Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter, rx) xi+yj xi+x 3 j, hvor 1 x 2. Da får vi dr i+3x 2 j)dx. Når parametriseringen settes inniuttrykket for v får vi v x 4 i+x 2 j. Vi setter dette inn i integralet: Oppgave 2 λ v dr 2 Et kraftfelt er gitt ved F y 2 +5 ) i+2xy 8)j. y 1 x 4 +3x 4) dx 132 5. D C 1,1) A B x Figur 6.1: Et kvadrat ABCD i xy-planet. ABC: W F dr F dr + F dr. ABC AB BC 55
56 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft AB: Parametrisering rx) xi for x 1, da er dr idx og y : F dr 1 AB 5dx 5. BC: Parametrisering ry) i+yj for y 1, da er dr jdy og x 1: Arbeidet blir W 5 7 2. F dr 1 BC 2y 8)dy 7. ADC: W ADC F dr AD F dr + DC F dr. AD: Parametrisering ry) yj for y 1, da er dr jdy og x : AD 1 F dr 8dy 8. DC: Parametrisering rx) xi+j for x 1, da er dr idx og y 1: Arbeidet blir W 8+6 2. DC F dr 1 6dx 6. AC: Parametrisering rs) si+j) for s 1, da er dr i+j)ds: 1 1 W F dr s 2 +5)+2s 2 8)ds 3s 2 3ds 2. AC Skal kraften kunne skrives som gradienten til et potensial V Vx,y) må vi ha F V som gir vektorlikningen y 2 +5 ) i+2xy 8)j V V i x y j V x y2 5 Vx,y) xy 2 5x+f 1 y) V y 2xy +8 Vx,y) xy2 +8y +f 2 x). For å få en entydig løsning må vi velge f 1 y) 8y +C og f 2 x) 5x+C. slik at Vx,y) xy 2 5x+8y +C. Vi kan nå regne ut arbeidet ved hjelp av potensialet: W V dr dv V,) V1,1). AC AC
57 Punktet C: V1,1) 1 5+8+C 2+C. Punktet A: V,) C. Oppgave 3 W V,) V1,1) C 2 C 2. En sirkel S i xy-planet er gitt ved x 2 + y 2 r 2. Sirkelen kan betraktes som en ekviskalarkurve til funksjonen fx,y) x 2 +y 2, en normalvektor til kurven kan skrives som fx,y) 2xi + 2yj se figur 6.2). For at normalvektoren skal få lengde lik én må vi normalisere: n 2xi+2yj 4x 2 +4y x 2 r i+ y r j. Vi har nå gitt vektorfeltet v Ay Ax i+ j, A >. r2 r2 v n S r y x Figur 6.2: En sirkel S i xy-planet. a) Strømhastigheten er tangensial til sirkelen hvis v n : Strømhastighetens størrelse: v n Ay r 2 x r + Ax r 2 y r Axy r 3 + Axy r 3. v Langs sirkelen er r konstant.) A 2 y 2 r 4 + A2 x 2 r 4 A 2 x 2 +y 2 ) r 4 A r.
58 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft b) For å vise at strømfunksjonen eksisterer kan vi enten regne den ut, eller vi kan sjekke at v. Vis at den er divergensfri! Siden v er divergensfri og er todimensjonal i xy-planet så vet vi at det eksisterer en strømfunksjon ψx,y) som oppfyller likningene v x ψ y og v y ψ x. Vi løser disse og finner ψx,y) Aln x 2 +y 2 +α hvor α er en vilkårlig konstant. Strømlinjene framkommer som ekviskalarkurver for strømfunksjonen, ψx, y) konstant. Disse kan skrives som x 2 +y 2 konstant, og vi ser at deer sirkler med sentrum i origo. y x Figur 6.3: Strømlinjene til v Ay Ax i+ j er sirkler med sentrum i origo r2 r2 c) Langs sirkelen S er v og dr parallelle. Vinkelen mellom v og dr er, og vi husker at cos 1. Da blir skalarproduktet v dr v dr der v A/r og dr ds. Linjeintegralet blir nå C v dr A ds A 2πr 2πA. S r S r C kalles for sirkulasjonen. d) Linjeintegralet rundt et kvadrat ABCD se figur 6.4) kan deles opp i fire deler: C v dr v dr + v dr + v dr + v dr. ABCD AB BC Langs linjestykket fra A til B kan vi velge parametriseringen ry) i + yj for 1 y 1, og vi har at dr jdy og x 1: AB v dr 1 1 CD DA A 1+y 2 dy [ Aarctany ] 1 1 Aπ 4 + Aπ 4 Aπ 2.
59 y C B x D A Figur 6.4: Et kvadrat med sentrum i origo og sidekanter lik 2. Tilsvarende utregning langs de andre sidekantene gir v dr v dr v dr AB BC CD DA v dr. Sirkulasjonen blir altså C 4 Aπ 2 2πA. Oppgave 4 a) Den hydrostatiske trykkformelen er gitt ved p p +ρgz. Trykkraften kan skrives som F pndσ σ σ topp pndσ På toppflaten er z d og n k: σ topp pndσ p +ρgd)k På bunnflaten er z d+l og n k: σ bunn pndσ σ side pndσ. σ topp dσ p +ρgd)πa 2 k. pndσ p +ρgd+l) ) k dσ p +ρgd+l) ) πa 2 k. σ bunn σ bunn
6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft På grunn av symmetri blir pndσ, dette kan for øvrig regnes ut direkte ved σ side å parametrisere sideflaten: rθ,z) acosθi+asinθj +zk for θ 2π og d z d+l Da får vi Kraften på siden blir da ndσ r θ r dθdz acosθi+asinθj)dθdz z σ side pndσ Den total trykkraften blir nå F d+l 2π d p +ρgz)acosθi+asinθj)dθdz [ p +ρgd)πa 2 p +ρgd+l) ) πa 2] k ρglπa 2 k Mgk der M ρlπa 2 er massen til væsken fortrengt av sylinderen. b) Oppgaveteksten ber oss om å gjette, da kan vi nøye oss med å bruke Arkimedes prinsipp som sier at trykkraften oppdriften) er lik vekten av den fortrengte væsken: F Mgk, M ρ 4 3 πa3 4 3 ρgπa3 k. Svaret kunne også ha blitt regnet ut direkte som et flateintegral ved å anvende kulekoordinater, eller det kan enda lettere regnes ut indirekte ved å anvende Gauss sats da er det tilstrekkelilg å huske formelen for volumet av ei kule). For å regne det ut direkte som et flateintegral kan vi parametrisere rθ,ϕ) asinθcosϕi+asinθsinϕj+acosθ+d)k for θ π og ϕ 2π hvor vi har antatt at sentrum i kula ligger posisjon z d. Vi får da ndσ r θ r ϕ dθdϕ a2 sinθsinθcosϕi+sinθsinϕj +cosθk)dθdϕ Trykkraften er σ 2π pndσ π 4 3 ρgπa3 k p +ρgd+acosθ))a 2 sinθsinθcosϕi+sinθsinϕj +cosθk)dθdϕ
61 Oppgave 5 a) τ 3xye z dxdydz 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3xye z dxdydz [ ] 3 1/2 2 x2 ye z 3 8 yez dydz [ ] 3 2 16 y2 e z dz dydz 3 4 ez dz 3 4 e 1). b) τ 3xye z dxdydz 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3xye z dzdxdy [3xye z] 1 dxdy 3xye 1)dxdy [ ] 3 1/2 2 x2 ye 1) dy 3 8 ye 1)dy [ 3 16 y2 e 1) ] 2 3 4 e 1).
62 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 6 1 x y x 2 +3xy z 2) dzdydx 1 x 1 x 1 1 [ x 2 z +3xyz 1 3 z3 ] y dydx x 2 y +3xy 2 13 y3 ) dydx [ 1 2 x2 y 2 +xy 3 1 ] x 12 y4 dx 1 2 x4 +x 4 1 ) 12 x4 dx 17 1 x 4 dx 12 17 6. Oppgave 7 En kule med radius lik én kan skrives som x 2 +y 2 +z 2 1. z z 1 x 2 y 2 y 1 x 2 y x y 1 x 2 z 1 x 2 y 2 Figur 6.5: En kule med radius lik en.
63 a) 1 x 1 1 x 2 y 1 x 2 1 x 2 y 2 z 1 x 2 y 2. b) Vi har gitt volumet τ: x 2 +y 2 +z 2 1. V dxdydz τ 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 dzdydx [ ] 1 x 2 y 2 z dydx 1 x 2 y 2 1 2 1 x 2 1 x 2 y 2 dydx. 1 1 x 2 Det innerste integralet kan vi uttrykke som a a 2 y 2 dy, a 1 x 2. a Dette integralet kan vi finne løsningen til i en integraltabell: [ y a a 2 y 2 + a2 2 arcsin y ] a a + a2 2 a arcsin1 a2 2 arcsin 1) a2 π 4 + a2 π 4 a2 π 2. Vi setter dette resultatet tilbake i volumintegralet: 1 V 2 1 1 π 1 π 2 a2 dx 1 x 2 ) dx [ π x 1 ] 1 3 x3 1 [ π 1 1 3 +1 1 ] 4π 3 3.
64 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft