INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: NORSK Arild H. Clausen, 73 59 76 32 Kjell Holthe, 73 59 35 53 Jan B. Aarseth, 73 59 35 68 EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2 Torsdag 29. november 2007 Kl 09.00 13.00 Hjelpemidler (kode C): Irgens: Formelsamling mekanikk. Bestemt, enkel kalkulator. Passer.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 2 av 7 Settet består av i alt 7 ark: 1 forside, 5 ark med oppgavetekst og 1 vedlagt ark med tverrsnitts-data for IPE-profiler. Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk rede-gjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir vekt ved sensur (og indikerer cirka tidsforbruk på hver oppgave). Sensuren faller senest 20. desember 2007 (såfremt intet uforutsett inntreffer).
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 3 av 7 OPPGAVE 1 (Vekt 25%) B B 1.2a a IPE C 0.5a a A A q 0 q 0 (a) (b) Figur 1: (a) Søyle i kaikonstruksjon (b) Søyle støttet opp av trykkstav
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 4 av 7 Figur 1(a) viser en prinsippskisse av en søyle AB som støtter en vegg i en kaikonstruksjon. Søylen, som har lengde 2a og konstant bøyestivhet EI, er innspent i punkt A, mens det er et glidelager i punkt B. Den nederste halvdelen av søylen er påkjent av en lineært økende fordelt last, som skyldes vanntrykk. Lasten har maksimal intensitet q 0 ved innspenningen. Det virker ingen ytre last på den øvre halvdelen av søylen. a. (14%) Velg et hensiktsmessig statisk bestemt grunnsystem, løs det statisk ubestemte problemet, og bestem lagerreaksjonene A x, A y, M A og B x. (Det er ikke nødvendig å tegne M- og V-diagram.) Som en følge av problematiske grunnforhold lar det seg ikke gjøre å etablere det glidelageret i punkt B som er vist figur 1(a). I stedet må det monteres en skrå trykkstav med IPE-tverrsnitt som fundamenteres i punkt C, se figur 1(b). Geometrien til trykkstaven fremgår av figuren, og staven kan knekke om begge akser. b. (11%) Ta utgangspunkt i svaret på spørsmål a., og bestem nødvendig størrelse (dimensjon) av IPE-profilet i stav BC slik at knekning unngås. Oversikt over IPE-profiler er gitt i Vedlegg 1. Benytt følgende numeriske verdier: a = 9 m q 0 = 50 kn/m E = 210 000 MPa
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 5 av 7 OPPGAVE 2 (Vekt 20%) 50 150 50 20 10 200 20 98 z y (a) (b) Figur 2: (a) Tverrsnitt av stålbjelken (mål i mm) (b) Bjelken med to alternative plasseringer av hull for gjennomføring av rør Figur 2(a) viser et tverrsnitt som skal benyttes i en sekundærbjelke i dekkskonstruksjonen til en offshoreinstallasjon. Tverrsnittet er enkeltsymmetrisk, og geometriske mål fremgår av figuren. Merk spesielt at tverrsnittets flatesenter (og origo i yz-aksesystemet) er lokalisert 98 mm over underkant av underflensen. Tverrsnittet har 2. arealmoment I z = 98.02 10 6 mm 4 om z-aksen.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 6 av 7 I et gitt snitt er tverrsnittet påkjent av en skjærkraft V y = 50 kn og et bøyemoment M z = 100 knm. Bøyemomentet gir strekk i nedre del av tverrsnittet. a. (4%) Bestem den ekstremale normalspenningen i tverrsnittet. Hvor i tverrsnittet opptrer denne spenningen? b. (6%) Hvor stor akseparallell skjærkraft må hver sveisesøm overføre? c. (5%) Bestem den maksimale skjærspenningen i tverrsnittet. Hvor i tverrsnittet opptrer denne spenningen? Under en ombygging må et rør passere bjelken, og det skal derfor lages et sirkulært hull i steget til bjelken. Figur 2(b) viser to alternative plasseringer og av dette hullet. Bjelken er fritt opplagt og påkjent av en jevnt fordelt last, se figur 2(b). d. (5%) Hvilken av plasseringene og vil du anbefale? Begrunn svaret.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 7 av 7 OPPGAVE 3 (Vekt 15%) Strekklapp Figur 3: Kuleformet trykktank med strekklapp Figur 3 viser en tynnvegget, kuleformet beholder for oppbevaring av en gass under trykk p. Beholderen har radius r og veggtykkelse t. Det er limt en strekklapp, som måler lengdetøyning (normaltøyning), på utsiden av beholderveggen. Denne strekklappen skal gi informasjon om trykktilstanden inne i beholderen, slik at trykket p ikke blir så høyt at det er fare for flytning i beholderveggen. Det er krav om sikkerhetsfaktor 2 med hensyn på flytning. Stålmaterialet har flytespenning f y, elastisitetsmodul E og tverrkontraksjonstall.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 8 av 7 a. (11%) Bestem den kritiske verdien som registreres i strekklappen når trykket p oppnår sin maksmale verdi i henhold til designkriteriet nevnt ovenfor, dvs. sikkerhetsfaktor 2. Benytt Trescas flytekriterium. Uttrykk svaret som funksjon av r, t, f y, E og (det er ikke sikkert at alle disse fem parametrene skal inngå i svaret). b. (4%) Trescas flytekriterium er basert på hovedspenningene i et punkt. Hva forstår vi med en hovedspenning?
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 9 av 7 OPPGAVE 4 (Vekt 15%) T N r i r y 952 m N T Figur 4: (a) Prinsippskisse av borerigg (b) Snitt av borestrengen På 70-tallet boret et forskerteam ned til 952 meter i isen ved den russiske stasjonen Vostok i Antarktis, se skisse i figur 4(a). Borestrengen som ble benyttet var et høyfast stålrør med ytre radius r y = 70 mm og indre radius r i = 60 mm, se figur 4(b). Borestrengen roterte i hele sin lengde. For å unngå
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 10 av 7 knekning av strengen var den i tillegg til torsjonsmomentet T belastet med en normalkraft (strekk) N = 320 kn. Materialdata: f y = 400 MPa E = 200 000 MPa = 0.3 a. (11%) Hvor stort torsjonsmoment T kunne strengen belastes med uten at det oppsto flytning i rørveggen? Benytt Mises flytekriterium. b. (4%) Hvor stor var torsjonsvinkelen for borestrengen? Hvor mange ganger roterer (vris) røret om sin egen akse? Anta at torsjonsmoment T som ble beregnet i spørsmål a. er konstant langs hele rørlengden.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 11 av 7 OPPGAVE 5 (Vekt 25%) x m 0 M EI r m 0 EI t F L/2 L/2 (a) (b) (c) Figur 5: (a) To bjelker som understøtter maskin med roterende masse (b) Prinsippskisse av roterende del (c) Sentrifugalkraft pga. roterende del En maskin med total masse M er lagt opp midt på to parallelle, identiske bjelker som begge har lengde L og bøyestivhet EI, se figur 5(a). Anta at bjelkene er masseløse. I maskinen er det en innebygget, roterende del hvor en liten masse m 0 roterer i avstand r fra en rotasjonsakse, se figur 5(b). Rotasjonsbevegelsen setter massen M i vertikale svingninger x(t) om likevekts-posisjonen. Vinkelhastigheten [rad/s] til den roterende delen, se figur 5(b), er. Data: M = 2000 kg L = 10 m E = 210 000 MPa I = 10 6 mm 4 m 0 = 10 kg r = 25 cm
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 12 av 7 a. (10%) Vis at systemets udempede svingeligning kan skrives som: 96EI x x t L 2 M m 3 0r cos Hint: Sentrifugalkraft er gitt som F = m 0 v 2 /r, der v er hastigheten [m/s] til massen m 0. Sentrifugalkraften er radielt rettet fra rotasjonsaksen mot m 0, se figur 5(c). b. (3%) Bestem egenperioden T e til systemet. c. (3%) Hvilket turtall (vinkelhastighet) gir resonans? Hva skjer nå hvis systemet virkelig er udempet? d. (5%) I alle mekaniske svingesystemer er det en viss dempning. Anta at dempningsforholdet er lik 0.05 for systemet i figur 5(a). Regn ut den maksimale svinge-amplituden for dette dempningsnivået når er som beregnet i spørsmål c. e. (4%) Forklar hvordan man eksperimentelt kan tallfeste dempningsforholdet i en konstruksjon.
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 13 av 7 VEDLEGG: TVERRSNITTSDATA FOR IPE-PROFILER
INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 14 av 7