Innhold. Ø. Holter, F. Ingebretsen og H. Parr: Fysikk og energiressurser. A Enheter 269. B Utledning av nøytronfluxen 272

Transkript

1 Innhold A Enheter 269 B Utledning av nøytronfluxen 272 C Matematisk løsning av CO 2 modellikning 275 Ø. Holter, F. Ingebretsen og H. Parr: Fysikk og energiressurser Blindern, 3. februar 21 1

2 Tillegg A Enheter I denne boka har vi konsekvent brukt SI systemet. Det finnes imidlertid en lang rekke ikke standardiserte energienheter i bruk, både i litteraturen og i praksis. Flere av enhetene mangler en presis og allmennt akseptert definisjon, og en finner ofte avvik i de innbyrdes konverteringsfaktorer. I SI systemet er den fundamentale energienheten joule (J) definert som newton m = kg m 2 /s 2, fra hvilken de øvrige presise enhetene kan avledes. I tabell A.1 er de 14 hyppigst brukte enhetene og deres innbyrdes omregningsfaktorer angitt. De 8 første er rimelig presist definert, og omregningsfaktorene er de samme som en finner i f.eks. Handbook of Physics and Chemistry". De 6 siste brukes vesentlig i forbindelse med fossilt brensel, og det er først og fremst her en kan finne forskjellige verdier. Omregningsfaktorene mellom tke, toe og m 3 er i denne tabellen tatt fra UN-Statistical Yearbook (toe = 1,3 tke. 1 m 3 = 1,332 tke, 1 kwh =,125 tke). For omregning av toe til fat er råoljes egenvekt satt til,86 tonn/m 3 (1 fat = 137 toe). Omregningsfaktoren for BDOE er tatt fra WAES, Energy: Global Perspectives , McGraw-Hill (1977). Den litt merkelige enheten Btu (British Thermal Unit) er den engelske variant av kalori, og er lik den varme som skal til for å varme opp ett pund vann en grad fahrenheit, forøvrig har den en presis definisjon. Vi har også samlet noen praktiske størrelser som finnes på forskjellige steder i boka, i tabell A

3 27 TILLEGG A. ENHETER Tabell A.1: Overgang mellom forskjellige energienheter. Tallene er gitt med mantisse og ±1-potens. Enhet Joule cal Btu MeV erg kwh W t år Joule 1 2, , , ,+7 2, ,169 8 cal 4, , , , , ,326 7 Btu 1) 1,54+3 2, , ,54+1 2, ,34 5 MeV 2) 1, , , ,62 6 4,45 2 5,76 21 erg 1, 7 2, , , , , kwh 3,6+6 8,62+5 3, , , ,141 1 W t år 3, , , ,97+2 3, , quad 3) 1, , ,+15 6, , , ,34+1 Q 1, , ,+18 6, , , ,34+13 tke 4) 2,88+1 6, , , , ,+3 9,125+2 toe 5) 3,74+1 8, , , , ,39+4 1,185+3 m 3 6) 3,84+7 9, , , , ,67+1 1,217+ fat 7) 5,12+9 1, , , , , ,622+2 BDOE 8) 2, , , , , , ,66+4 Enhet quad Q tke toe m 3 fat BDOE Joule 9, , , , ,64 8 1, , cal 3, , , , ,9 7 8, , Btu 1, 15 1, 18 3,66 8 2, , ,59 7 4,726 1 MeV 1, , , , , , , erg 9, , , , , , ,484 2 kwh 3, , ,25 4 9, , ,31 4 1,614 6 W t år 2, , ,96 3 8, , , ,415 5 quad 1 1, 3 3,66+7 2, , ,59+8 4,726+5 Q 1,+3 1 3,66+1 2, , , ,726+8 tke 2, , ,71 1 7,5+2 5,625+ 1,291 2 toe 3, , , ,74+2 7,35+ 1,677 2 m 3 3, , , , ,5 3 1,722 5 fat 4, , , , , ,296 3 BDOE 2, , , , ,87+4 4, ) Btu British Thermal Unit, 2) MeV million elektronvolt, 3) quad quadrillion = 1 15 Btu, 4) tke tonn kullekvivalenter, 5) toe tonn (rå)oljeekvivalenter, 6) m 3 m 3 naturgass, 7) fat 159 l (rå)olje, 8) BDOE Barrels pr. Day Oil Equivalent (1 fat (brensel)olje pr. dag i ett år).

4 Tabell A.2: Noen praktiske / mye brukte konstanter og størrelser. Objekt Verdi Enhet Havvann 1, m 3 Sirkulerende vann (øverste 75 m) 2, m 3 Luft under 1 km m 3 Jordradius 6, m 1 tonn TNT 4 GJ Varmekapasiteter osv.: Vann 1,16 kwh/m 3 /K Fordampningsvarme 627 kwh/m 3 Smeltevarme (is),927 kwh/kg Luft 3,8 1 4 kwh/m 3 /K Betong,6 kwh/m 3 /K Konstanter: Solarkonstanten 1367 W/m 2 Plancks konstant 6, Js Stefan-Boltzmanns konstant 5, W/m 2 K 4 Boltzmanns konst. 1, JK 1 Avogadros tall 6, mol 1 271

5 Tillegg B Utledning av nøytronfluxen Likningene (6.1) og (6.11) kan skrives om, samtidig med at vi utleder en ny likning ved å derivere likn. (6.1) med hensyn på tiden. Vi får da tre likninger som vi skriver på følgende form: 2 Φ T p t 2 = ρ β Φ 1 ρ t + pλ C Σ a t, (B.1) Φ λt p t = ρ β pλ2 λφ + C, 1 ρ Σ a pλ Σ a C t = βλ (1 ρ) Φ pλ2 Σ a C. Ved å addere disse tre likningene får vi en likning for Φ; hvor vi for enkelhets skyld har introdusert 2 Φ t 2 + a Φ bφ =, t (B.4) a = Likning (B.4) har løsninger av formen b = (B.2) (B.3) β ρ (1 ρ)t p + λ, (B.5) λρ (1 ρ)t p. (B.6) Φ(t) = Ae ωt, som innsatt gir følgende annengradslikning til bestemmelse av ω: 1 Vi kan skrive løsningene på formen ω 2 + aω b =. ω = a 1 ± b a 2 1 Løst mhp ρ, kan denne likning skrives på formen ( ω ρ = T p + β ), 1 + T pω ω + λ som kalles reaktivitetslikningen. For flere grupper forsinkede nøytroner blir den tilsvarende reaktivitetslikningen som ovenfor, der siste ledd i parentesen erstattes med en sum av tilsvarende ledd.. 272

6 273 Vi betrakter for enkelhets skyld en situasjon hvor ulikheten 4b/a 2 1, er oppfylt. 2 Vi kan da rekkeutvikle kvadratroten, og de to løsningene av ω kan tilnærmet skrives som ω 1 a, ω 2 b a. (B.7) Den generelle løsningen av likn. (B.4) har formen Φ(t) = A 1 e ω 1t + A 2 e ω 2t. (B.8) Vi antar nå at reaktorens reaktivitet er ρ = for t. Ved t = får reaktoren en liten reaktivitetsendring. Konstantene A 1 og A 2 bestemmes av begynnelsesbetingelsene ved t = ; Φ = Φ ; C = C ; dc/dt =. Grensebetingelsene gir vha. likningene (B.8), (B.2) og (B.3) Φ = A 1 + A 2, T p (ω 1 A 1 + ω 2 A 2 ) = ρ β 1 ρ Φ + pλ Σ a C, β 1 ρ Φ = pλ C. Σ a Ved eliminasjon av C i de to siste likningene får vi ω 1 A 1 + ω 2 A 2 = som, sammen med den første likningen, gir A 1 = (ω 1 + λ) ω 2 λ ρ (1 ρ)t p Φ, Φ ω 1 ω 2, Dette gir A 2 = (ω 2 + λ) ω 1 λ Φ ω 1 ω 2. Φ = Φ [ ω ] 2 ω 1 ω 2 λ (λ + ω 1)e ω1t + ω 1 (1 + ω 2 /λ)e ω 2t. (B.9) Vi kan først se på spesialtilfellet som svarer til en situasjon uten forsinkede nøytroner, og betrakte grensen når b og λ. Vi får da ω 1 ρ (1 ρ)t p = 1 T, ω 2 λ 1, som gir det tidligere resultat likn. (6.8), Φ = Φ e ω 1t = Φ()e t/t. (B.1) 2 Dette gjelder både for små β og store β ρ.

7 274 TILLEGG B. UTLEDNING AV NØYTRONFLUXEN Vi betrakter nå en situasjonen med forsinkede nøytroner og benytter følgende ulikheter: β ρ; λ 1 T p ; ρ 1. Vi får da a β/t p, og b λρ/t p, som tilnærmet gir ω 1 β T p, ω 2 λρ β. Innsatt i likn. (B.9), gir dette for nøytronfluxen Φ(t) Φ [ βe λρ β t ρe β t] Tp. β ρ (B.11)

8 Tillegg C Matematisk løsning av CO 2 modellikning Vi skal her finne den generelle løsning av likn. (??) for A 1 ; d 2 A 1 dt 2 + p da 1 + qa 1 = dp dt dt + rp, (C.1) hvor konstantene p, q, og r er gitt i likn. (??). Vi løser først den homogene likning, som har en løsning av formen hvor d 2 A 1 dt 2 + p A 1 dt + qa 1 =, C 1 e λ +t + C 2 e λ t, λ ± = p 2 ± p 2 Ved innsetting kan det vises at det partikulære integral e λ +t λ λ + e λ t λ λ + 4 ( ) e λ +t P + rp dt ( ) e λ t P + rp dt, (C.2) q. (C.3) tilfredsstiller den inhomogene likn. (C.1) ( P dp dt ). Den fullstendige løsningen av likn. (C.1) er gitt ved løsningen av den homogene likn. (C.2) pluss det partikulære integral, dvs. A 1 = e λ + t ( λ λ + e λ + t ) P + rp e λ t ( λ λ + e λ t P + rp C 1 e λ +t + C 2 e λ t. dt ) dt + (C.4) Integrasjonskonstantene C 1 og C 2 bestemmes ved å anta at produksjonen av CO 2 starter ved et tidspunkt t = (P =, P = for t ). Ved tiden t = har vi A 1 = og A 1 =, som til bestemmelse av C 1 og C 2 gir C 1 + C 2 = 275

9 276 TILLEGG C. MATEMATISK LØSNING AV CO 2 MODELLIKNING 1 [ ( e λ +t e λ t ) og λ + λ ( ) ] P + rp dt, t= 1 λ + C 1 + λ C 2 = [ ( ) λ + e λ +t λ e λ t λ + λ ( ) ] P + rp dt. t= Løst med hensyn på C 1 og C 2 gir dette [ 1 ( ) ] C 1 = e λ +t P + rp dt, λ + λ t= [ 1 C 2 = λ + λ ( ) ] e λ t P + rp dt Ved å sette disse konstantene inn i likn. (C.4), og benytte relasjonen t e λ ±t P + (r λ ± ) får vi løsningen på formen (likn. (??)), ( ) e λ ±t P + rp dt = t A 1 = r λ t + e λ +t λ λ + r λ t e λ t λ λ + e λ ±t Pdt e λ +t Pdt, e λ t Pdt. t=. (C.5) Ut fra dette uttrykket kan vi, innen modellens anvendelsesområde, beregne atmosfærens CO 2 innhold for en vilkårlig utslippsfunksjon P(t).