Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Eksamensoppgave i LVUT8091 Matematikk 1 (1-7) emne 1 KFK Faglig kontakt under eksamen: Siri-Malén Høynes Tlf.: 73412621 Eksamensdato: 30. november 2016 2. desember 2016 Eksamenstid (fra-til): 30.11.2016 kl. 09:00 2.12.2016 kl. 15:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler tillatt Annen informasjon: Målform/språk: Bokmål Antall sider (uten forside): 5 Antall sider vedlegg: 0 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
Oppgave 1 Den følgende dialogen utspiller seg mellom Øistein, lærer, og Håkon som akkurat har fylt 8 år. a) Drøft lærerens valg. Hva kan være hensikten med samtalen mer overordnet, og med de enkelte oppgavene og spørsmålene læreren stiller underveis? Drøftinga skal forankres i relevant teori. b) Analyser elevens forståelse. Ta utgangspunkt i 3-4 elevsvar som du synes er særlig interessante. Begrunn hvorfor de svarene du valgte er egnet til å si noe om elevens forståelse. c) I siste del av dialogen (fra linje 39 og ut) prøver læreren å få eleven med på en argumentasjon for at en regnestrategi i addisjon alltid er gyldig. Drøft hvorvidt argumentasjonen som fremkommer er gyldig som et representasjonsbevis. d) Skriv 1-2 sider der du reflekterer over hvordan en bør arbeide med tidlig algebra i de første skoleårene. Du velger selv om du ønsker å ta utgangspunkt i denne dialogen, eller om du vil skrive uavhengig av denne. Svaret må forankres i relevant teori og eksemplifiseres med konkrete oppgaver eller aktiviteter som det er aktuelt å bruke i arbeidet. 1. Ø: Ok, det første regnestykket som jeg vil at du skal se på er åtte pluss fem er lik, og så lager vi en sånn hemmelig boks her, pluss fire. (skriver 8 + 5 = + 4) Hva tenker du skal stå inni boksen, for at det der skal bli likt? 2. H: Hæ? Pluss fire? (tenker 7 sekunder). Det der bli i hvert fall tretten. (peker på venstre side av likhetstegnet) 3. Ø: Mm. Hva tenker du må stå inni boksen der da? 4. H: Tretten? 5. Ø: Tretten. 6. H: Ja. (Ø skriver 13 i boksen) 7. Ø: Er det likt her nå på begge sidene? 8. H: (tenker 5 sekunder). Å ja, det. Ok Da skjønner jeg. Visk ut. 9. Ø: Du vil ikke ha tretten inni boksen? 10. H: Nei. Skal vi se (tenker i 33 sekunder, mumler en del tall for seg selv). Det skal stå ni i boksen. 11. Ø: Ok. Hvorfor vil du ha ni i boksen? 12. H: Fordi fire og ni blir det samme som åtte og fem. 13. Ø: Hvordan vet du det? 14. H: Litt sånn vanskelig å forklare. 15. Ø: Prøv så godt du kan Tenkt du Regna du ut hva åtte pluss fem ble for noe? 16. H: Mm. Det ble tretten. Og så tok jeg minus fire. 17. Ø: Og da fant du ut at tretten minus fire ble ni? 18. H: Ja. 19. Ø: Ok, la oss se på et nytt stykke. Nitten pluss elleve er det samme som ti pluss hva for noe? (skriver 19 + 11 = 10 + ) 20. H: Hm Å! (tenker 10 sekunder) Tjue. 21. Ø: Ok, du vil ha tjue inni den boksen. Hvorfor det? 22. H: Mmm. Fordi det (peker på høyreside av likhetstegnet) er det samme som 19 + 11. 23. Ø: Ok. Fordi at 19 + 11 er? 24. H: Tretti. 25. Ø: Ok. Er det noen annen måte man kunne funnet ut at det ble tjue på? 26. H: Mmm. Man kunne ha lagt over den eneren dit (peker fra 11 til 19), og så hadde det blitt tjue der og ti der.
27. Ø: Ok, så hvis at du tar en ener fra elleve (H: Mm), og gir det til nitten (H: Ja!) Ok. Nå skal jeg ta en vanskelig en, ok? 28. H: Ok. 29. Ø: Sekstiåtte pluss syttifem er det samme som sytti pluss syttitre. (skriver 68 + 75 = 70 + 73) Er det sant, eller er det ikke sant. 30. H: Mmmmm. (tenker noen sekunder) Bare få blyanten litt (begynner å tegne sirkler med tallet 10 inni under tallet 68). 31. Ø: Hva tenker du nå? 32. H: Jeg skal ta opp til der i enere og tiere og sånn. 33. Ø: Så du tegner det? Tegner du det som penger? 34. H: Ja (er ferdig med å tegne til 68 seks 10-ere, en femmer og tre enere). Og så syttifem Ååå. 35. Ø: Men du, hvis du ser på det du tenkt på den oppgaven foran Husker du hva du tenkte på den, når jeg spurte om du kunne gjøre det på en annen måte? 36. H: Ja, skal vi se. Syttitre. Da tar vi over fra den (peker på syttitre), så tar vi over tre til sytti. Og da blir det her bare sytti. Skal vi se. Og det blir syttitre. Og så legger vi over to. (utbryter) Ja, det blir det samme! 37. Ø: Hvorfor er det det samme da? 38. H: For det blir syttifem der (peker på der 70 opprinnelig står) og sekstiåtte der (peker på der 73 opprinnelig står). Og det blir det samme. 39. Ø: Men du, når du holder på med sånne plusstykker (H: Ja) Kan du alltid ta og flytt fra det ene tallet til det andre? 40. H: Nei Ja, det kan man. 41. Ø: Hvorfor kan man alltid gjøre det da? 42. H: Det vet ikke jeg. 43. Ø: Hvis at jeg for eksempel skal regne ut 2998 + 1756 (skriver det opp). Kan jeg flytte over to derfra til dit? 44. H: Nei, ikke til dit. Jo, jo, det kan du. (tenker et par sekunder). For da kan du bare ta litt fra det bakerste tallet og litt til det der. 45. Ø: Ja, fordi hvis jeg flytter over to derfra til dit hvor mye får jeg der da? 46. H: Da får du to tusen, ni hundre. (tenker tre sekunder). Nei, tre tusen faktisk (engasjert). 47. Ø: Ok, tre tusen. Og hvor mye står det igjen her da? 48. H: Hmm. Da står det igjen ett tusen sju hundre og femti fire. 49. Ø: Mhm. Og det der er jo ganske lett å legge sammen? 50. H: Ja, det blir fire tusen sju hundre og femti fire. 51. Ø: Mhm. Men vet vi at det er lov det vi har gjort nå, med å flytte over fra det ene tallet til det andre tallet? 52. H: Mmm. 53. Ø: Hvordan kan vi vite at det er lov? 54. H: Nei, fordi at det blir jo fortsatt det samme, bare at det blir forskjellig plusstykker. 55. Ø: Hva som blir fortsatt det samme da? 56. H: Næææ (mumler) 57. Ø: Kan vi ta og tenke på en historie som gjør at det her blir at vi kan forstå at det blir fortsatt det samme? 58. H: Mmm. Nei, det tror jeg ikke. Hoff. 59. Ø: Hvis at jeg har 2998 kroner og du har 1756 kroner da? Og hva blir 2998 kroner pluss 1756 kroner da? 60. H: Tre tusen. Nei, fire tusen sju hundre og femti fire sikkert.
61. Ø: Ja, men hvis vi tenker Jeg har Øistein har det der, og Håkon har det der. Hva betyr 2998 pluss 1756 da? 62. H: Det betyr at vi skal dele på pengene. 63. Ø: Ja, det tenker du ja! (H ler.) Men det er jo ikke deling det her hva er det vi gjør? 64. H: Vi plusser. 65. Ø: For å finne ut? 66. H: Hvor mye vi har til sammen. 67. Ø: Hvor mye vi har til sammen. Hva betyr det her her da når vi gjør om til 3000 + 1754? 68. H: Nei, da gjør vi det enklere for oss selv. Jeg har gitt litt til deg. To kroner. 69. Ø: Vet vi at det blir det samme til sammen da? 70. H: Det blir alltid tre tusen til sammen Neinei, pengene våre blir alltid 4754 til sammen, med mindre vi får flere. 71. Ø: Så selv om du har gitt meg to kroner (H: Ja), så vet vi at vi har det samme til sammen? 72. H: Ja. 73. Ø: Så har vi alltid lov til å flytte sånn når vi regner plusstykker da? 74. H: Ja.
Oppgave 2 Den følgende dialogen utspiller seg mellom Thomas, som er lærer, og Anne som er elev i 3.klasse. a) Drøft elevens geometriske forståelse med utgangspunkt i de utsagnene Anne kommer med i dialogen med særlig fokus på begrepet firkant. Drøftingen må forankres i relevant teori om barns utvikling av geometrisk begrepsforståelse. b) Hva ville du som lærer ha vektlagt i den videre utvikling av Annes geometriske begrepsforståelse? Skriv en skisse til hvordan du ville arbeidet videre med henne, der du både foreslår konkrete aktiviteter og begrunner valgene teoretisk og i lys av din drøfting i a). Sekvensen starter med at Thomas gir Anne i oppgave å sortere en mengde figurer og hun blir oppfordret til å sortere dem akkurat som hun vil og lage hauger med de hun synes passer sammen. Anne jobber stille og målrettet i nesten sju minutter, noe hvisking og mumling for seg selv underveis. Fra observasjonene blir det tidlig klart at Anne teller sidekantene som grunnlag for sorteringa, men tre- og firkantene gjenkjennes raskt, uten behov for å telle en og en sidekant. Lager en haug for sirkler, ellipser og liknende figurer, en haug for tokanter dvs månesigder og lignende, en haug for trekanter, en for firkanter, en for femkanter, en for sekskanter og en enslig åttekant forblir alene. Etter at Anne har sortert ferdig diskuterer Thomas og Anne hvordan hun har sortert, før de går over til å diskutere haugen med firkanter. Bildet viser alle figurene Anne hadde plassert i denne haugen, de fem nummererte firkantene dukker opp i samtalen som følger nedenfor. 1. T: Den her firkanten her (legger frem figur 1) vet du noe mer om den? 2. A: Neeei, egentlig ikke. Det ser ut som en helt vanlig firkant, men det er ikke det. 3. T: Hvorfor er det ikke det? 4. A: Nei, fordi den og den sida er ikke like lang.
5. T: Javel, så det er det som skal til for at Er det der en vanlig firkant da? (legger frem figur 2) 6. A: Mmm. 7. T: Ok. Hva heter det som du kaller for en vanlig firkant da? 8. A: Kvadrat. 9. T: Og hva er det som skal til for at noe skal være et kvadrat? 10. A: At alle sidene er like lange. 11. T: Mmm Den der (finner frem figur 3) kanskje alle sidene er like lange i den? 12. A: Ja 13. T: Er det et kvadrat det også? 14. A: Nei 15. T: Hva er det som gjør at det er et kv.. 16. A (avbryter): For den har skråe linja. 17. T: Så for at det skal være et kvadrat går det an å si noe mer enn at alle sidene må være like lang? 18. A: Ja, den kan ikke være skrå. 19. T: Nei. Vet du hva det kalles hvor stort hjørnet er, på en måte? 20. A: Nei. 21. T: Nei, ok. Det kalles for en vinkel. 22. A: Ja, det vet jeg. Vinkel ja. 23. T: Og i et sånt kvadrat her 24. A: Den har en spissere vinkel. Vinkelen må være rett sånn her. 25. T: For at det skal være et kvadrat? 26. A: Ja. 27. T: Så hvis du skal si helt nøyaktig hva et kvadrat er da? Hva skal vi si da? 28. A: Vinklene må være like lang, sidene må være like lang pluss at de her må være like lang. Og så kan ikke linjene være skrå. 29. T: Enn det her da? Hva heter den her firkanten som vi så på i sted? (Tar frem figur 1 igjen) Som ikke var helt en vanlig firkant, sa du. 30. A (tenker noen sekunder): Var det rektangel? 31. T: Ja, kanskje det. Hva er det som gjør at det der er et rektangel da? 32. A: At den sida er litt kortere enn den sida. 33. T: Men sånn som på den her, der er jo også den sida kortere enn den sida (tar frem figur 4). Er det også et rektangel da? 34. A: Den er skrå. 35. T: Så da er det ikke et rektangel? Så det er litt det samme som for kvadrat at det må være 36. A (avbryter): Rettvinkla 37. T: Er det noen flere av disse firkantene som du har lyst til å snakke om da? 38. A: Den er litt rar (tar frem figur 5) 39. T: Hvis du skal si noe om hvordan den er hva tenker du da? 40. A: Den ser ut som ei pil. 41. T: Hva er det som gjør at den ser ut som en pil? Er det noen sider som er lik i den? 42. A: Den går innover, og den går ut. 43. T: Hvilke sider er like lang i den da? 44. A: De to, og de to. 45. T: Vet du hva den der figuren heter da? 46. A: Nei. 47. T: Den heter for en drake.