Oppgave eltet har kompoeter og avheger av variable Jacobimatrise er da av forme Partiell derivasjo gir: ( y) ( y) ( y) y J ( x, y, ) x ( x ) x x x y x x e partielt derivert er polyomer og rasjoale fuksjoer hvor ever ikke blir e partielt deriverte eksisterer og er kotiuerlige i hele rommet, som er tilstrekkelig for at vektorfeltet er deriverbart J (,, ) ( ) ( ( ) ) ( ) Oppgave late er gitt eksplisitt og vi skriver de om til implisitt form som Vi har at projeksjoe av flate i xy plaet er a er Vi fier d da og at Vi får xy x som gir (,, ) (,, ) x y ( x, y, ) ( xy, x, ) x y x x y x x y 8yd x y 8y da Vi må fjere i itegrade Med x y blir x y( x y) 8y x 8y x y 8y x y x ette gir x y x x y 8y x y x x y x x y x
ermed er flateitegralet x y 8yd x y x dydx 5 7 [ ] [ ] [ 9 5 ] 9 5 5 x y x y y dx x x dx x x x Oppgave ivergese er x y ( xy e ) ( y e ) (( x y) ( x y) ) ( x y) ( x y ) y e ye ( x y) ( x y) uflate,, i xy plaet til legemet utgjør samme med Matematisk blir dette ivergessetige gir dv d hele overflate til legemet Oppdelige av overflate gir d d d Isatt får vi d dv d Volumitegralet er ( ) ( ) 5 8 dv x y x y dv ( ) ( ) x y x y dv, fra opplysige uflate er e del av xy plaet og utadrettet ehetsormal er k Vektorfeltets kompoet er buflate er derfor ( x y) ( x y), som er år i xy plaet lateitegralet over Totalt er flukse ut av flate d dv d 8 8
Oppgave Curle til vektorfeltet er i j k yx xy e y, x, x y xy e yx e yx xy ( e ) ( xy ) ( e ) ( yx ) ( xy ) ( yx ) y, ( x ), x y (,, y x ) Skjærigskurve, C, er gitt ved x y og plaet 5 Kurve er lukket med positiv omløpsretig sett ovefra, dvs fra de positive dele av - akse Stokes setig gir dr ( ) d, for ehver positivt orietert og tilstrekkelig glatt flate med kurve C som rad Vi ka velge kjegleflate ( selv om de har e spiss og ikke er glatt ), med det er eklere å velge plaet 5 egge flatee har kurve C som rad På implisitt form blir flate ( x, y, ) 5 (,, ) (,,) da ermed er ( ) d (,, y x ) (,,) ( x y ) da, vor vi bruker forteg + side dette gir positivt omløp ved høyrehådsregele ermed er C ( ) x y da Vi treger projeksjoe av flate i xy- plaet ra x y og plaet 5 får vi Vi beskriver området i polare koordiater Itegrade blir x y r Sirkulasjoe lags kurve blir x y 5 Området er : r 5 5 5 65 65 [ ] [ ] 65 C r rdrd r d d 5 x y Oppgave 5 Temperature er e kotiuerlig fuksjo og take utgjør et lukket og begreset område ette sikrer eksistes av maksimum og miimum til temperaturfuksjoe på området Vi deler problemet i to deler
el et idre av take gitt ved 9 er er alle puktee idre pukter og lokale ekstremalpukter oppfyller at de deriverte er ull Vi får T ( y, x, 5) (,,) Side det siste kravet blir 5 og ikke ka oppfylles så har ikke fuksjoe ekstremalpukter i det idre av take el Takes overflate gitt ved 9 Lokale ekstremalpukter bestemmes fra Lagrages metode ørigsbetigelse er ( x, y, ) 9 e deriverte er (,, ) ( x, y, ) Lagrages likiger er T Isatt ( y, x, 5) ( x, y, ), som på kompoetform blir e første likige isatt i de adre gir aktoriserige gir x eller Tilfellet x gir y x og dermed y x x y 5 x x x x ( ) Vi fier to kadidatpukter: (,, ) og (,,) Tilfellet 9 gir at 9 9 gir 5 5 ette er ikke e mulig verdi for side ølgelig gir ikke dette tilfellet oe løsiger Største verdi for temperature er T (,, ) 5( ) 5 og miste verdi for temperature er T (,,) 5 5 Temperatures ekstremalverdier atas på takes overflate Største verdi er 5 og oppås i puktet (,, ) og miste verdi er 5 og oppås i puktet (,,) Alterativt ka oppgave løses ute lagragemultiplikatore, for parallellitet ette gir T, ved å beytte kryssproduktet i j k x 5 y 5 y x T y x 5,, y x x y (x y, y x, y x ) (,, )
På kompoetform får vi likigee e siste likige gir at y x x y y x y x Vi setter y x i i de første og får x x x( 5) hvorfra det følger at x og dermed fra y x at også y eller at 5 Videre drøftig som tidligere Vi setter y x i i de første og får x x x( 5) hvorfra det følger at x og dermed fra y x at også y eller at 5 Videre drøftig som tidligere Oppgave ka også løses ved isettig, me det er ikke e god metode pga kvadratrøttee som kommer fra førige/bibetigelse Oppgave 6 adkravee u u (, t) (, t) x x iebærer at streges edepukter beveger seg fritt i vertikal retig Startkravet u( x,) cos x er startposisjoe til puktee i strege og startkravet u ( x,) cos( x ) t er startfarte til puktee i strege c c Løsige er på forme u( x, t) ( g h t) { g cos( t) L h si( t)}cos( x ) Med L og c 6 6 tar løsige forme u( x, t) ( g h t) { g cos( ct) h si( ct)}cos( x ) c et gjestår å bestemme fourierkoeffisietee fra u( x,) cos x g( x) g g cos( x ) irekte sammelikig gir g, øvrige er L c L L u ra ( x,) cos( x ) h ( x ) h h cos( x ) følger ved sammelikig at t h, h og øvrige er Isatt blir løsige til bølgeproblemet: u( x, t) t { cos( 6 t)}cos( x) { si( 6 t)}cos( x ) t cos(6 t)cos( x) si( t)cos( x ) 6 5