Eksamen S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonen f f f 6 b) Løs likningene 6 4 ) 6 4 6 4 8 8 7 8 4 ) 8 8 6 4
) lg lg lg lg 4) 4 4 7 lg Alternativt lg7 lg lg fordi 7 lg lg c) Bestem koordinatene til skjæringspunktene på grafene til funksjonene Jeg setter f g f og g 4 4 g g 6 Koordinatene til skjæringspunktene blir, og,6 d) Skriv så enkelt som mulig ) 8
) a b ab a b a b ab a b ab a b a b a b a b 4 7 e) Forkort brøken a 7 6a a 7 a 6a a a a a a a f) Vi har gitt ulikhetene y y y6 Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene. Jeg ordner ulikhetene på formen y y y 6 y Jeg tegner grafene til linjene og skraverer det aktuelle området. y y 6
g) Vi har gitt en funksjon f. Fortegnslinjen til f er gitt ved f ) Bestem hvor grafen til f stiger og synker. Grafen stiger når den deriverte er positiv, det vil si når er større enn og samtidig er mindre enn. Altså når ligger i intervallet,. Grafen synker i intervallet, og i intervallet,. ) Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. 4
h) En gruppe på to voksne og to barn går på fotballkamp. Billettene koster til sammen kroner. En annen gruppe på én voksen og fire barn betaler til sammen kroner. Sett opp et likningssystem, og finn prisen for én barnebillett og én voksenbillett. Jeg lar prisen for en barnebillett være kroner, og prisen for en voksenbillett y kroner. Ut fra oppgavens opplysninger får jeg da et likningssystem som jeg kan løse. y 4 y y 4 4 8 6 6 y 4 Prisen for én barnebillett er kroner, og prisen for én voksen billett er kroner.
i) Vi skal studere sammenhengen mellom noen binomialkoeffisienter ) Skriv opp de seks første radene i Pascals talltrekant. 4 6 4 6 6 ) Bruk oppgave i) ) til å forklare at 4 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 4 4 6 6 6 Sammenhengen mellom tallene i Pascals talltrekant og binomialkoeffisientene er illustrert med de to ovenstående tabeller. Da et tall i Pascals talltrekant fremkommer som summen av de to nærmeste tallene i raden ovenfor, får vi at 4 4. 6 ) Sett opp en tilsvarende sammenheng for Av tabellen ovenfor fremgår det videre(markert med gul farge) at 6 4 6
Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (6 poeng) En klasse på jenter og 8 gutter er på fjelltur. Fire av ryggsekkene er ekstra tunge. De bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal bære disse ryggsekkene. a) Bestem sannsynligheten for at det er fire jenter som må bære de tunge ryggsekkene. Dette er en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Antall gutter og jenter til sammen, populasjonen, er. Jeg velger å la n stå for antall jenter, n. Det trekkes tilfeldig et utvalg på 4 personer. Nå betegner X hvor mange i utvalget som er jenter. Kalkulatoren viser at sannsynligheten for at det trekkes fire jenter er, %. PX 4,. b) Bestem sannsynligheten for at de fire ryggsekkene fordeles på to jenter og to gutter Kalkulatorene viser at sannsynligheten for at det trekkes ut to jenter til å bære sekkene, og de resterende to er gutter, er 8, %. c) Bestem sannsynligheten for at minst én gutt må bære en tung ryggsekk. Minst én gutt betyr at antall jenter kan være,, eller, bare ikke 4. Kalkulatorene viser at sannsynligheten for at det trekkes ut minst én gutt er 89,9 %. 7
Oppgave (6 poeng) Energimengden E, målt i joule J, som blir utløst i et jordskjelv med styrke R på Richters skala, er gitt ved E R, 9 a) Bestem energimengden som utløses av et jordskjelv som har styrke 7, på Richters skala. Jeg definerer energimengdefunksjonen i et digitalt verktøy. Jeg regner så ut energimengden. Energimengden utløst av et jordskjelv som har styrke 7, på Richters skala er,8 J. 7 b) I 9 var det årlige forbruket av energi i Norge,99 J. Bestem Richter-tallet R til et jordskjelv som utløser samme energimengde. Richter-tallet til er,7. c) Bestem E E 4 og E E 9 8. Kommenter svarene dine. Energimengden som utløses av et jordskjelv med Richter-tall er ca. ganger større enn energimengden til et jordskjelv med Richter tall 4. Det samme forholdet har vi når Richter-tallet økes fra 8 til 9. Dette kan tyde på at når Richter-tallet økes med enhet, så multipliseres energimengden som utløses med. 8
Oppgave 4 ( poeng) Sett inn korrekt symbol eller eller ) i boksen slik at påstanden blir riktig: 9 Skriv av oppgaven på besvarelsen din og forklar hvordan du tenker. Hvis, så er 9 99 og altså 9. Det betyr at 9 Hvis 9, så kan være lik og da er ikke. Implikasjon mot høyre gjelder ikke. Oppgave (6 poeng) På en flytur er det 7 passasjerer om bord. Av disse er det amerikanere. a) Vi regner med at passasjerene går om bord i vilkårlig rekkefølge Bestem sannsynligheten for at de første passasjerene som går om bord i flyet, er amerikanere. 4,, % 7 69 68 På en annen flytur er sannsynligheten, for at en tilfeldig valgt passasjer er amerikaner. Vi regner med at passasjerene plasseres vilkårlig i flyet. På første seterad er det seter i bredden. Alle setene på første seterad skal fylles opp. b) Bestem sannsynligheten for at det sitter akkurat amerikanere på første seterad. Vi har nå en binomisk sannsynlighetsfordeling med forsøk og p,. Sannsynligheten for at det sitter akkurat amerikanere på første seterad er,7 %. c) Bestem sannsynligheten for at det sitter minst amerikanere på første seterad. Sannsynligheten for at det sitter minst amerikanere på første seterad er 94, %. 9
Oppgave 6 (9 poeng) Et bakeri lager og selger et populært brød. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bakte brød og kostnadene K kroner. 7 7 7 K 9 4 8 6 489 6 878 7 a) Bruk regresjon, og vis at K,9,8 7 er en god modell for kostnadsfunksjonen. Jeg lager en liste med punkter i GeoGebra ut fra tabellen og foretar polynomregresjon av grad. Jeg får samme verdi for K som i oppgaven, og jeg ser på punktenes plassering i forhold til grafen at dette er en god modell for kostnadsfunksjonen. b) Regn ut K. Hva forteller dette tallet oss? Den deriverte når er lik stigningstallet til tangenten når. Geogebra viser at dette stigningstallet er lik 8,7. Det betyr i praksis at det koster kr 8,7 å bake ett ekstra brød når antall bakte brød er lik, altså å øke produksjonen fra til.
c) Utsalgsprisen per brød settes til 4 kroner. Vis at bakeriet vil få overskudd på O,9 6,8 7 ved produksjon og salg av brød. Når ett brød gir en inntekt på kr 4, vil antall brød gi en inntekt på 4 kroner. Overskuddet er lik inntektene minus kostnadene, slik at overskuddsfunksjonen blir O 4 K 4,9,8 7,9 6,8 7 d) Bakeriet har funnet ut at overskuddet blir størst når kostnaden ved å produsere ett ekstra brød er akkurat lik 4 kroner. Forklar hvorfor dette er riktig. Kostnadsfunksjonen er en andregradsfunksjon, og vi ser at grafen blir brattere og brattere for økende verdier av. Stigningstallet til tangenten øker for økende verdier av. Det betyr at kostnadene ved å bake ett ekstra brød øker jo flere brød som bakes. Så lenge kostnadene ved å bake ett ekstra brød er lavere enn inntektene fra ett ekstra brød, lønner det seg å øke produksjonen. Når kostnadene passerer inntektene, gir det mindre overskudd. Det betyr størst overskudd når kostnaden ved å produsere ett ekstra brød er akkurat lik 4 kroner. e) Bestem det antallet brød som gir størst overskudd, og hvor stort dette overskuddet blir. Jeg tegner grafen til overskuddsfunksjonen O og finner koordinatene til toppunktet. Grafen viser at det blir størst overskudd når det bakes 9 brød. Det største overskuddet er på kroner 79.
Oppgave 7 (7 poeng) Et jernbaneselskap skal innrede et nytt togsett. Sitteplassene i toget er fordelt på første klasse og andre klasse. Selskapet ønsker å fordele setene slik at billettinntektene blir størst mulig. Etterspørselen er stor, så de regner med å selge alle billettene på hver avgang. La være antall seter på første klasse, og la y være antall seter på andre klasse. Fordelingen av seter er gitt med følgende begrensninger: 6 y 4 y 4 y 6 Billettprisen på første klasse 8 kroner per sete, og prisen på andre klasse er 46 kroner per sete. Bestem det antallet seter på første klasse og det antallet seter på andre klasse som gir selskapet størst mulig samlet inntekt per avgang. Bestem hvor stor denne inntekten blir. Jeg tegner de linjene i GeoGebra som viser begrensningene i setefordelingen. Vi står igjen med det skraverte området som angir de mulige setefordelinger. Jeg tegner så nivålinjer for inntektsfunksjonen i 8 46y. Av grafen leser jeg at selskapet får størst samlet inntekt med seter på første klasse og 6 seter på andre klasse. Inntekten er da på kroner 974.