TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7
Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Vesktfart. 2 Tangenter. 3 Den deriverte til en funksjon. 4 Derivasjonsregler. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 2
Vekstfart La f være en funksjon og x 0 et punkt slik f (x 0 ) er definert. Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [x 0, x 0 + ] er y x = f (x 0 + ) f (x 0 ) y f (x 0 + ) f (x 0 ) x 0 x La vi gå mot 0 får vi den momentane vekstfarten til f i punktet x 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 (vis grenseverdien eksisterer). y x 0 + x www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 3
Tangenter y La P og Q være to punkter på grafen til en funksjon f. P Q Linjen gjennom P og Q kalles en sekant. La vi Q nærme seg P vil sekanten nærme seg tangenten til grafen i punktet P. x For ytterligere illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_at_a_point.tml. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 4
Tangenter La P = (x 0, f (x 0 )) og Q = (x 0 +, f (x 0 + )). y Q = (x 0 +, f (x 0 + )) P = (x 0, f (x 0 )) x Stigningstallet til sektanten gjennom P og Q er da y x = f (x 0 + ) f (x 0 ). Det følger at stigningstallet til f (x 0 + ) f (x 0 ) tangenten er lim (vis grenseverdien 0 eksisterer). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 5
Ikke-vertikale tangenter Vi definerer derfor tangenter på følgende måte: Definisjon 1: Ikke-vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at grenseverdien f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = m eksisterer. Linjen y = m(x x 0 ) + f (x 0 ) kalles da tangenten til f i punktet (x 0, f (x 0 )). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 6
Eksempel 1 La f (x) = x 2 og x 0 = 1. Da er f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 1 + 2 + 2 1 0 0 (1 + ) 2 1 2 0 2 + 2 0 2 + = 2. Det følger at likningen til tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (1, 1) er y = 2(x 1) + 1 = 2x 1. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 7
Eksempel 1 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: wit Student Calculus1 : Tangent x 2, x = 1 ; plot x 2, 2 x K 1, x =K1..3 ; 2 x K 1 8 6 4 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 8
Vertikale tangenter Vi kan utvide definisjonen av tangenter for å tillate vertikale tangenter: Definition 2: Vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = eller lim 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) Linjen x = x 0 kalles da tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )). Hvis grenseverdien ikke eksistere og f (x lim 0 +) f (x 0 ) 0 ±, ar grafen til f ingen tangent i punktet (x 0, f (x 0 )). =. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 9
Eksempel 2 La f (x) = 3 x = x 1/3 og x 0 = 0. Da er y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 1/3 0 =. 2/3 0 1 Det følger at linjen x = 0 er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0). x www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 10
Eksempel 3 La f (x) = 3 x = x 2/3 og x 0 = 0. Da eksisterer grenseverdien y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 1 0 1/3 0 1 2/3 0 ikke, fordi lim = og lim =. 1/3 1/3 Det følger at grafen til f ikke ar en tangent i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0). 0 + 1 x www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 11
Stigningstallet til en kurve Definisjon 3: Stigningstallet til en kurve Stigningstallet til en kurve C i punktet P er stigningstallet til tangenten til C i punktet P (forutsatt at tangenten eksisterer). Spesielt ar vi at stigningstallet til grafen til en funksjon f f (x 0 + ) f (x 0 ) i punktet (x 0, f (x 0 )) er lim vis 0 grenseverdien eksisterer. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 12
Eksempel 4 La oss finne stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2). lim 0 2+ 3( 2+)+2 2 3( 2)+2 0 4 + 2 3 + 4 6 2 8 2+ 2 3 4 4 0 0 6 2 8 0 1 8 6 = 1 8 Så stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2) er 1/8. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 13
Normalen til en kurve Hvis en kurve C ar en tangent L i et punkt P, kalles linjen N som går gjennom P og som står vinkelrett på L for normalen til C i punktet P. y N P L Hvis L er vertikal er N orisontal. Hvis L er orisontal er N vertikal. Hvis L verken er vertikal eller orisontal ar N stigningstall x 1 stigningstallet til L. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 14
Eksempel 5 La oss finne normalen til kurven y = x i punktet (4, 2). Vi finner først stigningstallet til tangenten i punktet (4, 2): 4 + 2 ( 4 + 2)( 4 + + 2) lim 0 0 ( 4 + + 2) 4 + 4 0 ( 4 + + 2) 1 0 ( 4 + + 2) = 1 4 Det følger at stigningstallet til normalen er 1 1/4 = 4. Så likningen til normalen i punktet (4, 2) er y = 4(x 4) + 2 = 4x + 18. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 15
Den deriverte Så langt ar vi bare sett på stigningstallet til tangenten til grafen til en funksjon (eller den momentane vekstfarten til en funksjon) en punkt om gangen, men da stigningstallet avenger av i vilket punkt vi ser på tangenten, blir stigningstallet til tangenten en funksjon av punktet. For en illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_as_a_function.tml. Denne funksjonen kaller vi den deriverte. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 16
Den deriverte Definition 4: Den deriverte Den deriverte til en funksjon f er funksjonen f definert ved at f (x) 0 f (x + ) f (x) for de x vor grenseverdien eksisterer. Hvis f (a) eksisterer sier vi at f er deriverbar i a. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 17
Eksempel 6 La f (x) = x 2. Da er for alle x. f (x) 0 f (x + ) f (x) x 2 + 2x + 2 x 2 0 2x + = 2x 0 f er derfor deriverbar i alle x. 0 (x + ) 2 x 2 0 2x + 2 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 18
Eksempel 6 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: diff x 2, x ; 2 x plot x 2, 2 x, x =K2..2 ; 4 3 2 1 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 19
Eksempel 7 Let g(x) = x. For x > 0 er g (x) 0 g(x + ) g(x) og for x < 0 er x + x 0 g (x) 0 g(x + ) g(x) 0 (x + ) ( x) 0 x + x 0 1 = 1, 0 0 x + x 0 1 = 1. 0 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 20
Eksempel 7 Da g() g(0) lim 0 og g() g(0) lim 0 + 0 0 0 0 + 0 1 = 1 0 0 + 1 = 1 0 + g() g(0) eksisterer lim ikke, og g er derfor ikke deriverbar 0 i 0. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 21
Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er altså deriverbar for alle x 0 og ikke deriverbar for x = 0, og den deriverte er { g 1 for x < 0 (x) = 1 for x > 0. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 22
Høyre og venstre deriverbare funksjoner Vi sier at en funksjon f er øyre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 + eksisterer. Vi sier at en funksjon f er venstre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 eksisterer. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 23
Deriverbare funksjoner En funksjon f er deriverbar på et intervall (a, b) (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b). En funksjon f er deriverbar på et intervall [a, b] (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b), venstre deriverbar i b og øyre deriverbar i a. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 24
Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er øyre og venstre deriverbar i 0, men ikke deriverbar i 0 (fordi lim g() g(0) 0 + og lim g() g(0) 0 begge eksisterer, men er forskjellige). g er derfor deriverbar på intervallet (, 0] og på intervallet [0, ), men ikke på intervallet (, ). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 25
Tangenter Anta at f (x 0 ) er definert. Da er tangenten til f i punktet x 0 linjen y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ). Merk at f (x 0 ) kan uttrykkes som en grenseverdi på to måter: f (x 0 ) 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 26
Eksempel 8 La f (x) = ax + b der a og b er konstanter. Da er f f (x + ) f (x) (x) 0 a 0 a = a 0 for alle x. 0 a(x + ) + b ax b Følgelig er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) linjen y = f (x 0 )(x x 0 )+f (x 0 ) = a(x x 0 )+ax 0 +b = ax +b = f (x). Altså er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) grafen til f selv. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 27
Potensregelen Det følger av Eksempel 7 at vis f (x) = 1 så er f (x) = 0 (faktisk følger det at f (x) = 0 vis f er en konstant funksjon), og at g (x) = 1 vis g(x) = x. Vi ar også set at (x) = 2x vis (x) = x 2. Vi skal senere vise at vi for alle r ar at k (x) = rx r 1 vis k(x) = x r. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 28
Leibniz notasjon Hvis y = f (x) vil vi under tiden bruke følgende alternativ notasjon for den deriverte til f. f (x) = dy dx = d dx f (x) = y = D x y = D x f (x) = Df (x). For eksempel er d x 2 = 2x og d dx dt t = d t 1/2 = 1t 1/2 = 1 dt 2 2. t Hvis vi ønsker å spesifisere verdien til den deriverte i et punkt x = x 0 kan vi bruke følgende notasjon: f (x 0 ) = dy dx = d x=x0 dx f (x) = y x=x0 = D x y x=x0 x=x0 = D x f (x 0 ) = Df (x 0 ). For eksempel er d x 2 x=3 = 2x dx = 6. x=3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 29
Eksempel 9 ( d x dx x 2 + 1 ) x=2 0 2+ 2 (2+) 2 +1 2 2 +1 2 + 0 5 + 4 2 + 2 3 5 5(2 + ) 2(5 + 4 + 2 ) 0 5(5 + 4 2 + 3 ) 2 2 3 0 5(5 + 4 2 + 3 ) 2 3 0 5(5 + 4 + 2 ) = 3 25. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 30
Differensialer Anta at f er en deriverbar funksjon. Hvis vi lar y = f (x), y = f (x + ) f (x) og x = så er dy dx = f f (x + ) f (x) y (x) 0 x 0 x. Hvis vi lar dy være en funksjon som avenger av to uavengige variable x og dx på følgende måte dy = f (x)dx så blir dy en egentlig kvotient. dx dy og dx kalles differensialer. Hvis for eksempel y = x 2 blir dy = dy dx 2 dx dx = dx = 2xdx. dx www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 31
Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem 1: Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Hvis en funksjon f er er deriverbar i x, så er f kontinuerlig i x. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 32
Bevis for Teorem 1 Da f er deriverbar i x, eksisterer grenseverdien Det følger at f (x + ) f (x) lim 0 lim f (x + ) f (x) 0 0 = f (x). f (x + ) f (x) f (x) = 0 0 og dermed at lim 0 f (x + ) = f (x). Dvs. f er kontinuerlig i x. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 33
Summereglen, differansereglen og faktorreglen Teorem 2: Summereglen, differansereglen og faktorreglen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og C er en konstant. Da er funksjonene f + g, f g og Cf deriverbare i x og (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (Cf ) (x) = Cf (x). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 34
Bevis for Teorem 2 og (f ± g)(x + ) (f ± g)(x) (f ± g)(x) 0 (f (x + ) ± g(x + )) (f (x) ± g(x)) 0 f (x + ) f (x) ± 0 = f (x) ± g (x) (Cf ) (x) 0 Cf (x + ) Cf (x) g(x + ) g(x) = C lim 0 f (x + ) f (x) = Cf (x). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 35
Produktregelen Teorem 3: Produktregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x. Da er funksjon fg deriverbar i x og (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 36
Bevis for Teorem 3 (fg) (x) 0 f (x + )g(x + ) f (x)g(x) f (x + )g(x + ) f (x)g(x + ) + f (x)g(x + ) f (x)g(x) 0 f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f (x) 0 = f (x)g(x) + f (x)g (x). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 37
Resiprokregelen Teorem 4: Resiprokregelen Anta at funksjonen f deriverbar i x og f (x) 0. Da er funksjonen 1/f deriverbar i x og ( ) 1 (x) = f (x) f (f (x)). 2 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 38
Bevis for Teorem 4 ( ) 1 (x) f 0 1 f (x+) 1 f (x) f (x) f (x + ) 0 f (x + )f (x) ( ) ( ) 1 f (x + ) f (x) 0 f (x + )f (x) = f (x) (f (x)). 2 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 39
Kvotientregelen Teorem 5: Kvotientregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og g(x) 0. Da er funksjonen f /g deriverbar i x og ( ) f (x) = g(x)f (x) f (x)g (x). g (g(x)) 2 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 40
Bevis for Teorem 5 ( ) ( f (x) = f 1 ) (x) g g = f 1 (x) g(x) + f (x) g (x) (g(x)) 2 = g(x)f (x) f (x)g (x) (g(x)) 2. www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 41
Eksempel 10 d dx ( ) (x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2)(x 3 + 1) = (x2 + 2)(x 3 + 1)((x 2 + 1)3x 2 + 2x(x 3 + 2)) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 ((x 2 + 2)3x 2 + 2x(x 3 + 1))(x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 1) + 2x(x 2 + 2)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 2) + 2x(x 2 + 1)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2) + 2x(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x6 9x 4 6x 2 + 2x 7 + 6x 4 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 2x7 3x 6 3x 4 6x 2 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 42
Eksempel 11 La oss finne alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). dy dx = x 2 ( 2x) + 2x(4 x 2 ) = 2x(4 2x 2 ). Så kurven y = x 2 (4 x 2 ) ar en orisontal tangent i punktene x = 0 og x = ± 2. y x=0 = 0 og y ± 2 = 4. Så y = 0 og y = 4 er alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 43