Institutt fo enegi- og posessteknikk Eksamensoppgave i TEP45 FLUIDMEKANIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ive Bevik Tlf.: 7359 3555 Eksamensdato: 7. august 23 Eksamenstid : 9. 3. Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidle: C: Typegodkjent kalkulato Matematisk fomelsamling Annen infomasjon: Sensuen falle i uke 35 Målfom/spåk: Bokmål Sidetall: 6 Sidetall vedlegg: 4 Kontollet av: Dato Sign Mek! Studentene finne sensu i Studentweb. Ha du spøsmål om sensuen må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoet vil ikke kunne svae på slike spøsmål.
Oppgave Side 2 av 6 a b Figu : a Lastelinjemeke, pinsippskisse og bilde fa et skip, b pofil fo midtseksjonen av skipsskoget i oppgave I Figu a e det vist et såkalt lastelinjemeke. Fomålet med lastelinjemeket e å sette en gense fo hvo mye man kan laste på et skip ved å sammenligne vannivået på skoget med linjene i lastelinjemeket. Ligge skipet lavee i vannet enn lastelinjen, ha man ikke sto nok sikkehetsmagin til å tåle høye bølge, og man må laste av skipet fo at det skal ligge høyee i vannet. Siden tettheten til vann, og demed oppdiftskaften på et skip, vaiee med tempeatu og saltholdighet, e flee slike linje tegnet inn ettesom hvilke fohold skipet skal seile i. Foholdene e beskevet av fokotelse på hve linje: TF stå fo Topical Feshwate, F stå fo Feshwate, T stå fo Topical saltwate, S stå fo Summe saltwate, W stå fo Winte saltwate og WNA stå fo Winte Noth Atlantic. Symbolene LR og NV i Figu a vise til hvem som ha gått god fo at lastelinjemeket e iktig; NV e en fokotelse fo Noske Veitas Et lasteskip som ligge til havn ved utløpet av en elv anta feskvann med tetthet ρ= kg/m 3 skal fakte containee og lastes opp slik at vannivået nå opp til lastelinjen fo feskvann. Nå dette e gjot, e skipets totale vekt skip pluss alt om bod 37 96 kn m skip *g=6 kg * 9,8 m/s 2 a Finn ut hvo stot vannvolum, V, skipet fotenge nå det e fullastet opp til lastelinjemeket fo feskvann. Volumet av vann som skipet fotenge som funksjon av høyden som vannet ha ove skipets bunn, z, kan tilnæmes ved funksjonen V K z.
Side 3 av 7 K e en positiv konstant. Nå skipet ligge til kai, e vannivået ove bunnen av skipet, z, mete. Så legge skipet ut fa kai og ut i saltvann. Nå skipet ligge i o i saltvannet, e vannnivået ove skipets bunn sunket til,75 m det vil si at båten ligge 25 cm høyee i fohold til vannet. b Finn tettheten til saltvannet som skipet ligge i. Det e stoe kefte som vike på sidene på skipet fa vannet, og disse pøve å få skipssidene til å kollapse innove. Defo e det fo hve tiende mete av skipets lengde bygd inn solide stag tvegående bjelke som gå fa den ene skipssiden ove til den ande, og som skal klae å motstå disse keftene; se Figu b. Anta at stagene e plasset slik at vikelinjen til tykkaften gå gjennom, og e paallell med, stagenes sentelinje. I tillegg kan man anta at all kaft må tas opp av staget, dvs. at skogveggen ikke ta opp hoisontale kefte. Luften på innsiden av skipsskoget ha atmosfæetykk. Ha du ikke funnet et sva i oppgave b, kan du anta tettheten til saltvann lik ρ saltvann = 25 kg/m 3. c Bestem hvo sto hoisontal kaft fa høye et slikt stag i den ti mete lange midtseksjonen må klae å holde mot tåle fø det bli bøyd og knekke fo å unngå at skipssidene kollapse av vanntykket nå det ligge i saltvannet. Siden man se på midtseksjonen av skipet kan man anta pofilet som skisset i Figu b konstant i lengdeetningen fo denne seksjonen. d Bestem hvo høyt ove bunnen av skipet staget fo midtseksjonen må væe plasset fo at antagelsen om at vikelinjen til den vetikale kaften gå gjennom og e paallell med sentelinjen til staget skal stemme. Oppgitt: Fo et ektangel med bedde b og høyde h e aealets teghetsmoment omking hoisontal y-akse inn i planet gjennom centoiden lik I yy = bh3 2.
Side 4 av 7 Oppgave 2 Kontollvolumsoppgave δx U δ y ux,y ul,y x En unifom stømning falle inn mot ei tynn, flat plate som holdes i o, og det dannes et laminæt gensesjikt symmetisk ove og unde plata se figu. I omådet ove plata e hastighetskomponenten i x-etning gitt som ux, y = { L Uη 3 2 η2 y < δx U y δx de U e den konstante innfallende hastigheten, η = y/δx, og δx e gensesjikttykkelsen. Gensesjiktet øke med avstanden x fa kanten av plata som δx = δ x/l de L e lengden til plata. Plata ha sto bedde b inn i planet slik at stømningen e tilnæmet todimensjonal, og vi se bot fa tyngdekefte. a Hastighetskomponenten nomalt på plata kan skives v = Uδx x Aη 2 + Bη 4 fo y < δx v utenfo gensesjiktet betaktes ikke. Bestem konstantene A og B nå stømningen e inkompessibel. b Det opplyses at den stømlinje som fo x = L ligge i høyde δ ove plata, vil i posisjonen x = hvo stømningen e unifom ligge i høyden w = 5 8 δ ove plata. Betakt et kontollvolum som e begenset av den nevnte stømlinje, av de vetikale linjene ved x = og x = L, samt platen selv. Finn kafta fa stømningen på plata begge side nå fluidets tetthet e ρ. Du kan anta at tykket e unifomt i hele stømningen.
Side 5 av 7 Oppgave 3 I et vetikalt ø med adius b beveges en fast sylinde med adius a nedove med konstant hastighet W. Røet og sylindeen ha samme z-akse som ha samme etning som tyngdens akseleasjon g. Mellom sylindeen og øveggen befinne det seg et Newtonsk fluid med konstant tetthet ρ og konstant dynamisk viskositet µ. Røet og sylindeen e så lange at endeeffekte kan neglisjees, og stømningen av fluidet kan anses som aksesymmetisk. Stømningen e stasjonæ, og dens aksielle hastighetskomponent v z ende seg ikke i z-etning. Følgende opplysninge gis i sylindekoodinate: Kontinuitetsligningen e + θ θ + z z =, og komponentene av Navie-Stokes ligningen e ρ t = p + ρg + µ + v [ + v θ v2 θ θ + v z z v + 2 v 2 θ 2 2 θ 2 2 θ ] + 2 v, z 2 = ρ θ t p θ + ρg θ + µ + v θ [ ρ z t = p z + ρg z + µ + v θ θ θ θ + v z [ + vv θ + v θ z z v θ + 2 v θ + 2 2 2 θ 2 2 θ + v θ z θ z + v z z z + 2 v z 2 θ 2 ] + 2 v θ, 2 z 2 + 2 v z z 2 ]. 3
Side 6 av 7 z a b g W ρ µ Figu 3 a Buk kontinuitetsligningen til å vise at den adielle hastighetskomponenten v fo stømningen mellom sylindeen og øveggen e null. b Vis at tykket fo stømningen mellom sylindeen og øveggen e konstant i hvet tvesnitt, dvs. p = pz. c Anta at tykket fo stømningen mellom sylindeen og øveggen e hydostatisk, dvs. p z = dp dz = ρg. Bestem den aksielle hastighetskomponenten v z. d Bestem volumstømmen Q fo stømningen mellom sylindeen og øveggen. Oppgitt: x ln x dx = x2 2 ln x 2.
Side 7 av 7 Oppgave 4, halv vekt Et satellittbilde viste at monokomatiske bølge med bølgelengde L = 7 m på dypt vann ble eduset til bølgelengde L = 85 m ette at bølgene hadde foplantet seg inn på et gunnee omåde. Kall vanndybden av sistnevnte omåde d. Anta stasjonæe fohold. a Hvo sto e bølgenes peiode T? Hvofo e T den samme ette at bølgene e kommet inn på gunnee vann? b Finn vedien av d benytt eventuelt gafisk metode fo å bestemme d tilnæmet. Oppgitt: ω 2 = gk tanh kd.