DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksaen i MIK130, Systeidentifikasjon (10 sp) Dato: Torsdag 17 deseber 2009 Lengde på eksaen: 4 tier Tillatte hjelpeidler: Kun standard enkel kalkulator, HP30S, Casio FX82 eller TI-30. Bokål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 inutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 inutt for hver 5 poeng, da har en 20 inutt til pauser og 20 inutt ekstra. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på fire oppgaver, i tillegg er det ed noen nyttige forler i del 5 side 5. Oppgavesettet er totalt 5 sider (inkludert denne forsida).
1 Statistiske egenskaper for ARX-prosess (Antall poeng for denne oppgaven er 5+10+5 = 20) En har gitt følgende prosess: y(k) = ay(k 1) + bu(k 1) (1.1) a og b er konstanter. Anta at pådraget {u(k)} er stasjonær stokastisk hvit støy ed iddelverdi null og varians σ 2 u. 1.a (5 poeng) Beregn forventningsverdien y. 1.b (10 poeng) Beregn kovariansen R y (0) = E{ ( y(k) y ) 2 }. 1.c (5 poeng) Finn transferfunksjonen h(z). 2 Sprangrespons for et førsteordenssyste (Antall poeng for denne oppgaven er 5+5+5 = 15) 2.a (5 poeng) Forklar hva sprangresponsen (stegresponsen) for et syste er. 2.b (5 poeng) Et førsteordenssyste ed forsinkelse kan odelleres ed h(s) = K T r s + 1 e τs. (2.1) Tegn sprangresponsen for dette systeet. 2.c (5 poeng) Forklar hvordan paraetrene K, T r og τ kan finnes (identifiseres) ut fra sprangresponsen til systeet. 2
3 Masse-fjær-deper-syste (Antall poeng for denne oppgaven er 5+8+2+15+5 = 35) Diskretisering av tilstandsroodell (TRM) er å gå fra den kontinuerlige TRM til den diskrete TRM so vist her ẋ = Ax + Bu y = Dx + Eu x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Dx(k) + Eu(k) (3.1) Eksakt diskretisering ed nullteordens holdeeleent gir følgende saenheng Γ = T 0 Φ = e AT = L 1{ (si A) 1} t=t (3.2) e Aτ dτ B = L 1 {(si A) 1 1 s B } t=t (3.3) Gitt følgende tidskontinuerlige odell for et asse-fjær-deper syste: ẍ = K d ẋ K f x + F (3.4) der er asse, K d er depekonstant, K f er fjærkonstant, F er kraft og x er posisjon. y = x er utgangsvariabel, pådraget er krafta u = F. 3.a (5 poeng) En kan i prinsippet velge tilstandsvariabler på uendelig ange åter, en å velge tilstand en so posisjon x 1 = x og tilstand to so fart x 2 = ẋ er est hensiktsessig. Vis at atrisene A, B, D og E i den kontinuerlige TRM, ligning (3.1), blir so nedenfor A = 0 1 K f K d 0, B = 1 D = 1 0, og E = 0. 3.b (8 poeng) Sett opp en diskret TRM basert på diskretisering av odellen i punkt a ed nullteordens holdeeleent og Eulers foroveretode. Saplingsintervallet er T sek. 3.c (2 poeng) Sett inn følgende tallverdier: = 1, K d = 3, K f atrisene i den diskrete TRM fra punkt b. = 2, T = 0.05 og beregn 3.d (15 poeng) Bruk tallverdier: = 1, K d = 3, K f = 2, en ikke gi en tallverdi for tidssteget 3
T. En kan nå finn atrisene i den diskrete TRM ed eksakt diskretisering ed å bruke forlene (3.2) og (3.3). For Γ får en 0.5 e Γ = T + 0.5e 2T e T e 2T. (3.5) Finn atrisa Φ. 3.e (5 poeng) Finn en øvre grense for tidsteget i punkt d. Bruk tallverdier: = 1, K d = 3, K f = 2. 4 Kalan-filter for paraeterestiering (Antall poeng for denne oppgaven er 10+8+7+5 = 30) Modellen so ofte brukes for paraeterestiering er y(k) = ϕ T (k)θ + e(k) (4.1) Kalan-filteret er basert på en tilstandsroodell x(k + 1) = Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k) (4.2) y(k) = D(k)x(k) + w(k). (4.3) 4.a (10 poeng) Forklar hvordan en kan overføre odellen i ligning 4.1 til en tilstandsroodell. 4.b (8 poeng) Viktig ved ipleetering av et Kalanfilter, ligningene 5.3 til 5.7, er atrisene Q og R. Forklar hvordan disse er definert. Forklar også hvordan de kan brukes so tuningsparaetre for Kalan-filteret. 4.c (7 poeng) Kalan-filter kan gjerne brukes i stedet for RLS ved paraeterestiering. Forklar fordeler og uleper ed å bruke Kalan-filter i forhold til RLS. 4.d (5 poeng) I ipleeteringen av Kalan-filteret, ligningene 5.3 til 5.7, har en både P og ˆP, ens en i RLS har kun ei P atrise. Hva er definisjonen for hver av disse tre atrisene. Forklar en viktig forskjell, og en viktig forbindelse (saenheng eller likhet) ello P og ˆP på den ene siden og P på den andre siden. 4
5 Forler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser ed nullte ordens saple- og holdeeleent på inngangen: h(z) = Z L 1 { G(s) s so alternativt kan skrives h(z) = (1 z 1 )Z Tranforasjonspar L { e at} = 1 s a ( 1 e T s )} t=kt, (5.1) L 1 { G(s) s L{1} = 1 s, L{t} = 1 s 2 og generelt L{t n 1 } = L { te at} = } t=kt. (5.2) (n 1)! s n 1 L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s Kalan-filter I vår utledning av Kalan-filteret ko vi fra til følgende ligninger so oppsuerer hovedløkka, det er det so gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k 1) + Γu(k 1) (5.3) P (k) = Φ ˆP (k 1)Φ T + Q (5.4) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) 1 (5.5) ˆx(k) = x(k) + K(k)y(k) Dx(k) (5.6) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (5.7) Matriser Ei 2 2 atrise og den inverse er a b A = c d, A 1 = 1 ad bc d b c a. (5.8) Deterinanten er: det A = ad bc. Egenverdier for ei atrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon x = x1 x 2 d d sin x = cos x dx, f = f1 ( ) f 2 ( ) gir dx cos x = sin x (5.9) f f1 f 1 x = x 1 x 2. (5.10) f 2 x 1 f 2 x 2 5