Motstand, kondensator og spole

Oppgave 3 Lab i TFY4108 Motstand, kondensator og spole Institutt for fysikk, NTNU

Side 2 av 15 1. Innledning Motstander, kondensatorer og spoler er de grunnleggende elementene i elektriske kretser. Med disse elementene kan vi lage kretser med forskjellig funksjoner. I denne oppgaven skal vi gjøre oss kjent med hvordan motstander, kondensatorer og spoler oppfører seg i elektriske likestrøms- og vekselstrømskretser. I en elektrisk krets vil det være spenningsfall over motstander, kondensatorer og spoler. Hvis vi i tillegg benytter vekselstrøm, vil vi også finne at strøm og spenning over en kondensator og/eller en spole ikke har maksimum samtidig. i sier at disse komponentene endrer fasen til det påtrykte signalet og denne egenskapen blir svært viktig i vekselstrømskretser. I likestrømskretsen er størrelsen på en motstand angitt ved dens resistans, med enhet ohm,. Tilsvarende angir kapasitansen C, med enhet farad, F, til en kondensator hvor mye ladning (og dermed energi) som kan lagres i kondensatoren. Spolens induktans, med enhet henry, H, angir hvor stor spenning som settes opp over spolen når strømmen gjennom spolen endrer seg. Relasjonene mellom resistans, kapasitans, induktans og tilhørende spenning over de tilsvarende komponenter er gitt i Tabell 1. Lab.-oppgaven krever ikke at du forstår hvordan man kommer frem til disse relasjonene. Dette læres det om senere i kurset. Tabell 1. KOMPONENT MOTSTAND KONDENSATOR SPOLE Egenskap Resistans R Kapasitans C Induktans L Enhet ohm F (farad) H (henry) Relasjon strøm spenning = RI C 1 t Idt C = L (di/dt) 0 ekselstrømsresistans R X C = 1/( C) (kapasitiv reaktans) X L = L (induktiv reaktans) Symbol

Side 3 av 15 I en vekselstrømskrets oppfører elementene seg annerledes enn i en likestrømskrets. Som vi ser av tabellen definerer vi noe vi kan kalle komponentenes "vekselstrømsresistans". For spoler og kondensatorer kaller vi disse reaktanser; for en kondensator kapasitiv reaktans, X C og for en spole induktiv reaktans, X L. Begge disse har enhet. Figur 1 Figur 1 viser hvordan vekselstrømresistans for henholdsvis motstand, kondensator og spole varierer med frekvensen f til den påtrykte spenningen i en vekselstrømskrets. Legg merke til at resistansen til en motstand er den samme for alle frekvenser. Relasjonen mellom frekvens f og vinkelfrekvens er f. Legg også merke til at for likestrøm, dvs. f = 0 er X C uendelig stor og X L er lik null, mens når f blir meget stor, vil X C bli null og X L bli uendelig stor. 2. Likestrømskretser 2.1. (Bestemmelse av) Resistans for motstander Ohms lov, = RI, gir sammenhengen mellom spenningsfallet over og strømmen gjennom en motstand. For å bestemme resistansen R til motstanden kan disse to størrelsene måles ved bruk av voltmeter og amperemeter. Slike instrument vil alltid innvirke på forholdene i kretsen på grunn av at de har en indre resistans. Spesielt når vi skal måle resistanser som har samme størrelsesorden som instrumentets resistans, kan vi få store feil. I denne oppgaven skal vi bruke enkle voltmeter og amperemeter for å belyse hvordan et måleinstrument kan påvirke måleresultatet. 2.2. (Bestemmelse av) Kapasitans for en kondensator a) b) Figur 2 En kondensator med kapasitans C lades opp med en likestrømskilde til en spenning 0. Spenningskilden koples deretter fra og vi lader ut kondensatoren igjen gjennom en motstand med resistans R. Strømmen gjennom motstanden, utladningsstrømmen I, vil avta eksponensielt med tiden t, som vist i Figur 2, og være gitt ved:

Side 4 av 15 I t RC t RC 0 I 0 e e (1) R Kretsen kalles en RC-krets. Av Lign. (1) ser vi at størrelsen RC bestemmer hvor fort utladningen av kondensatoren skjer. Stor RC gir lang utladningstid. Når utladningen har foregått i en tid = RC, er strømmen redusert til en verdi I 1 = I 0 e -1 = I 0 /e = 0,368 I 0. Størrelsen = RC kalles RC-kretsens tidskonstant. Eksperimentelt kan finnes ved å måle tiden det tar for strømmen å avta fra I = I 0 til I = I 0 /e. NB! I 0 kan defineres hvor som helst på utladningskurven, men målingen av tidskonstanten t blir mer nøyaktig når I 0 er stor. Når motstanden R i kretsen er kjent kan kondensatorens kapasitans C bestemmes ved: C = /R (2) 2.3. (Bestemmelse av) Induktans for en spole I Figur 3 er en spole med induktans L seriekoplet med en motstand med resistans R. En likespenning 0 setter opp en strøm I 0 som etter tilstrekkelig lang tid er I 0 = 0 /R. Når likestrømskilden koples fra, vil strømmen gjennom spolen og motstanden avta eksponensielt med tiden t og være gitt ved: Figur 3 I tr tr L 0 L I 0 e e (3) R i ser at Lign. 3 er av samme type som Lign. 1 når vi kaller tidskonstanten i LR- kretsen for = L/R. Utladningen av RL-kretsen vil derfor foregå på samme måte som utladningen for RCkretsen som er vist i Figur 2. Som for RC-kretsen kan for RL-kretsen finnes ved å måle tiden det tar for strømmen å avta fra I = I 0 til I = I 0 /e. Når motstanden R, som i dette tilfelle også vil inkludere indre motstand i spolen, er kjent, kan induktansen L til spolen bestemmes fra uttrykket for tidskonstanten. For vanlige spoler blir imidlertid tidskonstanten for RL-kretsen så liten at den ikke lar seg måle manuelt. i skal derfor i denne oppgaven nøye oss med å bruke vekselspenning for å karakterisere induktansen slik beskrevet i neste avsnitt.

Side 5 av 15 3. RC-RL kretser påtrykt vekselspenning i betrakter nå en situasjon der vi over en krets som består av en motstand og en kondensator (eller en spole) legger en vekselspenning (t) gitt ved: ( t) peak cos( t ). peak er her amplituden til signalet, 2 f er vinkelfrekvensen, f er frekvensen og er en fasekonstant. (t) kalles ofte påtrykt vekselspenning. Med vekselspenning inn på en RC- eller RL- krets blir forholdene mer kompliserte enn med likespenning. Dette skyldes at spenningen over kondensator (spole) vil være proporsjonal med den integrerte (deriverte) av strømmen mens spenningen over motstanden vil fremdeles være direkte proporsjonal med strømmen. Dette fører til at spenningen over motstanden vil være henholdsvis en kvart svingeperiode (90 o ) foran (etter) spenningen over kondensator (spole). I tillegg vil størrelsen til spenningsfallene over kondensator og spole avhenge av frekvensen til det påtrykte signalet. Figur 4 Forholdene i RC og RL- kretser er illustrerte i figur 4a og 4b. (Merk at vi bare illustrerer hvordan det er i figuren. i begrunner det ikke). Til venstre i figurene har vi vist spenning-tid diagrammer for R (t) og henholdsvis C (t) og L (t). Merk faseforskyvningene på T/4. Til høyre på figurene er forholdene mellom maksimalverdiene (peakverdiene) til (t), R (t) og henholdsvis C (t) og L (t) vist i såkalte viserdiagrammer (engels: phasor diagrams). Merk at viserdiagrammene også illustrerer

Side 6 av 15 hvordan en kan finne fasevinkelen mellom påtrykt spenning (t) og R (t) (som er proporsjonal med strømmen I i kretsen). iserdiagrammene illustrerer også (heller ikke utledet her) at vi for begge tilfellene har: 2 peak = 2 L/C peak + 2 R peak (4) hvor peak er amplitude til påtrykt spenning, L/C peak er amplitude til spenning over hhv. spole /kondensator og R peak er amplitude til spenning over motstanden i kretsen. (i har sett bort fra resistansen i spolen) Sammenhengen mellom amplitudene til spenning og strøm signalene i kretsen kan uttrykkes ved det vi kan kalle Ohm s lov for vekselspenning: I Z I R X peak peak peak 2 2 LC, (5) hvor Z kalles impedansen for kretsen, mens X L,C er henholdsvis induktiv og kapasitiv reaktans for spole og kondensator, (se tabell 1). 3.1. RC-kretsen. a) b) Figur 5 I figur 5a er en RC-krets koplet til en kilde som gir ut en vekselspenning med frekvens f. Sammenhengen mellom peak og I peak er gitt ved ligning 5. I følge tabell 1 (og læreboka) er den kapasitive reaktans X C = 1/ C hvor = 2 f. Setter vi dette inn i ligning 5 får vi: 2 1 peak Ipeak R 2 fc 2 (6) Spenningen C peak over kondensatoren vil være gitt som: 1 peak peak C peak Ipeak XC 2 fc 2 1 1 2 frc R 2 fc 2 2 (7)

Side 7 av 15 1 Av definisjonen på kapasitive reaktans X C ser vi at når frekvensen gå mot null, vil X C øke 2 fc sterkt for til slutt å bli uendelig stor ved likestrøm (f = 0). Dette fører til at alt spenningsfallet blir liggende over kondensatoren, dvs. at C peak / peak 1. På samme vis ser vi når frekvensen blir høy, vil reaktansen minke for til slutt å gå mot null for f. Da vil all spenning ligge over motstanden og C peak / peak 0. Forholdet C peak / peak som funksjon av frekvensen er vist på figur 5b, hvor det er brukt dobbeltlogaritmisk skala. For å bestemme X C, måler vi spenningene C peak og R peak over henholdsvis kondensator og motstand. Ohms lov brukt på motstanden gir oss strømapmlituden I peak i kretsen (I peak = R peak /R). ed innsetting i ligning 7 finner vi: X C R Cpeak Rpeak (8) 3.2. RL-kretsen a) b) Figur 6 Figur 6a viser en RL-krets under de samme forhold som for RC-kretsen. Fra tabell 1 finner vi induktansen X L = L. Setter vi dette inn i ligning 5 får vi: 2 2 peak Ipeak R fl Spenningen L peak over spolen vil være gitt som: 2 ( 9) peak peak L peak Ipeak XL 2 fl (10) 2 R 2 fl 2 R 2 1 2 fl Av definisjonen X L = L = 2 fl og ligning 10 ser vi at når frekvensen gå mot null, vil induktansen gå mot null og alt spenningsfallet i kretsen på figur 6a vil bli liggende over motstanden, dvs. at

Side 8 av 15 L peak / peak 0 (I praksis har vi alltid indre resistans i spolen slik at dette forholdet blir ikke null). På samme vis ser vi at når frekvensen blir høy, vil induktansen øke for til slutt å bli uendelig stor for f. Da vil all spenning ligge over induktansen og forholdet L peak / peak 1. L peak / peak som funksjon av frekvensen er vist på figur 6b i dobbeltlogaritmisk skala. For å bestemme X L, måler vi spenningene L peak og R peak over spolen og motstanden. Som for RC-kretsen er strømmen I i RLkretsen gitt ved I peak = R peak /R. ed innsetting i ligning 10 finner vi: X L R Lpeak Rpeak (11) 4. Forhåndsoppgave a) Finn den relative usikkerheten og R. C C i kapasitansen C gitt ved ligning (2), uttrykt ved, R, b) Se på figur 7b og les om kobling b under punkt 6.1.1. Hva må sammenhengen være mellom resistansen R til motstanden og amperemeterets indre resistans R A, for at den prosentvise feilen mellom korrigert og ukorrigert verdi for R skal bli mindre enn 10%? 5. Obs før du starter med laboratorieoppgavene Det legges vekt på forståelse av grunnleggende prinsipper. Forsøk å jobbe rolig og metodisk. i forventer at du sitter ut hele labtida. For denne oppgaven er labtida satt til 4 timer. Det er ikke et krav at alle oppgavene utføres. Stress ned. Bruk garderobehyllene. Sett ryggsekker til side. Spising og drikking er ikke tillatt inne på laben. Du kan bevilge deg en pause på opptil 20 minutter. Utstyret og instrumentene du skal bruke må behandles forsiktig. Det er livsfarlig og absolutt ikke tillatt å plugge bananledninger i nettkontakter. Rydd opp etter deg før du går. Slå av alle instrumenter. Sett alt utstyr tilbake i samsvar med fotografiet på labplassen.

Side 9 av 15 6. Laboratorieoppgaver 6.1. Likestrømskretser 6.1.1. Bestemmelse av resistans ved måling av strøm og spenning. Bestemmelse av resistans ut fra strøm- og spenningsmåling kan gjøres på to måter som vist i Figur 7. I figuren er R den ukjente resistans, R A er amperemeterets egenresistans og R v er voltmeterets egenresistans. i skal nå undersøke hvordan måleinstrumentenes egenresistans i kopling a og b, vil influere på måleresultatene. A A a) b) Figur 7 Kopling a ed denne koplingen (Figur 7a) viser voltmeteret korrekt spenning, mens amperemeteret viser summen av strømmen I R gjennom R og strømmen I v gjennom voltmeteret. Strømmen I R er lik I - I v slik at spenningen over R er: som gir: = R(I - R = I - I v I ) = I R v v = I - R v v (12) (13) Hvis vi ikke korrigerer for strømmen gjennom voltmeteret, får vi: R = (14) I

Side 10 av 15 Kopling b ed denne koplingen (Figur 7b) viser amperemeteret den riktige strømmen gjennom R, mens voltmeteret viser summen av spenningsfallene over R og amperemeteret. Spenningen over voltmeteret er: = I( RA R) (15) Løst med hensyn på R får vi: R I (16) I I A R = = R A Uten korreksjon har vi som før resistansen R gitt ved Lign. (14): R = (17) I Begge metodene gir riktig resultat når vi korrigerer for instrumentenes egenresistans etter Lign. (13) for kopling a og etter Lign. (16) for kopling b. Finn resistansen til to motstander (R 1 og R 3 ) ved strøm- og spenningsmålinger etter kopling a) og kopling b). (Reguler spenningen til et av instrumentene viser fullt skalautslag). Oppgi både ukorrigert og korrigert verdi. Beregn den prosentvise feil når vi bruker ukorrigerte verdier. Kommenter feilprosenten, hvorfor er den slik? For R A brukes den målte verdi fra pkt. 6.1.2. R v er oppgitt i apparaturlista bak i oppgaven. ed målingene brukes dreiespoleinstrumenter. 6.1.2. Resistansmåling med digitalmultimeter Mål den indre resistans R A i ma-meteret og 3 ukjente resistanser (R 1, R 2, R 3 ) med digitalmultimeteret.

Side 11 av 15 6.1.3. Utladning av kondensator i bruker den koplingen som er vist i Figur 8 og ladespenning o 30. Strømmen i kretsen måles med et elektronisk galvanometer. Utslaget s på dette er proporsjonalt strømmen i kretsen I, dvs. s = k I. Galvanometeret er bygget inn i samme boks som R og C. Med en vender kan vi skifte mellom en kondensator med kjent kapasitans C og en ukjent kondensator C x. Figur 8 ed å trykke ned knappen "OPPLADNING" lades kondensatoren praktisk talt momentant. Når knappen slippes vil kondensatoren utlades gjennom motstanden R. Tidskonstanten kan vi måle direkte som utladningstiden fra utslag s o på galvanometeret til s o /e (0,368 s o ). a) Mål hvordan galvanometerutslaget s endrer seg med tiden t når kondensa-toren C utlades gjennom motstanden R. Les av utslaget på galvanometeret for t = 0, deretter hvert halve minutt de to første minuttene, senere hvert minutt i tilsammen 5-6 min. b) Tegn opp utladningskurven for galvanometerutslaget både på vanlig mm-papir og på enkelt-logaritmisk kurvepapir hvor utladningstiden t er i lineær målestokk. Marker tidskonstanten på kurvene og sammenlign den eksperimentelle verdi for med beregning på grunnlag av oppgitt verdi for R og C. c) Mål tidskonstanten x = RC X direkte når kondensator C X utlades gjennom motstan-den R. Gjenta målingene 10 ganger. Bestem middelverdien x og finn usikkerheten i bestemmelsen av x (standardavvik). Bruk x og oppgitt R til å finne hvor stor C X er, med usikkerhet (benytt resultatet fra forhåndsoppgaven). Du kan anta at den relative usikkerheten i R er 1%. 6.2. ekselstrømskretser I oppgavene nedenfor skal et multimeter benyttes til å måle spenningsfallet over ulike komponenter i en vekselstrømkrets. Den verdien multimeteret viser for et AC signal er rms-verdien (root-meansquare verdien) til signalet. Det vil si kvadratet av verdien til signalet midlet over en svingeperiode og så kvadratroten av det. For et harmonisk signal, dvs et sinus- eller cosinusformet signal, har vi følgende relasjon mellom maks-amplituden A peak og rms-amplituden A rms : Arms Apeak / 2 (Se en lærebok for forklaring av dette, for eksempel Tipler & Mosca kap. 29.2 eller Young & Freedman kap. 31.1). Dette betyr at man kan benytte alle ligninger med peak amplituder, gitt i introduksjonen til denne lab-oppgaven, med rms-amplituder i steden.

Side 12 av 15 6.2.1. RC-krets i bruker koplingen i Figur 5a hvor motstand og kondensator er koplet sammen i en boks. Som inngangsspenning bruker vi en vekselstrømskilde (signalgenerator) hvor vi kan variere frekvens og spenning. Fra signalgeneratoren sendes sinusformet vekselspenning inn på kretsen og spenningen reguleres til et passe nivå. i bruker multimetret til å måle spenningen over kretsen og enkeltkomponentene. (Multimetret er ikke jordet slik at vi kan kople oss inn i kretsen uten hensyn til jord på signalgeneratoren). Når vi har koplet til kretsen justerer vi påtrykt spenning rms til 1 denne spenningen vil være konstant i det aktuelle frekvensområdet (andre verdier kan naturligvis brukes, men det blir så mye enklere å beregne forholdet C rms / rms senere i oppgaven.). a) Mål R rms og C rms for frekvensene: 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 og 10000 Hz. (Tidsmessig lønner det seg å måle: 100, 1000, 10000 Hz, deretter 200...-dette reduserer dreiningen av frekvenshjulet betraktelig) b) Tegn kurven for C rms / rms på dobbeltlogaritmisk papir. c) Tegn spenningene C rms og R rms i viserdiagram for f = 500 Hz. Finn påtrykt spenning rms av diagrammet og sammenlign med målt verdi. Bestem også fasevinkelen mellom og R. d) Beregn X C for 50 og 10000 Hz ut fra Lign. (8). Sammenlign med teoretisk verdi X C = 1/ C. 6.2.2. RL-krets Kretsen er vist i Figur 6a hvor motstand og spole er koplet sammen i samme boks som RC-kretsen. Oppkopling og fremgangsmåte er ellers som for RC-kretsen. i bruker her en spole med så liten indre resistans at vi ser bort fra denne ved de frekvenser som vi måler ved. a) Mål R rms og L rms for frekvensene: 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 og 10000 Hz. b) Tegn kurven for L rms / rms på dobbeltlogaritmisk papir. c) Tegn spenningene L rms og R rms på samme viserdiagram som RC-kretsen for f = 500 Hz. Finn påtrykt spenning rms av diagrammet og sammenlign med målt verdi. Bestem også fasevinkelen mellom og R. d) Beregn X L for 50 og 10000 Hz ut fra Lign. (11). Sammenlign med teoretisk verdi X L = L.

Side 13 av 15 Ole J. Løkberg 2005 (Basert på tidligere oppgavetekster for lignende oppgaver utarbeidet av Løkberg selv og annet personell ved Institutt for fysikk) Revidert 02.09.06 LEW/KAS Revidert 29.11.07 HJS/LEW/KAS Revidert 16.09.10 KH/KAS

Side 14 av 15 edlegg: Apparaturliste 1. oltmeter, SIFAM, indre resistans 0 5 område R = 5000 0 20 område R = 20000 2. Amperemeter, SIFAM, 0-10mA (indre resistans oppgitt på hvert meter.) 3. Digitalmultimeter, Tektronix TX-3 (bruksanvisning vedlagt). Indre resistans 10 M 4. Likespenningskilde, Mascot 719 5. Brett med 3 (ukjente) motstander 6. Boks med RC-krets til måling av utladning, kobles til nettet. Måleinstrument innebygd. 7. Boks med RC, RL kretser 8. Pasco funksjonsgenerator (bruksanvisning vedlagt) 9. Stoppeklokke Laboratorieledninger for oppkopling Bilder av apparaturen

Side 15 av 15 Bruksanvisning for multimeter, Tektronix TX-3. Multimetret kan måle spenning, strøm, frekvens, resistans, kapasitans og temperatur, men vi skal her bare benytte det til resistans- og spenningsmålinger. RESISTANSMÅLINGER Måleledninger fra resistansen koples til COM og. Bryter settes til -symbolet og resistansverdien vises automatisk i vindu med eventuelle prefiks K(ilo), M(ega). SPENNINGSMÅLINGER Tilkopling som for resistansmålinger. Bryter settes på -symbol. Still inn på AC (vekselspennings) eller DC (likespennings) målinger ved å presse knapp 1 eller 2 i øvre rekke. Spenningsverdi vises automatisk i vindu. For AC-målinger vises også signalets frekvens over spenningsverdien. Signalets styrke vises også analogt som lengden av streken under spenningsverdien. Bruksanvisning for funksjonsgenerator, PASCO PI-9587B Signalet tas ut over GND (jord) og L o (lavohmig utgang). Amplitude-knappen regulerer styrken på signalet. Wavefront stilles inn på øverste (sinus) symbolet (generatoren kan også gi signaler formet som trekant og firkant) Frekvensen varieres kontinuerlig med Adjust og i trinn med Range. Den innstilte frekvensverdi vises i vinduet. ed å variere hastigheten på dreiningen av Adjust-knappen kan vi også variere hvor hurtig frekvensverdien endrer seg. For å effektivisere målingene (det går svært sent med Adjust) anbefales å stille inn først på f.eks. 50Hz og deretter bruke Range til å gjøre måleserien 50 500-5000Hz, deretter tilsvarende med de resterende verdiene.