Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi
t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2,og T = X μ Def. Studet s t-fordelig: Dersom X 1,...,X,er u.i.f. tilf. var. der X i er ormalfordelt med forvetig μ og varias σ 2, i =1,...,,såerT Studet s) t-fordelt med 1 frihetsgrader: T t 1) t-fordelig Obs: I de beskreve situasjoe har vi: X μ σ 2 N, 1) og X μ t 1) x) f1x) f2x) f15x) N, 1)-tetthet -4-2 2 4-4 -2 2 4 t-tettheter
t-fordelig Egeskaper til t-fordelige: x) f1x) f2x) f15x) -4-2 2 4 t-fordelige er avhegig av atall frihetsgrader ). De blir mer og mer lik N, 1)-fordelige år atall frihetsgrader øker. symmetrisk omkrig tygre haler e N, 1)-fordelige t-tabell!! t-fordelig Kvatiler i t-fordelige: Def. t α,d Dersom T er Studet s) t-fordelt med d frihetsgrader, defieres tallet t α,d ved at P T >t α,d )=α. Skisse av td)-fordelig; arealet P T > t α,d )=α er farget. Tilsvarer z α i N, 1)-fordelige.)
t-test Situasjo der vi bruker t-test: Målemodelle m/ormalatakelse og ukjet varias, σ 2 : måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 ukjet. Obs. 1: X i ormalfordelt t-test Obs. 1: X i ormalfordelt Obs. 2: lite Dersom er stor, treger vi ikke bry oss med t-fordelig.) Obs. 3: Målemodell 3
t-test Eksempel: 1 blodsukkeriholdmåliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Øsker å teste H : μ =4. mot H 1 : μ>4. Vi atar at: De =1måligee: x 1,...,x ; ka betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable, der EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. Variase,σ 2, estimeres med: σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2 t-test Vil teste: H : μ =4 mot H 1 : μ>4 Uder H er teststørrelse, ullfordelig) T = X 4 1 t9) jf. def. av t-fordelig) Forkaster H dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test sig.ivå α): Forkast H dersom T t α,9 Fork.omr.: t α,9, ) -3-2 -1 1 2 3 ) t9) tetthet stiplet: N, 1))
t-test Gjeomførig av test på 5% ivå: Sig.ivå, α =.5. Frat-tabell: t.5,9 =1.83 Data: Gj.s. = 4.35, emp. varias = 183) Utfall av: X 4 1 : 4.35 4 183 1 =1.962 Side 1.962 >t.5,9 =1.83 utfallet av teststørrelse er i forkastigsområdet), ka vi forkaste H. Dataee tyder på at virkelig blodsukkerihold, μ, er større e 4. μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite Geerelt, t-tester Målemodelle: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 ukjet. Målemodell 3 Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X ) 2
μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite. t-test, esidig. Test sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ<μ Forkast H dersom X μ t α, 1 Fork.omr.:, t α, 1 ) α -3-2 -1 1 2 3 ) Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Test sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ>μ Forkast H dersom X μ t α, 1 Fork.omr.: t α, 1, ) ) α Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite. t-test, tosidig. Geerelt; tosidig t-test: Vil teste: H : μ = μ mot H 1 : μ μ Teststørrelse: T = X μ, Nullfordelig: t 1) Test m/sig.ivå α): Forkast H dersom T t α/2, 1 eller T t α/2, 1 Fork.område:, t α/2, 1 ) t α/2, 1, ) ) α/2 α/2-3 -2-1 1 2 3 t tetthet og forkastigsområde. )
μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite. t-test, tosidig. Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias empirisk varias): 689.4 Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 3 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er ulik 3? Målemodell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X ) 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil teste: H : μ = 3 mot H 1 : μ 3 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite. t-test, tosidig. Vil teste: H : μ = 3 mot H 1 : μ 3 Uder H er teststørrelse, ullfordelig) T = X 3 6 t5) Forkaster H dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test sig.ivå α): Forkast H dersom T t α/2,5 eller T t α/2,5-3 -2-1 1 2 3 Skisse av t5)-fordelig.
μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias, lite. t-test, tosidig. Gjeomførig av test på 5 %ivå: Sig.ivå, α =.5 α/2 =.25; t.25,5 =2.57 Data: Utfall av: X 3 6 : 322.8 3 689.4 6 =2.13 Side 2.13 t.25,5 =2.57 og 2.13 t.25,5 = 2.57), ka vi ikke forkaste H. Det er ikke grulag i dataee for å hevde at virkelig hardhet, μ, er ulik 3 kg/mm 2. -3-2 -1 1 2 3 Obs.: Jf. koklusjo med kjet varias: forkast H ; z.25 =1.96. Oversikt, del 4 t-fordelig, t-test, t-itervall
t-itervall Med målemodell 1 ormalatakelse og kjet varias): 1 α) 1% kofidesitervall for μ er: σ X z 2 α/2, X + z α/2 Dette er basert på: ) σ 2 1. kjet verdi av σ 2 2. Z = X μ σ 2 N, 1) ormalatakelse) Med målemodell 3 ormalatakelse og ukjet varias) må vi basere oss på t-fordelige. t-itervall Med målemodell 3 ormalatakelse og ukjet varias): 1 α) 1% kofidesitervall for μ er S X t 2 α/2, 1, X + t α/2, 1 ) Dette er basert på 1. σ 2 estimeres med σ 2 = = 1 1 i=1 2. Normalatakelse og X i X) 2, 3. T = X μ t 1)
t-itervall, Eksempel: 1 blodsukkeriholdmåliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Øsker et 95% kofidesitervall for virkelig blodsukkerihold. Vi atar at: De =1måligee: x 1,...,x ; ka betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable, der EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. μ: virkelig blodsukkerihold Variase, σ 2, estimeres med: σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2 t-itervall, =1; 95% α =.5 t α/2, 1 = t.25,9 =2.262 Et 95% kofidesitervall for virkelig blodsukkerihold, μ, ) S er gitt ved: X 2.262 2 1, X +2.262 1 Isatt data Gj.s. = 4.35, emp. varias = 183), blir utreget itervall: ) ) 183 183 4.35 2.262 1, 4.35 + 2.262 1 = 3.95, 4.75
t-itervall, begruelse Jf.: Geerell defiisjo av kofidesitervall: Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee): θ Dersom L og U L <U) er to fuksjoer av X 1,...,X, som er slik at: ) 1 α = P L θ U, sier vi at det utregete itervallet l, u) er et 1 α) 1% kofidesitervall for θ. t-itervall, begruelse Obs. 1: Det utregete itervallet l, u): Framkommer år vi setter dataverdiee x 1,...,x i i fuksjoee L og U. Obs. 2: Evetuelt tilærmede itervall For t-itervallet er: L = X t α/2, 1 og U = X + t α/2, 1
t-itervall, begruelse ) X t α/2, 1, X + t }{{ α/2, 1 }}{{ } L U er et 1 α) 1% kofidesitervall for μ, fordi 1 α = P = P t α/2, 1 X μ S 2 X t α/2, 1 }{{} L ) = P L μ U t α/2, 1 ) ) S 2 μ X + t α/2, 1 }{{} U Kofidesitervall, Målemodell 1; 1 α) 1% kofidesitervall for μ er ) σ X z 2 α/2, X + z σ 2 α/2 Målemodell 2; til. 1 α) 1% kofidesitervall for μ er ) S X z 2 α/2, X + z α/2 Biomisk modell; til. 1 α) 1% kofidesitervall for p er ) p1 p) p1 p) p z α/2, p + z α/2 Målemodell 3; 1 α) 1% kofidesitervall for μ er S X t 2 α/2, 1, X + t α/2, 1 )