FYS2140 KVANTEFYSIKK

FYS2140 KVANTEFYSIKK Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa FYS2140 KVANTEFYSIKK p.1/55

Første uke, 16-20 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FYS2140 Tirsdag: Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese (Tirsdag: Fotoelektrisk effekt) Torsdag og fredag: Datalab med repetisjonsoppgaver (matematikk). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.2/55

En hund etter kvantefysikk.. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.3/55

Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag (14.15-16) og tirsdag (08.15-10, dessverre...) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag (14.15-16) og tirsdag (08.15-10, dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag (14.15-16) og tirsdag (08.15-10, dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag (14.15-16) og tirsdag (08.15-10, dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 9-13 torsdag og 9-13 + 13-17 fredag. Fredag 13-17 er for MEF of ELDAT. Maks 30 studenter per gruppe. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag (14.15-16) og tirsdag (08.15-10, dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 9-13 torsdag og 9-13 + 13-17 fredag. Fredag 13-17 er for MEF of ELDAT. Maks 30 studenter per gruppe. Oppgavene som skal leveres inn kunngjøres mandagen i uka før. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Innlevering av obliger: Ekspedisjonskontoret, 1. etasje senest mandag ved stengetid (kl.16). Ved sen innlevering: TA KONTAKT MED GRUPPELÆRER! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Innlevering av obliger: Ekspedisjonskontoret, 1. etasje senest mandag ved stengetid (kl.16). Ved sen innlevering: TA KONTAKT MED GRUPPELÆRER! Siste forelesning (sannsynligvis) tirsdag 23. mai. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 10. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 26. mai. Godkjent / ikke godkjent. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 10. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 26. mai. Godkjent / ikke godkjent. Hver deleksamen må være bestått for å stå i kurset! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

Regnelab Rom FV329 er åpent i tidsrommet 9-13 torsdager og 9-17 fredager for påmeldte på FYS2140. BRUK REGNELABEN!!! Tid Gruppe 1: Torsdag 9-13 Gruppe 3: Torsdag 13-17 Gruppe 5: Fredag 9-13 Gruppe 7: Fredag 13-17 Veileder Elise Bergli Åpnes ved behov Sunniva Siem Mateusz Røstad (MEF of ELDAT) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.7/55

Kursets oppbygning Første del tar for seg den historiske utviklingen fra slutten av det nittende århundre til begynnelsen av forrige århundre. I denne tidsperioden vokste erkjennelsen av at en rekke eksperimenter ikke kunne beskrives av klassisk fysikk (Newtons lover m.m.). Denne utviklingen ledet fram til den nye kvanteteorien i 1925. De nye begrepene som ble innført var materieegenskapen til stråling, bølgeegenskapene til materien og kvantiseringen av fysiske størrelser. Dekkes av forelesningsnotater. Første 3-4 uker av semesteret. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.8/55

Kursets oppbygning Andre del tar for seg en første introduksjon til kvantemekanikk, med løsning av Schödingerligningen i enkle systemer, samt litt om kvantemekanikkens formalisme. Denne delen avsluttes med en kvantemekanisk beskrivelse av hydrogenatomet. Dekkes av kapitlene 1-4 i Griffiths. Undervises de påfølgende 6-7 uker. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.9/55

Kursets oppbygning Tredje og siste del tar for seg anvendelser i ulike fagfelt, fra kvantemekanikkens spede begynnelse med atom- og molekylfysikk, til kjernefysikk, moderne partikkelfysikk og faste stoffers fysikk/nanofysikk. Undervises resten av semesteret. Dekkes av deler av kap. 5 i Griffiths, samt forelesningsnotater. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.10/55

Detaljert innhold Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese Fotoelektrisk effekt Röntgenstråling Comptonspredning Bohrs atommodell Materiebølger og partikkel-bølge dualitet FYS2140 KVANTEFYSIKK p.11/55

Detaljert innhold Andre del, kap. 1-4 i Griffiths Introduksjon til kvantemekanikk og enkle kvantemekaniske systemer Kvantemekanikkens matematiske formalisme Kvantisering av banespinn Hydrogenatomet FYS2140 KVANTEFYSIKK p.12/55

Detaljert innhold Tredje del, deler av kap. 5 i Griffiths, forelesningsnotater Spinn, identiske partikler, Pauliprinsippet Atomfysikk. Teori til å forklare det periodiske system. Faste stoffers fysikk, nanofysikk. Kjernefysikk. Moderne partikkelfysikk, kvarker og leptoner FYS2140 KVANTEFYSIKK p.13/55

Kursmateriale Lærebok: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics Viefers, Hjorth Jensen og Engeland: Forelesningsnotater. Kan lastes ned fra kursets webside. Andre notater som legges ut i løpet av kurset. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.14/55

Get ready to be shocked... Kvantemekanikken er alt annet enn intuitiv! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.15/55

Kvantemekanikk i et nøtteskall... Energikvantisering Vi er vant til energi som en kontinuerlig størrelse. Den potensielle energien 1 2 kx2 til en fjær, for eksempel, kan ifølge klassisk mekanikk anta en hvilken som helst verdi. Men ser vi på verden med stort nok forstørrelsesglass (dvs atomært nivå), finner en mange tilfeller av at energier bare kan anta visse, diskrete verdier. Dette kalles kvantisering. Vi vil se mange eksempler på dette, bl.a. elektronbanene i atomer, og fotoner ( partiklene som lyset består av). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.16/55

Kvantemekanikk i et nøtteskall... Bølge - partikkel dualitet En kan tilordne bølgeegenskaper til enhver partikkel (eller for den saks skyld til hver og en av dere...), og partikkelegenskaper til lyset. At lyset består av partikler (energipakker) har jeg allerede nevnt. Et sjokkerende bevis på materiens bølgeegenskaper er dobbeltspalte-eksperimentet: Dere har lært om interferens med klassiske bølger på videregående. Men: Sender man ett elektron mot to spalter, vil det grovt sagt gå gjennom begge spaltene samtidig og interferere med seg selv. Som en konsekvens av dette trenger man en bølgeligning (Schrödingerligningen) til å beskrive materien, i stedet for Newtons lover. Og det eneste vi kan få vite noe om utfra denne bølgeligningen er sannsynligheter, f.eks. sannsynligheten for at en partikkel skal befinne seg et gitt sted. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.17/55

Kvantemekanikk i et nøtteskall... Heisenbergs uskarphetsrelasjon. Klassisk er det slik at posisjon x og bevegelsesmengde p er uavhengige størrelser. Vi kan holde en kaffekopp i ro og samtidig vite hvor den befinner seg! Kvantemekanisk impliserer Heisenbergs uskarphetsrelasjon at vi ikke kan lokalisere en partikkel og samtidig bestemme dens bevegelsesmengde skarpt. Matematisk uttrykkes dette som p x 2, der x er uskarpheten i posisjon, og p er uskarpheten i bevegelsesmengde. Grunnen til at vi ikke merker noe til dette i hverdagen, er at uskarpheten blir uhyre liten for makrokopiske gjenstander. Men på atomært nivå har uskarphetsrelasjonen merkbare og viktige konsekvenser. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.18/55

Kvantemekanikk i et nøtteskall... Paulis eksklusjonsprinsipp: To fermioner (som f.eks. elektroner, protoner, nøytroner, kvarker og nøytrinoer) kan ikke befinne seg i samme tilstand (dvs samme energi, samme sted...) samtidig. Dette fører bl.a. til at, som dere vet, energiskall i atomer kan bli fulle. Ekslusjonsprinsippet er m.a.o. avgjørende for hele materiens struktur! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.19/55

Sort legeme stråling Mν(hν) [ev/nm 2 ] 2e-06 1.5e-06 1e-06 5e-07 k B T = 0.6 ev k B T = 0.5 ev k B T = 0.4 ev Klassisk k B T = 0.6 ev 0 0 1 2 3 Energi hν [ev] 4 5 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.20/55

Andre uke, 23-27 januar Mandag 23: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 23: Fotoelektrisk effekt og Röntgenstråling Tirsdag 24: Comptonspredning Onsdag 25: Gjennomgang av oppgavene 1.1 og 1.2 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 1. Torsdag og fredag: jobbing med oblig 2 (er lagt ut, se undervisningsplan!) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.21/55

Repetisjon fra 16. og 17. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.22/55

Repetisjon fra 16. og 17. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmessig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/c 2 (MeV/c 2 ) for masse, og ev/c (MeV/c) for bevegelsesmengde. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.22/55

Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. Kvantiseringshypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk. Kvantemekanikkens unnfangelse. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

Ukens hovedbudskap Elektromagnetisk stråling (lys) har - i tillegg til de velkjente bølgeegenskapene - også partikkelegenskaper. Den består av kvantiserte energipakker (fotoner) som kan delta i støt med f.eks. elektroner. Fotoner kan tilordnes både energi (E = hν) og bevegelsemengde (p = h/λ). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.24/55

Tredje uke, 30. jan - 3. feb Mandag 30: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 30: Problemer med klassisk atomfysikk. Bohrs atommodell. Tirsdag 31: Materiebølger: Dobbeltspalte-eksp., de Broglie-bølgelengde Onsdag 1: Gjennomgang av oppgave 1.4 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 2. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 3 (er lagt ut, se undervisningsplan) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.25/55

Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Resultatene kan forklares bl.a. ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

Fjerde uke, 6. - 10. februar Mandag 6: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 6: Litt bølgelære, sammenheng ml.bølge- og partikkelbildet Tirsdag 7: Schrödingerligningen, bølgefunksjonen, sannsynlighet. 1.1-1.3 i Griffiths Onsdag 8: Gjennomgang av oppgave 4.2 og 4.3 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 3. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 4 (egne filer, pdf/tex og matlab, er lagt ut) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.27/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment og dermed kvantiserte energinivåer for elektronet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. Uttrykt ved bølgetallet k og vinkelfrekvensen ω blir de fundamentale relasjonene p = k og E = ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

Femte uke, 13. - 18. feb Mandag 13: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 13: Normering av bølgefunksjonen, bevegelsesmengde, operatorer (1.4, 1.5). (Heisenbergs uskarphetsrelasjon, 1.6) Tirsdag 14: Uskarphetsrelasjonen. Film om Københavnertolkningen Onsdag 9: Gjennomgang av oppgave 1.1 og 1.2 i boka. Gjennomgang av oblig 4. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 5 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.30/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten v f = ω/k. Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er omhyllingskurvens hastighet, dvs gruppehastigheten, v g = dω/dk. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ψ(x, t) 2 er en sannsynlighetstetthet for å finne partikkelen nær posisjon x ved tiden t. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

Sjette uke, 20. - 24. feb Mandag 20: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 20: Tidsuavhengig SL. Stasjonære/ikke-stasjonære tilstander (kap 2.1). Tirsdag 21: Partikkel i uendelig bokspotensial (kap 2.2) Onsdag 22: Gjennomgang av oppgave 1.9 i boka og 4.6 abc i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 5. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 6 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.33/55

Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker noe til den i hverdagen (ikke observerbar) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

Sjuende uke, 27.feb - 3.mars Mandag 27: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 27: Partikkel i uendelig boks forts. Harmonisk oscillator (2.3) Tirsdag 28: Harmonisk oscillator forts. Onsdag 1: Oppg. 2.1, 2.2 (2.7). Gjennomgang av oblig 6. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 7 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.35/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre løsninger av den fulle SL (de ikke-stasjonære) kan uttrykkes som lineærkombinasjoner av de stasjonære, dvs Ψ(x, t) = c i ψ i (x)exp( ie i t/ ) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En generell egenskap er at egenfunksjonene er ORTOGONALE. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

Åttende uke, 6. - 10. mars Mandag 6: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 6: Fri partikkel. Bundne tilstander. Partikkel i endelig boks Tirsdag 7: Partikkel i endeligboks forts. Tunnelering Onsdag 8: Oppg. 2.12. Gjennomgang av oblig 7. Torsdag og fredag: Ingen datalab. Hjemmeeksamen legges ut torsdag. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.38/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt ved V (x) = 1/2 kx 2 = 1/2 mω 2 x 2. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. Hver gang vi anvender heveoperatoren â +, får vi en tilstand som ligger ω høyere i energi. Hele spekteret er gitt ved E n = (n + 1/2) ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

Niende uke, 27. - 31. mars Mandag 27: Kort repetisjon fra forrige gang Mandag 27: Tunnelering forts. Oppsummering av kvantemekanisk formalisme Tirsdag 28 Kvantemekanisk formalisme og sammenheng med lineær algebra (forenklet versjon av 3.1-3.5) Onsdag 29: Gjennomgang av hjemmeeksamen. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 8. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.41/55

Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn. Bølgefunksjonen (sannsynligheten) kan trenge inn i det klassisk forbudte område. Denne effekten danner også utgangspunktet for TUNNELERING (barrieregjennomtrenging). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

Tiende uke, 3. - 7. april Mandag 3: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 3: Formalisme forts. Kvantemekanikk i tre dimensjoner, avsnitt 4.1 Tirsdag 4 Hydrogenatomet, avsnitt 4.2 Onsdag 5: 4.1 ac Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 9 (oppg. 4.2ab) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.43/55

Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved absoluttkvadratet av tilstandens (vektorens) komponent langs tilsvarende egenvektor. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

Ellevte uke, 18. - 21. april Tirsdag 18: Kort repetisjon fra før påske Tirsdag 18: Radiell sannsynlighet. Kvantisering av angulærmoment, avsnitt 4.3 Onsdag 19: Gjennomgang av oblig 9 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 10 (hydrogenatomet) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.45/55

Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. Kvantetallene n, l og m oppfyller n = 1, 2,...; l < n; m = 0, ±1,... ± l. Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå n er d(n) = n 2. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

Tolvte uke, 24. - 28. april Mandag 24: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 24: Elektronets spin, Zeemaneffekt, LS-kobling Tirsdag 25: Spinn forts.: LS-kobling, addisjon av angulær moment. (Forelesningsnotat). (Identiske partikler. (5.1)?) Onsdag 26: Gjennomgang av oblig 10 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 11 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.47/55

Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

Trettende uke, 1. - 5. mai Påmelding til eksperimentelt prosjekt. Tirsdag 2: Kort repetisjon fra forrige uke Tirsdag 2: Identiske partikler, Pauliprinsippet (5.1). Onsdag 3: Gjennomgang av oblig 11 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 12 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.49/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiseringen av angulærmoment. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiseringen av angulærmoment. Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor g e 2, den gyromagnetiske faktor. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Addisjon av angulærmoment: J = L 1 + L 2 : Har som vanlig at J 2 = j(j + 1) og m j = j,...j. Tillatte verdier er j = l 1 l 2, l 1 l 2 + 1,... l 1 + l 2. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.52/55

Repetisjon fra 24. og 25. april Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.52/55

Fjortende uke, 8. - 12. mai Mandag 8: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 8: Anyoner, exchange-vekselvirkning Tirsdag 9: Atomer. (Molekyler) Onsdag 10 - fredag 12: Eksperimentelt prosjekt FYS2140 KVANTEFYSIKK p.53/55

Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

Repetisjon fra 2.mai Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.55/55

Repetisjon fra 2.mai Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkel-tilstand. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.55/55