Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er et fast me ukjet tall). E (pukt-)estimator ˆΘ gir oss et aslag på e ukjet parameterverdi, me gir oss ikke oe direkte iformasjo om usikkerhete i aslaget. Et kofidesitervall er et itervall [ ˆΘ L, ˆΘ U ] som med stor sasylighet vil komme til å ieholde de sae parameterverdie θ. Defiisjo: Itervallet [ ˆΘ L, ˆΘ U ]eret(1 α)100% kofidesitervall for θ dersom P ( ˆΘ L <θ< ˆΘ U )=1 α 1 2
Eksempel: Bærebjelker. Bæreeve (hvor stor belastig e bjelke tåler før de bryter samme) til bærebjelker av e bestemt type atas ormalfordelt med forvetig μ og varias σ 2. Måliger av bæreeve til 14 bjelker gav resultatee: 5.9, 6.1, 5.4, 5.9, 5.7, 6.5, 5.8, 6.0, 5.3, 6.3, 5.8, 5.8, 5.8 og 6.0. Basert på dee iformasjoe øsker vi å lage kofidesitervall for μ og σ 2. Eksempel: Levetide til e bestemt type kretskort atas ekspoesialfordelt med forvetig β. Vi har observert at levetide for seks slike kort ble hhv 612, 1009, 95, 1303, 599, og 780. Basert på dette øsker vi å lage kofidesitervall for β. Fordelige til oe estimatorer For å kue lage kofidesitervall, og seere for å gjøre hypotesetester, må vi kjee fordelige til de ulike estimatoree. Fordelige til X X = 1 X i er e lieærkombiasjo av u.i.f. variable. Fordelige til X vil avhege av fordelige til X 1,...,X. X 1,...,X ormalfordelte og σ kjet: Da vet vi at e lieærkombiasjo av uavh. ormalfordelte variable er ormalfordelt (f.saml. side 34), og vi får at Z = X E( X) Var( X) = X μ σ2 / N(0, 1) 3 4
X 1,...,X ormalfordelte og σ ukjet: Vi erstatter da σ 2 med estimatore S 2,ogfår: T = X μ S2 / t 1 Fordelige er ikke leger e ormalfordelig,mee(studet)t-fordelig. t-fordelig liger N(0, 1) me har større varias. Se boka(8.7)/f.saml.(s. 27) for flere detaljer om t-fordelige. X 1,...,X ikke ormalfordelte og stor: Da gir SGT oss at: Z = X E( X) Var( X) = X μ σ2 / N(0, 1) X 1,...,X ikke ormalfordelte og lite: Avhege av fordelige til X 1,...,X,måse på hver ekelt situasjo. Fordelige til S 2 (f.saml. s. 27) Dersom X 1,...,X u.i.f. N(μ, σ 2 )kadetvises at (se boka) 1 σ 2 S 2 = (X i X) 2 σ 2 Er S 2 forvetigsrett? χ 2 1 Husk at dersom V χ 2 ν såere(v )=ν. Dette gir: E(S 2 )= σ2 1 E( 1 S 2 )= σ2 ( 1) = σ 2 σ2 1 Dvs S 2 er e forvetigsrett estimator for σ 2 år X 1,...,X er ormalfordelte. Det ka også visesats 2 er forvetigsrett geerelt. 5 6
Fordelige til ˆβ i ekspoesialfordelige. Dersom X 1,...,X u.i.f. ekspoesial med forvetig β estimerer vi β ved ˆβ = 1 X i. Fordelige til dee estimatore fie vi ved først åsepå fordelige til 2X i /β. La Y = 2X i /β. Med X i = βy/2 =w(y )ogdermed w (Y )=β/2 gir trasformasjosformele: g(y) = f(w(y)) w (y) = 1 β e (βy/2)/β β 2 = 1 2 e y/2 Setter vi ν = 2 i sasylighetstetthete til χ 2 -fordelige ser vi at dette er e χ 2 2-fordelig. (Se også øvig 4, oppg. 3.) Vi har da videre at (2X i/β) vilvære χ 2 2-fordelt (f.saml. s. 34/35), dvs: 2X i β = 2 β 1 X i = 2 β ˆβ χ 2 2 Kofidesitervall geerelt X 1,...,X u.i.f. f(x; θ). Øsker (1 α)100% kof. it. for θ: 1. Fi estimator for θ: ˆΘ. 2. Fi et uttrykk W = h( ˆΘ,θ) som ieholder både θ og ˆΘ, og som har e kjet fordelig. 3. Sett: P (w 1 α/2 h( ˆΘ,θ) w α/2 )=1 α. 4. Løs ulikhete m.h.p. θ slik at ma får P (A θ B) =1 α. Kofidesitervall: [A, B] Puktee w 1 α/2 og w α/2 kalles kvatiler og fies i tabell. Kvatil geerelt: P (W w a )=a. 7 8
Eksempel: Bæreeve til bærebjelker. La X= bæreeve. X 1,...,X u.i.f. N(μ, σ 2 ). Både μ og σ 2 er ukjete. Kof.it.forμ: ˆμ = X T = X μ S/ t 1 side σ 2 ukjet (se side 4) Dvs et (1 α)100% kofidesitervall for μ (år σ 2 er ukjet) er gitt ved: [ X t α/2, 1 S, X + tα/2, 1 S ] Med de observerte dataee får vi = 14, x =5.8786 og s = 0.0972 = 0.312. α/2 α/2 t α/2 t α/2 P ( t α/2, 1 T t α/2, 1 ) = 1 α P ( t α/2, 1 X μ S/ t α/2, 1) = 1 α P ( X t α/2, 1 S μ X + t α/2, 1 S ) = 1 α. Dersom vi øsker et 95% kof. it. setter vi α =0.05 som gir t α/2, 1 = t 0.025,13 =2.160, og 95% kof. it. for μ blir: [5.8786 2.16 0.312 14, 5.8786 + 2.16 0.312 14 ] =[5.70, 6.06] 9 10
Kof.it.forσ 2 : Estimator: ˆσ 2 = S 2 = 1 1 (X i X) 2 Teorem 8.4/f.saml. s. 27 (se side 5) gir at: ( 1) S2 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 1 P (χ 2 1 α/2, 1 ( 1)S2 σ 2 χ2 α/2, 1 ) = 1 α ( ) χ 2 1 α/2, 1 P ( 1)S 1 2 σ χ2 α/2, 1 = 1 α 2 ( 1)S 2 ( ) ( 1)S 2 P χ 2 σ 2 ( 1)S2 α/2, 1 χ 2 = 1 α 1 α/2, 1 (1 α)100% kof. it. for σ 2 : [ ( 1)S 2, χ 2 α/2, 1 ] ( 1)S 2. χ 2 1 α/2, 1 Med = 14, ( 1)s 2 =13 0.0972 = 1.2636 og velger α =0.05 χ 2 0.025,13 =24.736 og χ 2 0.975,13 =5.009, får vi 95% kof. it. for σ 2 : [ 1.2636 24.736, 1.2636 ] =[0.051, 0.252] 5.009 Eksempel: Levetid kretskort. Observerer T 1,...,T u.i.f. ekspoesial med E(T i )=β. Kof.it.forβ: Estimator: ˆβ = T = 1 Har tidligere vist (se side 7): 2 β ˆβ χ 2 2 P (χ 2 1 α/2,2 2 β ˆβ χ 2 α/2,2 ) = 1 α ( ) χ 2 1 α/2,2 P 2 ˆβ 1 β χ2 α/2,2 2 ˆβ = 1 α ( 2 P ˆβ 2 β ˆβ ) = 1 α χ 2 α/2,2 χ 2 1 α/2,2 Observerte data: =6, ˆβ = 1 6 6 t i = 733. Velger α =0.10 χ 2 0.05,12 =21.026 og χ 2 0.95,12 =5.226. Gir 90% kof. it. for β: [ 2 6 733 21.026, 2 6 733 ] = [418, 1683] 5.226 T i 11 12
Eksempel: Atall ulykker per år på eoljeplattorm atas Poissofordelt med forvetig λ. De siste fem åree har det blitt registrert hhv5,8,12,7og13ulykker. Viøskerutfra dette å lage et kof. it. for λ. Estimator: ˆλ = X = 1 X i der X i er atall ulykker år i. Fordelig til ˆλ? Vi vet at dersom X 1,...,X uavh. Poisso med parameter λ såvily = X i være Poisso med parameter λ (f.saml. s. 34/35). Videre vet vi at dersom λ > 15 så ery tilærmet ormalfordelt (otatee til kap. 6). Dermed vil også ˆλ = Y/ være tilærmet ormalfordelt (så sat λ > 15, oe som er rimelig åataivårt tilfelle). Videre: E(ˆλ) = 1 E(X i )= 1 λ = λ Var(ˆλ) = 1 2 Var(X i )= 1 2 λ = λ Z = ˆλ λ λ/ N(0, 1) Dvs, vi fier kof. it. for λ ved åta utgagspukt i: P ( z α/2 ˆλ λ λ/ z α/2 ) 1 α Triks: For å forekle utregige ka ma erstatte λ i evere med ˆλ. Harfremdeles ˆλ λ N(0, 1) ˆλ/ og får å: P ( z α/2 ˆλ λ ˆλ/ z α/2 ) 1 α. P (ˆλ z α/2 ˆλ/ λ ˆλ + z α/2 ˆλ/) 1 α 13 14
Dvs tilærmet (1 α)100% kof. it. for λ blir: ] [ˆλ z α/2 ˆλ/, ˆλ + zα/2 ˆλ/ Med våre data blir =5ogˆλ = 1 5 (5+8+12+ 7 + 13) = 9. Velger vi α =0.05 blir z 0.025 =1.96 slik at et tilærmet 95% kof. it. for λ blir: [9 1.96 9/5, 9+1.96 9/5] = [6.4, 11.6] (Ute å bruke foreklige λ ˆλ ievere blir itervallet: [6.7,12.0]) Til slutt Husk at et f.eks. 95% kof. it. [ ˆΘ L, ˆΘ U ]er laget slik at P ( ˆΘ L <θ< ˆΘ U )=0.95. Det betyr at dersom vi lager mage itervall vil 95% av dem ieholde de sae parameterverdie θ (se side 2/figur 9.3 i boka). Dersom vi f.eks. får det observerte itervallet [3.2, 5.6] vet vi ikke om θ er ieholdt i itervallet eller ikke, me ut fra måte vi har laget itervallet på har vi stor tiltro (=kofides) til at de er iehold i itervallet. NB!Vikaikkesi at det er 95% sasylighet for at det observerte itervallet [3.2, 5.6] ieholder θ (eller for at θ er ieholdt i itervallet). Vi ka ku sakke om stor tiltro (kofides) år vi har et observert itervall/tallsvar. 15 16