MMCDXCIII. c) Skriv som romertall: 1) Ditt fødselsår 2) 1993 3) År 2000. 1.2 Posisjonssystemer Vi ser her nærmere på begrepet plassverdi og ulike posisjonssystemer. Utgangspunktet er at en vil beskrive et stort antall objekter på en oversiktlig og ordnet måte. Vi starter da med å samle objektene i basisgrupper av en bestemt størrelse, f.eks. ti i hver gruppe som i vår kultur. Det blir da en mengde til overs med færre enn ti objekter (her tar vi også med det tilfellet der vi ikke får noe til overs). I ti-tallsystemet lar vi alle antall mindre enn ti få sine egne talltegn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Antallet objekter i mengden som ble til overs er da første siffer (lest fra høyre i vår kultur) i tallet vi søker 1-erne. For å bestemme andre siffer gjentas denne prosessen, der en nå betrakter tiergruppene som objekter, som samles sammen ti og ti. Antallet objekter som blir til overs (dvs. opprinnelige tiergrupper) utgjør da det andre sifferet 10-erne, osv. Eksempel 1 De fleste har vært med å telle opp penger etter en basar, innsamling eller lignende. Sitter vi med en masse kronestykker foran oss samler vi dem i tierstabler, disse stablene samler vi igjen ti og ti, se illustrasjonen. De kronestykkene som ikke ga en hel tierstabel blir første siffer (igjen lest bakfra) i kronebeløpet, de stablene som ble til overs KAPITTEL 1 17
når vi lagde en 10 10 gruppe gir nest siste siffer o.s.v. Her får vi 6 enere og 3 tiere, altså 36. Eksempel 2/øvelse Figuren nedenfor kan forestille en mengde blomster på et jorde, eller noe annet. Finn sifrene i antall blomster, og skriv antallet, ved å gå fram som beskrevet ovenfor. (Du kan ringe inn tiergrupper med blyant). Finn først antall enere, så tiere osv. Noter sifrene i tabellen under. De ulike kolonnene vil angi hvor mange 1-ere, 10-ere, 100-ere o.s.v. vi har. 10 3 10 2 10 1 1000 100 10 1 Vi forstår at prosessen ovenfor lar seg gjennomføre for alle endelige antall, og den gir et entydig svar. Vi sier at ethvert tall har sin entydige representasjon i f.eks. ti-tallsystemet. Nå er det selvsagt ikke noe i veien for å gruppere objektene i en gitt mengde på andre måter enn med akkurat ti i hver gruppe. Vi kan i prinsippet velge å gruppere etter en hvilken som helst størrelse på basisgruppene. I det følgende ser vi på noen eksempler. Å arbeide med tall i andre basiser enn ti er nyttig ved at det tvinger oss som pedagoger til å tenke mer grundig igjennom hva et posisjonssystem egentlig er. 18 TALLÆRE
Eksempel 3/øvelse Vi skal finne antallet a i «blomstermengden» nedenfor i tre-tallsystemet. Start med å samle objektene i ringer med tre i hver. Hvor mange blir til overs? Sett tallet inn i tabellen under. Fortsett med å samle treermengdene tre og tre. Hvor mange får du til overs? Fortsett! Vi kan sette sifrene inn i denne tabellen: 3 3 3 2 3 1 27 9 3 1 Her vil kolonnene vise hvor mange 1-ere, 3-ere, 9-ere, 27-ere osv vi har. Når vi velger 3 som basis vil vi trenge en ny posisjon når vi har fått 3 av den forrige, posisjonene blir 3-er potenser. Ovenfor fant vi at a = 1 tjuesjuer + 1 nier + 0 treere + 2 enere eller a = 1 3 3 + 1 3 2 + 0 3 + 2 Dette skriver vi forenklet 1102 tre, tre med små bokstaver forteller at tallet er gitt i tre-tallsystemet. Hvor mange og hvilke sifre benyttes i tre-tallsystemet? oooooo I ti-tallsystemet har vi 10 siffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i tretallsystemet har vi 3 siffer: 0, 1, 2 og generelt i b-tallsystemet har vi b siffer: 0, 1, 2,..., (b 1). De ulike posisjonene i et b-tallsystem har verdiene 1, b, b 2, b 3,... som kan stilles opp som i tabellen: b 3 b 2 b 1 1 KAPITTEL 1 19
Vi har nå sett hvordan ethvert antall a i prinsippet kan skrives entydig i et posisjonssystem med vilkårlig basisstørrelse. To nærliggende problemer er nå: 1. Hvordan regner vi om fra et annet tallsystem til vårt ti-tallsystem? 2. Hvordan regner vi om fra ti-tallsystemet til et system med et annet basistall? Første spørsmål besvares enkelt og rett fram; det ser vi i eksempel 3. Eksempel 4 a) Vi regner 23054 seks om til ti-tallsystemet: 23054 seks = 2 6 4 + 3 6 3 + 0 6 2 + 5 6 + 4 = 3274 ti b) Generelt skal vi finne en fremgangsmåte for å regne ett tall fra b- tallsystemet til ti-tallsystemet. 376 b = 3 b 2 + 7 b + 6 (b må her være større enn 7). Lab = 9. 376 ni = 3 9 2 + 7 9 + 6 = 3 81 + 63 + 6 = 312 ti. Oppgave Ta utgangspunkt i eksempel 3 der a = 1102 tre, regn om til titallsystemet og kontroller svaret ved å telle «blomstene» (i ti-tallsystemet). Så til det andre spørsmålet: oooooo Eksempel 5 Hvordan kan vi skrive 38 ti i tre-tallsystemet? I stedet for å tegne 38 «blomster» osv. kan vi samle i treergrupper i tankene. Vi spør: Trinn 1: Hvor mange 3-ere er det plass til i 38, og hvor mange blir til overs? 12 3-ere og 2 til overs, det betyr at vi får 2 på 1- erplassen. Trinn 2: Videre grupperer vi de 12 3-erne i nye 3-ere og får 4 9- ere og ingen til overs, dvs at vi får 0 på 3-erplassen. Trinn 3: Vi grupperer de 4 9-erne 3 og 3 og får 1 27-er og 1 til overs, altså 1 på 9-erplassen. Trinn 4: Nå har vi ikke nok 27-ere til å gruppere dem 3 og 3, vi står da igjen med 1 på 27-erplassen. Dette kan vi skrive slik: 20 TALLÆRE
Vi deler på 3 hver gang og er interessert i «resten» den første resten gir 1-erne, den andre 3-erne osv. Legg merke til at de fire trinnene ovenfor kan sees på som fire divisjonsstykker der vi hver gang deler på 3. Først gir 38:3 at det går en 12-gang med 2 i rest, dernest går 12:3 opp med en 4-gang og 0 i rest, så går 4:3 en 1-gang med 1 i rest, og til slutt gir divisjonen 1:3 en 0-gang med 1 i rest. Ved slik divisjon med rest er alltid «den gangen det går» (kvotienten) og «den resten det blir» entydig bestemt. (Dette virker nokså opplagt. Det betyr at hvis du og jeg, eller andre dividerer f. eks. 124 på 7, så finner vi alle at det går en 17-gang og at resten blir 5.) Dette kalles gjerne divisjonslemmaet. Denne entydigheten av kvotient og rest ved divisjon sikrer at ethvert antall får en entydig sifferskrivemåte i ethvert tallsystem. Vi har også en alternativ metode for å regne om fra ti-tallsystemet til et system med et annet basistall: Vi starter med å sette opp en liste over 3-erpotenser: 1, 3, 9, 27, 81... Når jeg skal skrive 38 i 3- tallsystemet ser jeg at den høyeste 3-er potensen jeg trenger er 3 3, altså 27. Jeg spør hvor mange ganger har jeg plass til 27 i 38? 1 gang: altså 1 på 27-erplassen, da har jeg 11 igjen. Hvor mange ganger har jeg plass til 9 i 11? 1 gang: altså 1 på 9-er plassen, jeg har 2 igjen. Hvor mange ganger er det plass til 3 i 2? ingen: altså 0 på 3-erplassen, jeg har fremdeles 2 igjen. Hvor mange ganger er det plass til 1 i 2? 2 ganger: altså 2 på 1-erplassen. Dette kan også skrives som en restdivisjon: 38 = 1 27 + 11 11 = 1 9 + 2 2 = 0 3 + 2 2 = 2 1 + 0 Her er det kvotientene vi er interessert i: 1102 tre. KAPITTEL 1 21
Eksempel 6, basistallet er større enn 10 Skriv 23948 ti om til tretten-tallsystemet. Vi får: Vi bruker parenteser for å markere at 10 og 11 nå er egne sifre. I et virkelig tretten-tallsystem ville en funnet opp egne symboler for tallene ti, elleve og tolv, f. eks., og. Vårt tall blir da 92. Oppgave Kontroller resultatet i eksempel 6 ved å regne tallet om igjen til titallsystemet slik som i eksempel 4. Det babylonske posisjonssystemet Det eldste kjente posisjonssystem er det babylonske. Mens papyrusgresset ga skrivemateriale til egypterne, skrev (eller rettere sagt trykte) babylonerne på leirtavler med en trekantet pinne eller kile. Kilen satte et trekantformet merke for hvert trykk. Formen og stillingen kunne varieres. Skriften kalles kileskrift. Nedenfor er vist bildet av en gammelbabylonsk leirtavle fra ca år 1600 1800 f. Kr. Tavlen inneholder to kolonner med tall skrevet i 14 linjer (linjenumrene er påført av oss). Du kan jo nå tenke deg at du er arkeologen som fant tavla, og stiller spørsmålene: 22 TALLÆRE
a) Hvilke tall mener du står i kolonne 1? b) Hvordan skulle etter dette de babylonske tallsymbolene bli for tallene 18, 25 og 47? c) Finn de 6 første tallene i kolonne 2. d) I linje 7, kolonne 2, finner du symbolet. Hvilket tall mener du dette er? Hva forteller dette symbolet og de følgende tallsymbolene i kolonne 2 oss om tallsystemet til babylonerne? e) Omskriv resten av tallene i kolonne 2 til titallsystemet. f) Ved siden av ser du baksiden av den samme leirtavla. Hvilke tall mener du står i de siste 4 linjene? Er det rimelig å tro at babylonerne hadde noe eget symbol for null? Begrunn svaret ut fra symbolbruken på denne leirtavla. Leirtavla over viser hvordan tallsymbolene ble trykket i våt leire med en spesiell pinne, som kunne holdes på to måter. Hvis du ikke har funnet ut av det viser tavla over en oversikt over 9-gangen. La oss nå forenkle disse symbolene slik: 1 og 10 Oppgave 1.8 a) Hvor mange forskjellige tallsifre er det i et sekstitalls posisjonssystem? (Babylonerne hadde lenge ikke noe symbol for null). b) Omskriv til babylonsk: 7, 28, 50, 59. c) Vi kan si at skrivemåten for sifrene fra 1 til 59 følger prinsippet for et additivt tallsystem. Hva mener vi med det? Vi har da f. eks. at 152 = Flere aktiviteter med det babylonske tallsystemet er inntatt blant oppgavene. Vi kan nærme oss to-tallsystemet gjennom følgende Undersøkelse Du har en skålvekt og en loddsats som inneholder ett 1-gramslodd, ett 2-gramslodd og ett 4-gramslodd. Hvilke forskjellige vekter kan legemene du kan veie med disse loddene ha? Vi sier at loddsatsen er god dersom den kan veie flest mulig legemer ved hjelp av minst mulig antall lodd. KAPITTEL 1 23
Hvilket lodd bør vi da utvide vår loddsats med? Og hva bør det neste loddet bli? Loddene i loddsatsen svarer til 2-erpotensene: 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, osv. Undersøkelsen ovenfor kan oppsummeres ved å si at ethvert naturlig tall kan skrives (entydig) som en sum av forskjellige 2-erpotenser. Oppgave 1.9 Skriv følgende tall som summer av forskjellige 2-erpotenser: 19, 25, 33, 53, 64, 100. oooooo Her ser du en praktisk framgangsmåte for å finne et talls 2-erpotenser. Tallet i eksemplet er 53. 1 2 4 8 16 32 53 Start med 1, og fordoble gjentatte ganger. Stopp før du passerer 53. Sett merke ved de tallene som gir sum 53. En får: 53 = 32 + 16 + 4 + 1 = 2 5 + 2 4 + 2 2 + 1 Legg merke til at vi dermed også har funnet skrivemåten for 53 i to-tallsystemet: 53 ti = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 = 110101 to Vi kunne selvsagt også oppnådd dette resultatet ved hjelp av teknikken med restdivisjon: Det finnes en generell multiplikasjonsalgoritme av gammelegyptisk type som kun benytter fordoblinger og addisjon. Algoritmen bygger 24 TALLÆRE
på det ovenstående. Vi ser på eksemplet 53 72, som kan stilles opp slik: 2 144 8 576 53 3816 Venstre kolonne dannes først, for å finne 2-erpotensene som inngår i 53. Så fordobles 72 gjentagne ganger til streken blir nådd. Deretter strykes de tallene i høyre kolonne som korresponderer med de 2-erpotenser som ikke inngår i 53. Summen av kolonnens øvrige tall gir svaret. Prøv algoritmen selv på f. eks. 29 85! Utfordring At algoritmen er korrekt kan vi se slik (i tilknytning til vårt eksempel over): 53 72 = (32 + 16 + 4 + 1) 72 =32 72 + 16 72 + 4 72 + 72 = 2 5 72 + 2 4 72 + 2 2 72 + 72 der de fire siste addendene gjenfinnes i kolonnen til høyre i algoritmen over. Det er altså tilstrekkelig å kunne 2-gangen for å utføre et hvilket som helst gangestykke. Det finns en beslektet algoritme kalt russisk bondemultiplikasjon, der også halveringer benyttes. Egypterne kunne også dividere etter et lignende skjema som det ovenfor. Dette finner du i oppgavene. Vi nevner at halvering og fordobling lenge ble sett på som egne regneoperasjoner, også hos oss. Dette går fram av «Hauks bok» av Hauk Erlendson, lagmann på Island og i Norge fra 1294 til 1322. I «Hauks bok» nevnes 7 slags regning: tvefaldan (fordobling), helmingaskifti (halvering), viðrlagning (addisjon), afdráttr (subtraksjon), margfaldan (multiplikasjon), setta skifting (divisjon) og taka rot undan (rotutdragning). Regning med tall i andre baser En av posisjonssystemets store fordeler er at en kan etablere greie algoritmer for regning med flersifrede tall. Gjennom mange års KAPITTEL 1 25
skolegang er vi vel vant med det, i titallsystemet. Det går så automatisk at vi ikke tenker over framgangsmåten i noen særlig grad, og vi har glemt at det i sin tid var en møysommelig prosess å lære. Å regne med tall i andre baser har en pedagogisk verdi i lærerutdanningen, for det tvinger oss til ettertanke og oppmerksomhet. Vi har derfor tatt med en del oppgaver om dette. Elevarbeid fra 1. klasse ved Grålum skole, 1987. Lærer: Jorun Wiklund Det vises til dette arbeidet i oppgave 1.22. 26 TALLÆRE