Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012
Eksponentialfunksjoner
Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En eksponentialfunksjon f har formen: f (x) = a x hvor den positive konstanten a 1 kalles grunntallet.
Eksponentialfunksjoner
Regler: Eksponentregning Eksponentialfunksjoner
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y:
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y: a x a y = a x+y
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y: a x a y = a x+y ax a y = a x y
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y: a x a y = a x+y ax a y = a x y (a x ) y = (a y ) x = a xy
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y: a x a y = a x+y ax a y = a x y (a x ) y = (a y ) x = a xy a x b x = (ab) x
Eksponentialfunksjoner Regler: Eksponentregning Hvis a og b er positive tall er følgende regler gyldige for alle reelle tall x og y: a x a y = a x+y ax a y = a x y (a x ) y = (a y ) x = a xy a x b x = (ab) x ax b x = ( a b ) x
Den naturlige eksponentialfunksjonen
Den naturlige eksponentialfunksjonen Den mest brukte og viktigste eksponentialfunksjonen har grunntall e = 2.718281828...
Den naturlige eksponentialfunksjonen Den mest brukte og viktigste eksponentialfunksjonen har grunntall e = 2.718281828... Definisjon: Den naturlige eksponentialfunksjonen
Den naturlige eksponentialfunksjonen Den mest brukte og viktigste eksponentialfunksjonen har grunntall e = 2.718281828... Definisjon: Den naturlige eksponentialfunksjonen Den naturlige eksponentialfunksjonen har formen: y = e x
Den naturlige eksponentialfunksjonen Den mest brukte og viktigste eksponentialfunksjonen har grunntall e = 2.718281828... Definisjon: Den naturlige eksponentialfunksjonen Den naturlige eksponentialfunksjonen har formen: y = e x 4 3 2 6 4 8 6 4 1 2 2 0 2 1 1 2 x 0 2 1 1 2 x 0 2 1 1 2 x (m) 2 x, m 0.7 (n) e x, m = 1 (o) 3 x, m 1.1
Enentydige funksjoner
Enentydige funksjoner Hver verdi i verdimengden, f(x), til en funksjon er funksjonsverdien til minst ett element, x, i definisjonsmengden. For enentydige funksjoner kan vi erstatte "minst ett" med "nøyaktig ett"
Enentydige funksjoner Hver verdi i verdimengden, f(x), til en funksjon er funksjonsverdien til minst ett element, x, i definisjonsmengden. For enentydige funksjoner kan vi erstatte "minst ett" med "nøyaktig ett" Definisjon: Enentydig funksjon En funksjon sies å være enentydig på et definisjonsområde D, hvis f (x 1 ) f (x 2 ) når x 1 x 2 i D
Enentydige funksjoner Hver verdi i verdimengden, f(x), til en funksjon er funksjonsverdien til minst ett element, x, i definisjonsmengden. For enentydige funksjoner kan vi erstatte "minst ett" med "nøyaktig ett" Definisjon: Enentydig funksjon En funksjon sies å være enentydig på et definisjonsområde D, hvis f (x 1 ) f (x 2 ) når x 1 x 2 i D Denne definisjonen medfører at en enentydig funksjon ikke kan krysse enhver horisontal linje mer enn en gang. Dette kalles horisontallinjetesten for enentydige funksjoner.
Enentydige funksjoner - Eksempel Eksempel: 8 4 6 4 3 2 2 1 1 2 x 2 4 2 1 6 8 (p) x 3, enentydig på (, ) 2 1 0 1 2 x (q) x 2, ikke enentydig på (, )
Inverse funksjoner
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen.
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen. Definisjon: Invers funksjon
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen. Definisjon: Invers funksjon Dersom f er enentydig på en definisjonsmengde D med verdimengde R er den inverse funksjonen f 1 definert som f 1 (a) = b hvis f (b) = a. Definisjonmengden til f 1 er R og verdimengden er D.
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen. Definisjon: Invers funksjon Dersom f er enentydig på en definisjonsmengde D med verdimengde R er den inverse funksjonen f 1 definert som f 1 (a) = b hvis f (b) = a. Definisjonmengden til f 1 er R og verdimengden er D. Framgangsmåte for å finne den inverse funksjonen:
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen. Definisjon: Invers funksjon Dersom f er enentydig på en definisjonsmengde D med verdimengde R er den inverse funksjonen f 1 definert som f 1 (a) = b hvis f (b) = a. Definisjonmengden til f 1 er R og verdimengden er D. Framgangsmåte for å finne den inverse funksjonen: Løs y = f (x) for x. Dette gir x = f 1 (y) hvor x er en funksjon av y
Inverse funksjoner Fordi en enentydig funksjon har en unik verdi for hver input kan vi invertere funksjonen og sende verdien tilbake til inputen. Definisjon: Invers funksjon Dersom f er enentydig på en definisjonsmengde D med verdimengde R er den inverse funksjonen f 1 definert som f 1 (a) = b hvis f (b) = a. Definisjonmengden til f 1 er R og verdimengden er D. Framgangsmåte for å finne den inverse funksjonen: Løs y = f (x) for x. Dette gir x = f 1 (y) hvor x er en funksjon av y Bytt om på x og y slik at vi får det vanlige formatet y = f 1 (x) med y som funksjon av x
Logaritmiske funksjoner
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a.
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Definisjon: Logaritmefunksjon
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Definisjon: Logaritmefunksjon Logaritmefunksjonen med grunntall a, y = log a x, er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen med grunntall a, y = a x (a > 0, a 1).
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Definisjon: Logaritmefunksjon Logaritmefunksjonen med grunntall a, y = log a x, er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen med grunntall a, y = a x (a > 0, a 1). Spesielt viktige grunntall:
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Definisjon: Logaritmefunksjon Logaritmefunksjonen med grunntall a, y = log a x, er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen med grunntall a, y = a x (a > 0, a 1). Spesielt viktige grunntall: e: log e x skrives ln x.
Logaritmiske funksjoner Fordi en eksponentialfunksjon med grunntall a, f (x) = a x, er enentydig for alle relle tall (merk a 1), har den en inversfunksjon. Denne kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Definisjon: Logaritmefunksjon Logaritmefunksjonen med grunntall a, y = log a x, er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen med grunntall a, y = a x (a > 0, a 1). Spesielt viktige grunntall: e: log e x skrives ln x. 10: log 10 x skrives log x
Logaritmiske funksjoner
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x "Reciprocal" -regel: ln 1 x = ln x
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x "Reciprocal" -regel: ln 1 x = ln x Potensregel: ln x b = b ln x
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x "Reciprocal" -regel: ln 1 x = ln x Potensregel: ln x b = b ln x
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x "Reciprocal" -regel: ln 1 x = ln x Potensregel: ln x b = b ln x Formel: Omgjøring av grunntall
Logaritmiske funksjoner Regler: Regneregler for naturlige logaritmer Anta b > 0 og x > 0. Vi har da Produktregel: ln bx = ln b + ln x Kvotientregel: ln b x = ln b ln x "Reciprocal" -regel: ln 1 x = ln x Potensregel: ln x b = b ln x Formel: Omgjøring av grunntall Enhver logaritmefunksjon er lik den naturlige logaritmefunksjonen multiplisert med en konstant faktor. log a x = ln x ln a (a > 0, a 1)
Inverse trigonometriske funksjoner
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige.
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2).
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene.
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene.
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene. Definisjon: Inverse trigonometriske funksjoner
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene. Definisjon: Inverse trigonometriske funksjoner y = sin 1 x = arcsin x er tallet i [ π/2, π/2] slik at sin y = x
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene. Definisjon: Inverse trigonometriske funksjoner y = sin 1 x = arcsin x er tallet i [ π/2, π/2] slik at sin y = x y = cos 1 x = arccos x er tallet i [0, π] slik at cos y = x
Inverse trigonometriske funksjoner På den naturlige definisjonsmengden er det tydelig at sin x, cos x og tan x ikke er enentydige. Derimot kan vi gjøre dem enentydige ved å begrense definisjonsmengden for sin x til [ π/2, π/2], cos x til [0, π] og tan x til ( π/2, π/2). Denne begrensningen av definisjonsområde lar oss definere de inverse trigonometriske funksjonene. Definisjon: Inverse trigonometriske funksjoner y = sin 1 x = arcsin x er tallet i [ π/2, π/2] slik at sin y = x y = cos 1 x = arccos x er tallet i [0, π] slik at cos y = x y = tan 1 x = arctan x er tallet i ( π/2, π/2) slik at tan y = x
Inverse trigonometriske funksjoner
Inverse trigonometriske funksjoner Vanlig funksjon i grønt og invers funksjon i rødt. 1.5 3 2 1 0.5 2 1 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 x 0.5 1 1 1 0 1 2 3 x 4 2 0 2 4 x 1 1.5 1 2 (u) sin x, arcsin x (v) cos x, arccos x (w) tan x, arctan x