1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet. 1 Sannsynlighetsmodellen er P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =. 6 4.5 a Hjulet har seks farger det kan stoppe på: grønn, rød, blå, oransje, rosa og gul. Utfallsrommet er U = {grønn, rød, blå, oransje, rosa, gul}. b Det gule og det blå feltet dekker en firedel av hjulet hver, mens de andre fargene dekker en åttedel. Sannsynlighetsmodellen blir 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = 4 8 4.6 a Hendelsen "minst fire øyne" omfatter utfallene fire, fem og seks øyne. 1 1 1 1 1 Sannsynligheten blir P(minst fire øyne) = P(4) + P(5) + P(6) = + + = 3 =. 6 6 6 6 2 b Hendelsen "minst 2 øyne" omfatter utfallene to, tre, fire, fem og seks øyne. 1 5 Sannsynligheten blir P(minst to øyne) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 5 =. 6 6 c Hendelsen "høyst 2 øyne" omfatter utfallene ett og to øyne. 1 1 Sannsynligheten blir P(høyst to øyne) = P(1) + P(2) = 2 =. 6 3 d Hendelsen "høyst 4 øyne" omfatter utfallene ett, to, tre og fire øyne. 1 2 Sannsynligheten blir P(høyst fire øyne) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 4 =. 6 3 4.7 I oppgave 4.5 fant vi sannsynlighetene for hver av fargene: 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = 4 8 a Sannsynligheten for at hjulet stopper på gul eller oransje, er 1 1 2 1 3 P(gul eller oransje) = P(gul) + P(oransje) = + = + = 4 8 8 8 8 b Sannsynligheten for at hjulet stopper på rød eller rosa, er 1 1 2 1 P(rød eller rosa) = P(rød) + P(rosa) = + = = 8 8 8 4 Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 19

c Hvis hjulet ikke skal stoppe på rød eller rosa, må det stoppe på enten grønn, blå, oransje eller gul. Sannsynligheten er P(ikke rød eller rosa) = P(grønn) + P(blå) + P(oransje) + P(gul) 1 1 1 1 1 2 1 2 6 3 = + + + = + + + = = 8 4 8 4 8 8 8 8 8 4 4.8 a P(blodtype B eller AB) = P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0,08 + 0,04 = 0,12. Det er 12 % sannsynlig at blodgiveren har type B eller type AB. b Skal blodgiveren ikke ha blodtype 0, må hun enten ha A, B eller AB. Sannsynligheten for det er P(ikke blodtype 0) = P(blodtype A) + P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0, 48 + 0,08 + 0,04 = 0,60 Det er 60 % sannsynlig at blodgiveren ikke har blodtype 0. c Sannsynligheten for at blodgiveren skal ha type A eller type 0, er P(blodtype A eller 0) = P(blodtype A) + P(blodtype 0) = 0, 48 + 0, 40 = 0,88 Det er 88 % sannsynlig at en person med blodtype A kan få overført blod fra den nye blodgiveren. 4.9 a "Minst 5 øyne" = A = {5, 6} b A = {1,2,3,4}. Med ord har vi at A er hendelsen "høyst 4 øyne". c 1 1 1 1 PA ( ) = P(5) + P(6) = + = 2 = 6 6 6 3 1 2 PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 = 3 3 4.11 Når du kaster én terning, er det m = 6 mulige utfall som alle er like sannsynlige. a Det er g = 5 gunstige utfall: 2, 3, 4, 5 og 6 øyne. g 5 Dermed er P(minst to øyne) = =. m 6 b Her er det g = 4 gunstige utfall: 1, 2, 3 og 4 øyne. 4 2 Vi får P (høyst fire øyne) = =. 6 3 c Det er g = 3 gunstige utfall: 1, 3 og 5 øyne. 3 1 Vi får P (odde tall) = =. 6 2 d Det er g = 3 gunstige utfall: 2, 4 og 6 øyne. 3 1 Det gir P (partall) = =. 6 2 Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 19

4.12 a Vi kan merke av hendelsene i utfallsrommet slik: Løsninger til innlæringsoppgavene 1 sum øyne lik sju 2 sum øyne minst ni 3 minst én ener 4 terningene viser like mye (par) b Det er 36 mulige utfall. Vi teller antall gunstige utfall for hver av hendelsene og finner sannsynlighetene: 6 1 1 P (sum øyne lik sju) = = 36 6 10 5 2 P (sum øyne minst ni) = = 36 18 11 3 P (minst én ener) = 36 6 1 4 P (par) = = 36 6 Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 19

4.13 Det er 52 kort i kortstokken, så det er m = 52 mulige utfall. a Det er 13 hjerterkort i stokken, så det er g = 13 gunstige utfall. g 13 1 Sannsynligheten blir P(hjerterkort øverst) = = =. m 52 4 Løsninger til innlæringsoppgavene b Stokken har fire konger, én i hver farge, så det er g = 4 gunstige utfall. 4 1 Sannsynligheten blir P (konge øverst) = =. 52 13 c Det er fire honnørkort i hver farge, så det er g = 16 gunstige utfall. 16 4 Sannsynligheten er P (honnørkort øverst) = =. 52 13 4.14 a Det er 3 mulige måter å trekke den første kula på. Siden vi ikke legger tilbake, er det to kuler igjen når du trekker andre gang. Antall utfall (måter å trekke to kuler på) blir derfor 32 = 6. b Valgtreet viser de seks måtene du kan trekke de to kulene på: 4.15 a Antall måter å velge to elever på er m = 25 24. Det er de mulige utfallene. Antall måter å velge to jenter på er g = 15 14. Det er de gunstige utfallene for hendelsen at både medlem og varamedlem blir jenter. Sannsynligheten for denne hendelsen er g 15 14 7 P(medlem og varamedlem blir jenter) = = = = 0,35 m 25 24 20 b Hendelsene "minst én gutt blir valgt" og "både medlem og varamedlem blir jenter" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser har vi at P(minst én gutt blir valgt) = 1 P(både medlem og varamedlem blir jenter) 7 13 = 1 = = 0,65 20 20 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 19

4.16 a Siden vi ikke legger tilbake, er det m = 54 mulige måter å trekke to kuler på. Antall gunstige utfall for hendelsen "to røde kuler" er g = 3 2. Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er derfor g 32 3 P(to røde kuler) = = = m 5 4 10 b Hendelsene "minst én blå kule" og "to røde kuler" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser, har vi at 3 7 P(minst én blå kule) = 1 P(to røde kuler) = 1 = 10 10 4.17 a Utfallene som er med i minst én sekser er A = (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), (6,1) { } b Utfallene som er med i som øyne lik sju er B = (6,1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6) { } c Hendelsen A B omfatter alle utfall som er med i både A og B. Altså er A B= (6,1), (1,6) { } d Hendelsen A B omfatter alle utfall som er med i A eller B eller begge. Altså er A B= (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), { (6,1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5) } 4.18 Venndiagrammet kan vi tegne slik: Vi kan også lage en oversiktstabell: Mobil Ikke mobil Sum MP3 21 1 22 Ikke MP3 7 1 8 Sum 28 2 30 Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 19

4.19 a b Hendelsen A B omfatter de 8 utfallene som er med i både A og B, nemlig A B= (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5,1) { } Hendelsen A B omfatter alle utfallene som er med i A eller B eller begge. Av figuren ser vi at dette er alle utfallene bortsett fra (4, 6), (6, 4) og (6, 6). c 1 Hendelsen A har 30 utfall, hendelsen B har 11 utfall, og hendelsen A B har 8 utfall. Alle de 36 utfallene er like sannsynlige, som betyr at 30 11 8 PA= ( ), PB ( ) = og PA ( B) = 36 36 36 Den generelle addisjonssetningen gir dermed 30 11 8 33 PA ( B) = + = 36 36 36 36 2 Hendelsen A B omfatter alle utfallene bortsett fra tre stykker (oppgave b). Altså har A B 33 utfall, og sannsynligheten blir dermed 33 PA ( B) = 36 4.20 a Av de 90 medlemmene er det 20 som spiller fotball, og 20 som spiller håndball. Det gir 20 20 P (fotball) = og P (håndball) = 90 90 Det er ingen som spiller både fotball og håndball. Addisjonssetningen gir da 20 20 40 P(fotball håndball) = + = = 0, 444 = 44, 4 % 90 90 90 b Det er 20 som løper orientering, og 15 som driver med friidrett. Dermed er 20 15 P (orientering) = og P (friidrett) = 90 90 Addisjonssetningen gir 20 15 35 P(orientering friidrett) = + = = 0,389 = 38,9 % 90 90 90 c De som spiller ballspill, er de som ikke driver med friidrett eller løper orientering. Av regelen for komplementære hendelser får vi derfor at sannsynligheten for å trekke en som driver med ballspill, blir 35 55 P(ballspill) = 1 P(orientering friidrett) = 1 = = 0, 611 = 61,1 % 90 90 Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 19

4.21 a Hver gang vi snurrer, er sannsynligheten 1 8 for at lykkehjulet stopper på det røde feltet. Produktsetningen gir at 1 1 1 P(rød begge gangene) = P(rød første gang) P(rød andre gang) = = 8 8 64 b Sannsynligheten er 1 4 for at lykkehjulet stopper på det blå feltet. Produktsetningen gir at 1 1 1 P(først rød så blå) = P(rød) P(blå) = = 8 4 32 4.22 a Sannsynligheten for at alle tre barna er jenter, blir ved produktsetningen P(alle er jenter) = PJ ( ) PJ ( ) PJ ( ) = 0, 486 0, 486 0, 486 = 0,115 b Hendelsene "alle er jenter" og "minst én er gutt" er komplementære. Det gir P(minst én gutt) = 1 P(alle er jenter) = 1 0,115 = 0,885 c Produktregelen for uavhengige hendelser gir oss at P(eldste gutt, to yngste jenter) = PG ( ) PJ ( ) PJ ( ) = 0,514 0, 486 0, 486 = 0,121 d Vi regner ut på samme måte som i oppgave c: P(to eldste jenter, yngste gutt) = PJ ( ) PJ ( ) PG ( ) = 0, 486 0, 486 0,514 = 0,121 4.23 a Sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind, er 1 0,08 = 0,92. Sannsynligheten for at ingen av de 12 guttene er rødgrønn fargeblinde, blir da 12 P (ingen fargeblinde gutter) = 0,92 = 0,368 Vi må anta at guttene ikke er i slekt fordi fargeblindhet går i arv. Så hvis guttene var i slekt, kunne vi ikke ha brukt produktsetningen for uavhengige hendelser. b Hendelsene "ingen er fargeblinde" og "minst én er fargeblind" er komplementære. Dermed får vi at P(minst én fargeblind gutt) = 1 P(ingen fargeblinde gutter) = 1 0,368 = 0,632 4.24 a Sannsynligheten for å trekke en blå kule første gang er 7 11. Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang 6. 10 Produktsetningen for avhengige hendelser gir oss at 7 6 P (begge kulene er blå) = = 0,382 11 10 b Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er 4 11. Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en rød kule andre gang 3. Dermed er 10 4 3 P (begge kulene er røde) = = 0,109. 11 10 Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 19

c Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er 4 11. Løsninger til innlæringsoppgavene Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang 7. 10 4 7 Dermed er P (første kule rød, andre kule blå) = = 0,255. 11 10 4.25 a Det er 1 29 sannsynlig at den første bokstaven er P. Gitt at den første bokstaven er P, er sannsynligheten 1 28 for at den neste er E. Gitt at de to første bokstavene er P og E, er sannsynligheten 1 27 Ganger vi sammen disse sannsynlighetene, får vi 1 1 1 P (PER) = = 0, 000 046 29 28 27 for at den siste er R. 4.26 a Sannsynligheten for å tippe det første tallet galt er 27 34. Gitt at du tippet det første tallet galt, er sannsynligheten 26 for at du også tipper det 33 andre tallet galt. Gitt at du tippet de to første talene galt, er sannsynlighet 25 for at du også tipper det 32 tredje tallet galt. Osv. Sannsynligheten for at du ikke får et eneste riktig vinnertall, er dermed 27 26 25 24 23 22 21 P (ingen riktige vinnertall) = = 0,165 34 33 32 31 30 29 28 Du har 16,5 % sannsynlighet for ikke å få ett eneste riktig vinnertall. b Hendelsene "minst ett riktig vinnertall" og "ingen riktige vinnertall" er komplementære. Dermed har vi at P(minst ett riktig vinnertall) = 1 P(ingen riktige vinnertall) = 1 0,165 = 0,835 Det er 83,5 % sannsynlig at du får minst ett riktig vinnertall. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 19

4.27 a Vi tegner valgtreet. Her står F for en FOX-karamell, og N for en NOX-karamell. b Av valgtreet finner vi: 15 14 210 1 P (to FOX) = = = 0,35 25 24 600 10 9 90 2 P (to NOX) = = = 0,15 25 24 600 3 P(én FOX) = P(først FOX, så NOX) + P(først NOX, så FOX) 15 10 10 15 300 = + = = 0,50 25 24 25 24 600 90 510 4 P(minst én FOX) = 1 P(to NOX) = 1 = = 0,85 600 600 Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 19

4.28 a Valgtreet er tegnet opp under. Her står R står for rød, G for gul og B for blå kule. b Av valgtreet finner vi at: 1 P(én rød kule) = P( RG) + P( RB) + P( GR) + P( BR) 15 20 15 20 70 = + + + = = 0,530 132 132 132 132 132 2 P(én blå kule) = P( RB) + P( GB) + P( BR) + P( BG) 20 12 20 12 64 = + + + = = 0,485 132 132 132 132 132 3 P(én gul kule) = P( RG) + P( GR) + P( GB) + P( BG) 15 15 12 12 54 = + + + = = 0,409 132 132 132 132 132 4 P(forskjellig farge) = 1 P(lik farge) = 1 P( RR) P( GG) P( BB) 20 6 12 94 = 1 = = 0, 712 132 132 132 132 Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 19

4.29 a Vi bruker valgtreet fra eksempel 2 på side 182. Her skiller vi bare mellom hendelsene S = "sekser" og F = "fem eller mindre". Sannsynligheten for å få ingen seksere er 5 5 5 5 125 P(ingen seksere) = P( FFF) = = = = 0,579 = 57,9 % 6 6 6 6 216 b Hendelsen to seksere svarer til unionen av de disjunkte hendelsene FSS, SFS og SSF. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir derfor P(to seksere) = P( FSS) + P( SFS) + P( SSF) 2 2 2 2 3 5 1 5 1 5 1 5 1 5 = + + = 3 = = 0,069 = 6,9 % 6 6 6 6 6 6 6 6 72 c Sannsynligheten for å få tre seksere er 1 1 1 1 1 P(tre seksere) = P( SSS) = = = = 0, 005 = 0,5 % 6 6 6 6 216 d Hendelsen høyst én sekser omfatter de fire utfallene FFF, FFS, FSF og SFF. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir P(høyst én sekser) = P( FFF) + P( FFS) + P( FSF) + P( SFF) 3 3 2 2 2 5 1 5 1 5 1 5 25 = + + + = = 0,926 = 92,6 % 6 6 6 6 6 6 6 27 e Hendelsene minst to seksere og høyst én sekser er komplementære hendelser. Av regelen for komplementære hendelser får vi derfor 25 2 P(minst to seksere) = 1 P(høyst én sekser) = 1 = = 0,074 = 7, 4 % 27 27 Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 19

4.30 a Vi kaller det å trekke en spar for hendelsen S. Det å trekke noe annet enn en spar kaller vi hendelsen A. Da kan vi tegne valgtreet slik: b Vi er interessert i hendelsen at det øverste kortet er en spar, dvs. hendelsen SAA. 1 39 38 Den har sannsynlighet P( SAA) = = 0,145. 4 51 50 c Her finner vi at P(én spar) = P( AAS) + P( ASA) + P( SAA) 3 38 13 3 13 38 1 39 38 = + + = 0,436 4 51 50 4 51 50 4 51 50 Aschehoug www.lokus.no Side 12 av 19

4.31 a Vi bruker valgtreet fra eksempel 1 på side 184. Her skiller vi bare mellom hendelsene S = "sekser" og F = "fem eller mindre". 1 Sannsynligheten for å få ingen seksere er 5 625 P(ingen seksere) = P( FFFF) = = = 0, 482 = 48, 2 % 6 1296 Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 19 4 2 Hendelsen én sekser svarer til unionen av de fire disjunkte hendelsene FFFS, FFSF, FSFF og SFFF. Sannsynligheten for disse fire hendelsene er den samme, nemlig 3 5 5 5 1 1 5 = 6 6 6 6 6 6 Sannsynligheten for å få én sekser er derfor 3 1 5 125 P(én sekser) = 4 = = 0,386 = 38, 6 % 6 6 324 3 Hendelsen to seksere svarer til unionen av de seks disjunkte hendelsene FFSS, FSFS, FSSF, SFFS, SFSF og SSFF. Sannsynligheten for disse seks hendelsene er den samme, nemlig 2 2 5 5 1 1 1 5 = 6 6 6 6 6 6 Sannsynligheten for å få to seksere er derfor 2 2 1 5 25 P(to seksere) = 6 = = 0,116 = 11, 6 % 6 6 216 4 Hendelsen tre seksere svarer til unionen av de fire disjunkte hendelsene FSSS, SFSS, SSFS og SSSF. Sannsynligheten for disse fire hendelsene er den samme, nemlig 3 5 1 1 1 1 5 = 6 6 6 6 6 6 Sannsynligheten for å få tre seksere er derfor 3 1 5 5 P(tre seksere) = 4 = = 0, 015 = 1,5 % 6 6 324

5 Sannsynligheten for å få fire seksere er 1 1 P(fire seksere) = P( SSSS) = = = 0, 0008 = 0, 08 % 6 1296 4 Løsninger til innlæringsoppgavene b P(ingen seksere) + P(én sekser) + P(to seksere) + P(tre seksere) + P(fire seksere) 625 125 25 5 1 = + + + + = 1 1296 324 216 324 1296 Summen av sannsynlighetene er lik 1. Hendelsene ingen seksere, én sekser, to seksere, tre seksere og fire seksere omfatter til sammen hele utfallsrommet. Derfor vet vi at summen av sannsynlighetene skal være lik 1. c 1 Hendelsen høyst én sekser omfatter de to disjunkte hendelsene ingen seksere og én sekser. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir derfor P(høyst én sekser) = P(ingen seksere) + P(én sekser) 625 125 125 = + = = 0,868 = 86,8 % 1296 324 144 2 Hendelsene høyst én sekser og minst to seksere er komplementære hendelser. Av regelen for komplementære hendelser får vi derfor 125 19 P(minst to seksere) = 1 P(høyst én sekser) = 1 = = 0,132 = 13, 2 % 144 144 4.32 a Rad fem i Pascals talltrekant gir antall måter vi kan få henholdsvis 0, 1, 2, 3, 4 og 5 seksere på når vi kaster én terning fem ganger. Altså er det 10 måter vi kan få nøyaktig to seksere på. Én av disse måtene er SSFFF. Sannsynligheten for denne hendelsen er 2 3 1 1 5 5 5 1 5 P( SSFFF) = = 6 6 6 6 6 6 6 Dette er også sannsynligheten for alle de 9 andre hendelsene med nøyaktig to seksere. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir dermed 2 3 1 5 625 P(to seksere) = 10 = = 0,161 = 16,1 % 6 6 3888 Sannsynligheten for å få to seksere er 16,1 %. b Av Pascals talltrekant ser vi at det er 10 måter vi kan få nøyaktig tre seksere på. c Sannsynligheten f.eks. for hendelsen SSSFF er 3 2 1 1 1 5 5 1 5 P( SSSFF) = = 6 6 6 6 6 6 6 Dette er også sannsynligheten for alle de 9 andre hendelsene med nøyaktig tre seksere. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir dermed 3 2 1 5 125 P(tre seksere) = 10 = = 0, 032 = 3, 2 % 6 6 3888 Sannsynligheten for å få tre seksere er 3,2 %. Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 19

4.33 a Vi tar også med rad 5, slik at det blir lettere å se hvordan vi har funnet rad 6 og 7. rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 35 35 21 7 1 b Rad 6 i talltrekanten gir antall måter vi kan få henholdsvis 0, 1, 2 osv. seksere på når vi kaster én terning 6 ganger. Altså er det 15 måter vi kan få nøyaktig to seksere på. Én av disse måtene er SSFFFF. Sannsynligheten for denne hendelsen er 2 4 1 1 5 5 5 5 1 5 P( SSFFFF) = = 6 6 6 6 6 6 6 6 Dette er også sannsynligheten for alle de 14 andre hendelsene med nøyaktig to seksere. Sannsynligheten for å få to seksere når vi kaster én terning seks ganger, er derfor 2 4 1 5 P(to seksere) = 15 = 0, 201 = 20,1 % 6 6 c Av rad 7 i talltrekanten ser vi at det er 21 måter vi kan få nøyaktig to seksere på når vi kaster én terning 7 ganger. Sannsynligheten for hver av disse hendelsene er 2 5 1 1 5 5 5 5 5 1 5 = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Sannsynligheten for å få to seksere når vi kaster én terning sju ganger, er derfor 2 5 1 5 P(to seksere) = 21 = 0, 234 = 23, 4 % 6 6 4.34 5 ( ) 10 3 ( ) =, 6 15 2 ( ) =, 7 21 2 ( ) =, 8 56 5 ( ) = og 10 120 3 = Vi skriver opp radene 5, 6, 7 og 8 i Pascals talltrekant. rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 35 35 21 7 1 rad 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Binomialkoeffisienten 5 ( 3 ) er det tredje tallet i rad 5 i talltrekanten (når vi starter med posisjon nummer 0). Av talltrekanten ser vi derfor at 5 ( ) 10 3 ( ) =. Tilsvarende er tallet i rad 6 i talltrekanten, altså 15. 7 ( 2 ) er det andre tallet i rad 7 i talltrekanten, altså 21. 8 ( 5 ) er det femte tallet i rad 8 i talltrekanten, altså 56. 6 2 det andre Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 19

4.35 a Sannsynligheten for å få nøyaktig r seksere i n kast er r n 1 5 ( r ) n r Pr ( seksere i nkast) = 6 6 Sannsynligheten for å få ingen seksere i 8 kast er derfor 8 ( ) 0 8 0 8 8 Løsninger til innlæringsoppgavene 1 5 5 5 P(ingen seksere) = 1 1 0, 23257 0, 233 23,3 % 0 = = = = 6 6 6 6 b Sannsynligheten for å få én sekser i 8 kast er 8 ( ) 1 8 1 7 1 5 1 5 P(én sekser) = 8 0,37211 0,372 37, 2 % 1 = = = 6 6 6 6 c Sannsynligheten for å få to seksere i 8 kast er 8 ( ) 2 8 2 2 6 1 5 1 5 P(to seksere) = 28 0, 26048 0, 260 26, 0 % 2 = = = 6 6 6 6 d Hendelsen høyst to seksere omfatter de tre disjunkte hendelsene ingen seksere, én sekser og to seksere. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir P(høyst to seksere) = P(ingen seksere) + P(én sekser) + P(to seksere) = 0, 23257 + 0,37211+ 0, 26048 = 0,865 = 86,5 % Sannsynligheten for å få høyst to seksere er 86,5 %. 1 4.36 a Vi bruker formelen for binomiske sannsynligheter med n = 10, p = og r = 0. 10 ( ) 0 10 0 10 1 2 2 P(ingen riktige svar) = 1 1 0 = 3 3 3 10 2 = = 0,0173 0,017 = 1,7 % 3 Det er 1,7 % sannsynlig at Eldrid får ingen riktige svar. b Med r = 1 får vi 10 ( ) 1 10 1 9 1 2 1 2 P(ett riktig svar) = 10 0, 0867 0, 087 8, 7 % 1 = = = 3 3 3 3 Det er 8,7 % sannsynlig at Eldrid får ett riktig svar. c Med r = 2 får vi 10 ( ) 2 10 2 2 8 1 2 1 2 P(to riktige svar) = 45 0,1951 0,195 19,5 % 2 = = = 3 3 3 3 Det er 19,5 % sannsynlig at Eldrid får to riktige svar. d Med r = 3 får vi 10 ( ) 3 10 3 1 2 P(tre riktige svar) = 3 3 3 3 7 1 2 = 120 = 0,2601 0,260 = 26,0 % 3 3 Det er 26,0 % sannsynlig at Eldrid får tre riktige svar. 3 Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 19

e P(høyst tre riktige svar) = P(ingen riktige svar) + P(ett riktig svar) + P(to riktige svar) + P(tre riktige svar) = 0, 0173 + 0, 0867 + 0,1951+ 0, 2601 = 0,559 = 55,9 % Sannsynligheten for at Eldrid får høyst tre riktige svar, er 55,9 %. 4.37 a For hver mynt vi kaster, er sannsynligheten 1 for at vi får krone og 1 for at vi får mynt. 2 2 1 Vi bruker formelen for binomiske sannsynligheter med n = 10, p = og r = 4. 10 10 ( 4 ) ( 4 ) 4 10 4 10 10 1 1 1 1 P(fire krone) = = = 210 = 0, 205 = 20,5 % 2 2 2 2 Sannsynligheten for å få nøyaktig fire krone er 20,5 %. b Med r = 5 får vi 10 ( ) 10 10 1 1 P(fem krone) = 252 0, 246 24, 6 % 5 = = = 2 2 Sannsynligheten for å få nøyaktig fem krone er 24,6 %. c Med r = 6 får vi 10 ( ) 10 10 1 1 P(seks krone) = 210 0, 205 20,5 % 6 = = = 2 2 Sannsynligheten for å få nøyaktig seks krone er 20,5 %. 4.38 a Vi bruker formelen for binomiske sannsynligheter med n = 20, p = 0,70 og r = 17. 20 17 20 17 P(17 frø vil spire) = ( ) 0,70 0,30 17 17 3 = 1140 0,70 0,30 = 0,0716 0,072 = 7, 2 % Sannsynligheten er 7,2 % for at nøyaktig 17 frø vil spire. b Med r = 18 får vi 20 18 ( 18) P(18 frø vil spire) = 0,70 0,30 20 18 18 2 190 0, 70 0,30 0, 0278 0, 028 2,8 % = = = Sannsynligheten er 2,8 % for at nøyaktig 18 frø vil spire. c Med r = 19 får vi 20 19 20 19 P(19 frø vil spire) = ( ) 0,70 0,30 19 19 = 20 0,70 0,30 = 0,0068 0,007 = 0,7 % Sannsynligheten er 0,7 % for at nøyaktig 19 frø vil spire. d Med r = 20 får vi 20 20 20 20 20 20 P(20 frø vil spire) = ( ) 0, 70 0,30 = 1 0, 70 1 = 0, 70 = 0, 0008 = 0, 08 % 20 Sannsynligheten er 0,08 % for at nøyaktig 20 frø vil spire. 2 Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 19

e P(minst 17 frø vil spire) = P(17 frø vil spire) + P(18 frø vil spire) + P(19 frø vil spire) + P(20 frø vil spire) = 0, 0716 + 0, 0278 + 0, 0068 + 0, 0008 = 0,107 = 10, 7 % Sannsynligheten for at minst 17 frø vil spire, er 10,7 %. Til oppgave 4.39 4.42: Se også Verktøyopplæring under 4.8 på elevnettstedet. Her kan du lære om utregning av binomiske sannsynligheter med digitale verktøy. 1 4.39 a Dette er et binomisk forsøk der n = 10, p = 3 og r = 5. Vi bruker et digitalt verktøy og får P (fem riktige svar) = 0,137 = 13,7 % Det er 13,7 % sannsynlig at Eldrid får fem riktige svar. b Med et digitalt verktøy finner vi at P (høyst fem riktige svar) = 0,923 = 92,3 % Det er 92,3 % sannsynlig at Eldrid får høyst fem riktige svar. c Hendelsene minst seks riktige svar og høyst fem riktige svar er komplementære hendelser. Av regelen for komplementære hendelser får vi P(minst seks riktige svar) = 1 P(høyst fem riktige svar) = 1 0,923 = 0,077 = 7,7 % Det er 7,7 % sannsynlig at Eldrid får minst seks riktige svar. 4.40 a Dette er et binomisk forsøk der n = 20, p = 0,70 og r = 15. Vi bruker et digitalt verktøy og får P (15 frø vil spire) = 0,179 = 17,9 % Sannsynligheten er 17,9 % for at nøyaktig 15 frø vil spire. b Med et digitalt verktøy finner vi at P (høyst 15 frø vil spire) = 0,762 = 76,2 % Sannsynligheten er 76,2 % for at høyst 15 frø vil spire. c Hendelsene minst 16 frø vil spire og høyst 15 frø vil spire er komplementære hendelser. Av regelen for komplementære hendelser får vi P(minst 16 frø vil spire) = 1 P(høyst 15 frø vil spire) = 1 0, 762 = 0, 238 = 23,8 % Sannsynligheten er 23,8 % for at minst 16 frø vil spire. 4.41 a Vi bruker et digitalt verktøy til å finne den binomiske sannsynligheten når n = 500, 1 p = og 2 r = 250. P (nøyaktig 250 krone) = 0, 036 = 3, 6 % Sannsynligheten for å få nøyaktig 250 krone er 3,6 %. b P (høyst 250 krone) = 0,518 = 51,8 % Sannsynligheten for å få høyst 250 krone er 51,8 %. Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 19

c P(minst 230 og høyst 280 krone) = P(høyst 280 krone) P(høyst 229 krone) Digitalt verktøy gir at P (høyst 280 krone) = 0,9968 P (høyst 229 krone) = 0,0333 P (minst 230 og høyst 280 krone) = 0,9968 0,0333 = 0,964 = 96,4 % Det er 96,4 % sannsynlig at vi vil få minst 230 og høyst 280 krone. 4.42 a Vi kan se på meningsmålingen som et binomisk forsøk der n = 1000 og p = 0,10. Med digitalt verktøy finner vi at P (høyst 120 ville ha stemt på Kristelig Folkeparti) = 0,9827 0,983 = 98,3 % Sannsynligheten er 98,3 % for at høyst 120 av de spurte ville ha stemt på Kristelig Folkeparti. b P (høyst 79 ville ha stemt på Kristelig Folkeparti) = 0,0133 0,013 = 1,3 % Sannsynligheten er 1,3 % for at høyst 79 av de spurte ville ha stemt på Kristelig Folkeparti. c Oppslutningen på meningsmålingen blir 8,0 % dersom 80 av de spurte ville ha stemt på Kristelig Folkeparti. Oppslutningen blir 12,0 % dersom 120 av de spurte ville ha stemt på Kristelig Folkeparti. Altså er P(minst 8,0 % og høyst 12,0 % oppslutning) = P(minst 80 og høyst 120 ville ha stemt på KrF) = P(høyst 120 ville ha stemt på KrF) P(høyst 79 ville ha stemt på KrF) = 0,9827 0, 0133 = 0,969 = 96,9 % Sannsynligheten er 96,9 % for at Kristelig Folkepartis oppslutning på meningsmålingen blir minst 8,0 % og høyst 12,0 %. Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 19