluttpunktet av kurven. (4.18) er kurveintegrasjonens motstykke til analysens fundamentalteorem d c f (x)dx = f(d) f(c). Dersom F er et kraftfelt vil β svare til minus den potensielle energien. Dvs. at den potensielle energien er definert ved V = F. Endringen i potensiell energi er da lik minus det arbeidet som kraften F utfører langs V b V a = F dr. Dersom dette arbeidet går til å øke den kinetiske energien til legemet vil summen av potensiell og kinetisk energi holde seg konstant. Sammensatte kurver Så langt har vi stilltiende antatt at kurvene har vært glatte slik at dr dt er veldefinert overalt. Ganske snart får vi bruk for sammensatte kurver, i betydningen en kurve som er satt sammen av glatte deler, men som kan ha knekker der disse er føyd sammen. I et slikt tilfelle kan vi regne ut kurveintegralet for hver glatt del for seg og addere resultatene for å finne det totale kurveintegralet. 4.2.2 Integralet for volumfluks I en væske, eller et annet medium med kontinuerlig massefordeling, vil hastigheten v angi hvor stor volumstrømmen pr. flate er for en flate som er normal på v. Dette betyr at gjennom et flateelement dσ transporteres det et volum pr. tid lik dq 3 = ± v dσ. Vi merker oss at benevningen for dq 3 er m 3 /s og at fortegnet avhenger av hvilken vei vi definerer transporten som positiv. Den tilsvarende massestrømmen er ρdq 3, der ρ er tettheten, og har benevning kg/s. For å finne volumstrømmen gjennom en flate av endelig utstrekning må vi da summere opp bidragene over flaten. Dette bringer oss til flateintegraler som vi først skal behandle senere. Her skal vi begrense oss til todimensjonal strøm. Dette betyr at hastigheten v(x, y) = v x (x, y)i + v y (x, y)j, er rettet parallelt med xy-planet og er uavhengig av z. Videre ser vi på volumer som er skiver med konstant tykkelse B i z-retning. Grunnflaten av en slik skive er da avgrenset av en kurve,, i xy-planet gitt ved r(t) = x(t)i + y(t)j. Normalvektorene til sideflatene av skiven er da lik normalvektorene til og er rettet parallelt med xy-planet. Det er bare volumstrøm ut gjennom sidekantene. Ser vi på

4.2. KURVEINTEGRALER 37 sideflatesegmentet, med tykkelse B, som tilsvarer et segment dr langs vil arealet være B dr = Bds. Dersom v er rettet normalt, og derved til flaten, blir volumstrømmen pr. tid dq 3 = ± v Bds. Fordi strømmen og geometrien er uniform i z-retningen er det mer hensiktsmessig a regne transport pr. tid og pr. tykkelse dq = dq 3 /B = ± v ds som har benevning m 2 /s. Naturligvis er hastigheten som regel ikke normal på hvert eneste flateelement vi betrakter. Er hastigheten parallell med flaten vil den feks. ikke transportere volum gjennom flaten i det hele tatt. Har vi en hastighetskomponent både parallelt og normalt flaten er det da bare den siste som forårsaker en transport. Betegner vi enhetsnormalen til med n er normalkomponenten av hastigheten v n og volumstrøm pr. tid og pr. tykkelse blir dq = v nds (4.19) Summert over hele kurven blir da fluksen Q = v nds (4.20) Et kurvesegment dr tilsvarer en parameterendring dt slik at dr = r (t)dt. Bruker vi (4.6) kan da (4.19) skrives om dq = v nds = v ns (t)dt = v (y i x j)dt. (4.21) Hastighetskomponenter og en geometrisk tolkning av fluksen er gitt i figur 4.4.

38 Notater: kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling (a) v n = (v n)n (b) v n v v n n ds v s ds v dt h = v n dt Figur 4.4: Vi betrakter volumstrømmen gjennom et lite segment av sideflaten med lengde ds av en skive. Vi ser segmentet ovenfra slik at splanet svarer til papirplanet. I tråd med vanlig bruk av differensialer (ds er forsvinnende liten) framstiller vi kurvesegmentet som en rett linje. (a): Dekomponering av hastigheten i komponenter som står normalt og tangentielt til flaten. (b): Det skraverte området svarer til den væsken som strømmer ut av flateelementet i tiden dt. Arealet, som er transportert væske pr. tykkelse, er gitt ved hds = ds v n dt.

4.2. KURVEINTEGRALER 39 Integralet kan da skrives Q = v nds = (v x y v y x )dt = (v x dy v y dx). (4.22) Om vi vil kan vi også definere et felt som står normalt på hastigheten v ved ˆv = k v = v y i + v x j og skrive fluksen som Q = ˆv dr = (v x dy v y dx). (4.23) Naturligvis må vi også for fluksintegralet huske at både x og y varierer med kurven slik at det normalt ikke nytter å antiderivere mhp. hhv. y og x i de to siste leddene i (4.22) eller (4.23). 4.2.3 Trykkintegral Trykk er definert som kraft pr. flate og er rettet normalt på flaten. Har vi et flatesegment dσ og en enhetsnormal n blir trykk-kraften som virker på segmentet df = pndσ, (4.24) der minustegnet dukker opp fordi kraften virker inn mot flata og n er en utadrettet normal. Siden trykk har benevning N/m 2 får df benevning N, slik den skal ha. I analogi med hva vi gjorde i forrige seksjon ser vi på en todimensjonal geometri med et todimensjonalt trykkfelt p(x, y). Kraften pr. tykkelse på sidekantene av en skive blir da df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der B er tykkelsen av skiva. Størrelsen df 2 har benevning N/m og den totale kraft pr. tykkelse summert langs sideflatene av skiva blir F 2 = pnds. (4.25) Vi merker oss at dette integralet gir en vektor med i og j komponent som resultat. Bruker vi igjen (4.6) kan vi omskrive integralet til F 2 = pns (t)dt = p(y i x j)dt = i pdy + j pdx. (4.26) Eksempel: trykk-kraft på demning Dette eksemplet var en del av eksamenoppgaven høsten 2008. Et vannreservoar er begrenset av en demning som har en profil gitt ved x = b(y), der y aksen peker vertikalt oppover slik at tyngdekraft pr. masseenhet er gitt ved g = gj. En definisjonsskisse er gitt i figur 4.5. Når det er likevekt i væska vil trykket være hydrostatisk. Dette betyr at trykket på flater i væska må balansere tyngden av