MEK4510 Svingninger i konstruksjoner

MEK4510 Svingninger i konstruksjoner H. Osnes Avdeling for mekanikk, Matematisk institutt Universitetet i Oslo MEK4510 p. 1

Generelt om kurset Informasjon tilgjengelig fra: www.uio.no/studier/emner/matnat/math/mek4510/v11/ Lærebok: Dynamics of Structures (3. ed., 2007), av Anil K. Chopra Oppgaver: Tilgjengelige fra web-siden ovenfor Forelesningsnotater: Se web-siden ovenfor Foreløpig pensumliste: Se web-siden ovenfor Undervisning: 2 timer forelesninger og 2 timer regneøvelse pr. uke Eksamen: Sannsynligvis muntlig Obligatoriske oppgaver underveis MEK4510 p. 2

Faglig om kurset Innledning Systemer med én frihetsgrad Fri svingning Tvungen svingning Impulslaster Uten og med dempning Jordskjelvlaster Analytiske løsningsmetoder Numeriske løsningsmetoder MEK4510 p. 3

Faglig om kurset, forts. Systemer med flere frihetsgrader Egenverdianalyse Modal analyse Metoder for å redusere antall frihetsgrader Elementmetoden for dynamiske problemer Litt om ikke-lineære problemer MEK4510 p. 4

Kap. 1: Innledning Relevans for dynamikk Optimaliserte (slanke) konstruksjoner; bruer, skyskrapere Marine konstruksjoner; plattformer, skip Maskiner, biler, fly o.l. Følger av dynamikk Dårlig funksjon For høy (maksimal) belastning Utmatning MEK4510 p. 5

Modellering - løsningsprosedyre Forstå fysikken i problemet Finne representativ beregningsmodell Etablere dynamiske likevektslikninger Formulere initial- og randbetingelser Løse problemet Vurdere løsningen MEK4510 p. 6

Likevektslikninger Newtons 2. lov; f = mü D Alemberts prinsipp Treghetskraft: f I = mü Likevektslikning: f + f I = 0 Virtuelt arbeids prinsipp (integrert versjon av D Alemberts prinsipp) MEK4510 p. 7

Karakterisering Stivhetsegenskaper Masse Dempning Lastpåvirkning MEK4510 p. 8

Systemer med én frihetsgrad Typisk eksempel c k m Horisontal posisjon: u(t) Likevektslikning: f I + f D + f S + p(t) = 0 f I = mü er treghetskraft f D = c u er dempningskraft f S = ku er fjærkraft p(t) er ytre pålagt kraft Dette gir: mü + c u + ku = p(t) Annen ordens, lineær, inhomogen differensiallikning med konstante koeffisienter Referansekonfigurasjon MEK4510 p. 9

En-etasjes bygning u(t) m p(t) Tre frihetsgrader for det statiske problemet Vanlige forenklinger for det dynamiske problemet Vesentlig del av massen i horisontalt bjelkelag Søylenes stivhetsegenskaper av stor betydning Forskjellige antagelser om stivhetsegenskaper i bjelkelag Konstruksjonens bevegelse i retning av den ytre lasten Dynamisk problem kan analyseres v.h.a. én frihetsgrad MEK4510 p. 10

roblemer med kontinuerlig fordelt masse Skal benytte virtuelle forskyvningers prinsipp (virtuelt arbeids prinsipp) Indre virtuelt arbeid = ytre virtuelt arbeid δǫ T σdv = δu T FdV + δu T TdS δu T ρüdv V V der F og T er hhv. volum- og flatekrefter Forutsetninger Indre spenninger i likevekt med ytre belastninger Virtuelle forskyvninger i overensstemmelse med kinematiske randbetingelser Virtuelle tøyninger kinematisk kompatible med virtuelle forskyvninger Eksempel med søyle S MEK4510 p. 11

Kap. 2: Fri svingning Modellproblem: mü + c u + ku = p(t) Fri svingning, dvs. p(t) = 0 (gir homogen likning) Udempet system, dvs. c = 0 Differensiallikningen blir da mü + ku = 0 eller alternativt ü + ω 2 nu = 0 der ω n = k/m er naturlig vinkelfrekvens Generell løsning: u(t) = A cos ω n t + B sin ω n t A og B bestemmes fra initialbetingelser MEK4510 p. 12

Initialbetingelser Antar følgende betingelser: I: u(t = 0) = u 0 II: u(t = 0) = u 0 Fra differensiallikningen får vi I: A 1 + B 0 = u 0 A = u 0 II: Aω n 0 + Bω n 1 = u 0 B = u 0 /ω n Løsningen blir da u(t) = u 0 cosω n t + u 0 ω n sin ω n t Noen definisjoner T n = ω 2π n naturlig svingeperiode (s) f n = T 1 n = ω n 2π naturlig frekvens (s 1, Hz) naturlig vinkelfrekvens (rad/s) ω n MEK4510 p. 13

Alternativ skrivemåte Løsningen kan også skrives u(t) = R sin(ω n t φ), R er amplituden (læreboken bruker u 0, men vi benytter den som initialverdi) φ er fasevinkelen R og φ bestemmes fra trigonometriske relasjoner og sammenlikning av forskjellige uttrykk for løsningen Konkret benyttes R sin(ω n t φ) = R sin(ω n t) cos(φ) R sin(φ) cos(ω n t) R = ( A 2 + B 2) 1/2, φ = arctan( A/B) MEK4510 p. 14

System med dempning Antar at vi har dempning, c 0 Likningen blir da mü + c u + ku = 0 Antar løsning på form u = Ae st Innsatt i likningen får vi mas 2 e st + case st + kae st = 0 Forkortet gir dette s 2 + c m s + ω2 n = 0 som kalles karakteristisk likning for ikke-triviell løsning MEK4510 p. 15

Karakteristisk polynom Løsningen av karakteristisk likning er ( s = m c ± c 2 m) 4ω 2 n 2 ( = ω n c ) 2 c ± 1 2mω n 2mω n Skal nå drøfte forskjellige tilfeller av denne MEK4510 p. 16

Kritisk dempning Antar kritisk dempning, dvs. c = c cr = 2mω n sammenfallende røtter i likningen s 1 = s 2 = ω n Løsningen av svingelikningen blir da u(t) = (A 1 + A 2 t)e ω nt der A 1 og A 2 bestemmes fra initialbetingelser c = c cr ingen svingninger, kun asymptotisk bevegelse mot statisk likevekt Virkelige systemer har (nesten) aldri så stor dempning Definerer dempningsforholdet ζ = c c cr = c 2mω n MEK4510 p. 17

Overkritisk dempning Antar overkritisk dempning, dvs. c > c cr ζ > 1 Den karakteristiske likning får da to røtter s = ω n ( ζ ± ) ζ 2 1 Innfører ˆω n = ω n ζ 2 1 Løsningen av likningen kan da skrives u(t) = e ζω nt ( A 1 eˆω nt + A 2 e ˆω nt ) Ingen svingninger, men asymptotisk bevegelse mot statisk likevekt MEK4510 p. 18

Underkritisk dempning Antar underkritisk dempning, dvs. c < c cr ζ < 1 Den karakteristiske likning får da løsningen s = ω n ( ζ ± ) ζ 2 1 = ζω n ± iω n 1 ζ 2 dvs. to komplekse røtter Innfører en dempet vinkelfrekvens ω D = ω n 1 ζ 2 MEK4510 p. 19

Underkritisk dempning, forts. Løsningen av likningen kan da skrives u(t) = e ζω nt ( A 1 e iω Dt + A 2 e iω Dt ) = e ζω nt (A cos ω D t + B sin ω D t) = e ζω nt R sin (ω D t φ) A 1 og A 2 må velges slik at uttrykket i parentesen blir reelt. A 1 og A 2 (eller A og B eller R og φ) bestemmes fra initialbetingelser MEK4510 p. 20

Forløp av løsningen Løsningen kan typisk se ut som 1 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 dvs. dempede svingninger Dempet periode T D = 2π ω D Denne er større enn T for udempet system MEK4510 p. 21

Alternative dempningsbetraktninger Betrakter forholdet mellom amplituden ved tidspunktene t i og t i + jt D u i u(t i ) = u i+j u(t i + jt D ) = e ζω nt i R sin (ω D t i φ) e ζω n(t i +jt D ) R sin (ω D (t i + jt D ) φ) = eζω njt D Dette forholdet kan måles eksperimentelt ( ) Det logaritmiske dekrement er definert ved δ = ln ui u i+1 Det logaritmiske dekrement kan uttrykkes ved ( ) ui 2π 2π δ = ln = ζω n T D = ζω n = ζ 2πζ, ζ << 1 ω D 1 ζ 2 u i+1 MEK4510 p. 22

Flere relasjoner Relasjon mellom δ og ζ kan også oppnås ved å betrakte u i og u i+j Fra tidligere uttrykk får vi nå ( ) ui ln = j(ζω n T D ) = jδ u i+j ζ 1 ( ) 2πj ln ui u i+j MEK4510 p. 23

Kap. 3: Tvungen svingning Modellikning mü + c u + ku = p(t) Generell løsning av likningen u(t) = u c (t) + u p (t) u c (t) er generell løsning av det homogene problemet u p (t) er én løsning av det inhomogene problemet Form på homogenløsningen er diskutert tidligere Form på partikulærløsningen bestemmes (bl.a.) av p(t) MEK4510 p. 24

Udempet system c = 0 Antar harmonisk last, dvs. p(t) = p 0 sin (ωt) Differensiallikningen blir da mü + ku = p 0 sin (ωt) Antar u p (t) = C sin (ωt) Innsatt i likningen gir dette ( mω 2 + k)c sin (ωt) = p 0 sin (ωt) Løst m.h.p. C gir dette C = p 0 k mω 2 = p 0 k 1 1 ( ωωn ) 2 = (u st ) 0 1 1 β 2 der (u st ) 0 er den statiske forskyvningen (relatert til p 0 ) β = ω/ω er frekvensforholdet MEK4510 p. 25

Løsning Løsningen av likningen blir da u(t) = (A cosω n t + B sin ω n t) + (u st ) 0 1 1 β 2 sinωt Konstantene A og B bestemmes fra initialbetingelsene Eksempel: u(0) = u(0) = 0 gir løsningen u(t) = (u st ) 0 1 1 β 2 (sin ωt β sin ω nt) u c kalles transient del, vil alltid dempes u p kalles stasjonær del, vil vedvare MEK4510 p. 26

Diskusjon av løsningen Respons for dynamisk og tilsvarende statisk problem Definerer dynamisk forstørrelsesfaktor R d u R d = p (t) maks (u st ) 0 = 1 1 β 2 Uttrykker forholdet mellom maksimalt dynamisk utslag og statisk utslag Diskusjon på tavle MEK4510 p. 27

Fortsettelse av diskusjonen Studerer responsforholdet r(t) gitt ved r(t) = u(t) (u st ) 0 Antar at systemet starter fra ro, dvs. løsning gitt ved r(t) = (sin βω nt β sin ω n t) 1 β 2 Interessert i oppførsel når β 1 MEK4510 p. 28

Fortsettelse av diskusjonen Fra l Hopitals regel får vi lim r(t) = lim β 1 β 1 ω n t cosβω n t sin ω n t 2β = 1 2 sin ω nt 1 2 ω nt cos ω n t Første ledd representerer harmonisk svingning Andre ledd vokser med ω n t Fenomenet kalles resonans Energi pumpes inn i systemet når ω ω n Systemet vil bryte sammen etter et visst antall svingninger MEK4510 p. 29

Resonans Figur av andre ledd i responsforholdet 6 4 2 0-2 -4-6 0 5 10 15 20 25 30 MEK4510 p. 30

Dynamisk forstørrelsesfaktor MEK4510 p. 31

Fasevinkel MEK4510 p. 32

Kap. 4: Respons p.g.a. impulslaster Lastens varighet begrenset - en enkelt puls last Kan skyldes bl.a. slag, støt eller eksplosjon Stasjonærtilstand (d.v.s. en vedvarende partikulærløsning) nås ikke Bevegelsen avhenger av initialbetingelser tid MEK4510 p. 33

Løsningsmetoder generelt Generelle løsningsmetoder for impulsproblemer Vanlig løsning av differensiallikningen (analytisk eller numerisk) - læreboken fokuserer på denne Ved evaluering av Duhamel-integralet Ved å uttrykke impulslasten som en sum av to eller flere enklere uttrykk som hver har kjent eller (relativt) enkel løsning MEK4510 p. 34

Løsningsstrategi Analyse av impulsproblemer ved å løse differensiallikningen Deler opp tidsforløpet i to faser p(t) u(t) t Fase 1 t d t t d Fase 2 t Fase 1: Lastens varighet Fase 2: Tiden etterpå Tvungen svingning (inhomogen differensiallikning) i fase 1 Fri svingning (homogen differensiallikning) i fase 2, med u(t d ) og u(t d ) som initialbetingelser i fase 2 MEK4510 p. 35

Impulslaster Generelt interessert i bevegelse som følge av impulslaster Spesielt interessert i maksimalt utslag, d.v.s. u maks (læreboken benytter ofte u 0 ) Inntreffer vanligvis i første svingesyklus For lett dempede systemer gjør dempningen seg først gjeldende etter flere svingeperioder Dempningen kan ofte neglisjeres når u maks beregnes u maks vil inntreffe i fase 1 eller 2 u maks bestemmes fra betingelsen du dt = 0 MEK4510 p. 36

Lang impuls t d > 0.5T n Maksimal respons inntreffer i fase 1, dvs. t maks t d Dynamisk forstørrelsesfaktor i intervallet R d [1, 2] MEK4510 p. 37

Kort impuls t d < 0.25T n Dynamisk forstørrelsesfaktor, R d, proporsjonal med lastens varighet t d R d er proporsjonal med impulsens størrelse I, definert ved I = R d kan være mindre enn 1 td 0 p(t)dt Maksimal respons forekommer i fase 2 Forenklet beregningsmetode kan benyttes MEK4510 p. 38