11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon 3 1.4. Ikke pensum 3 1.5. Funksjoner av flere variabler 3 1.6. Partielle deriverte med flere variabler 4 1.7. Ikke pensum 4 1.8. Partielle elastiteter 5 2. Komparativ statikk 5 2.1. Enkel kjerneregel 5 2.2. Generelle kjerneregler 6 1. Funksjoner av flere variabler For å beskrive situasjoner som avhenger av flere faktorer. 1.1. Funksjoner av to variabler. Definition 1. En funksjon f av to variabler x og y med definisjonsmengde D er en regel som tilordner et bestemt tall f (x, y) til hvert punk (x, y) i D. Når en funksjon er av to variabler brukes ofte benevningen z = f (x, y) hvor z er skrevet som verdien til f (x, y). Ienslikfunksjonkallervi x og y kalles uavhengige variabler, mens z kalles en avhengig variabel. Fordi verdien til z avhenger av verdien på x og y. Definisjonsmengden er da den mengden av alle kombinasjoner funksjonen er definert for, mens verdimengden er mengden av alle tilhørende verdier av den avhengige variablen. Eksogene: x og y kalles ofte dette i økonomi. Endogene: z er benevnt som denne. 1
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 2 1.1.1. Cobb-Douglas-funksjon. En funkjson av to variabler som opptrer i en rekke økonomiske modeller. F (x, y) =Ax a y b (A, a, b er konstanter) Brukes til å beskrive forskjellige produksjonsprosesser, og x, y kalles innstatsfaktorer, mens F (x, y) kan beskrive antallet som er blitt produsert. 1.1.2. Noen eksempler. Example. IenundersøkelseavetterspørselenettermeliNorgefinnerR.Frisch og T. Haavelmo en sammenheng av formen: Hvor x er melkeforbruk pr tidsenhet, p er den relative prisen på melk og r er inntekt per familie. x = A r2.08 p 1.5 (Apositivkonstant) Example 2. For funksjonen F gitt i 1.1.1 finn et uttrykk for F (2x, 2y) og for F (tx, ty), når t er vilkårlig positivt tall. Finn også uttrykk for F (x + h, y) F (x, y). Giøkonomisketolkninger. a) Viser at når innstatsfaktorene dobles, blir antallet produserte enheter 2 a+b ganger større. b) Viser at når innsatsfaktorene blir t ganger større blir antallet produserte enheter t a+b ganger større. På grunn av egenskapene til F kaller vi funksjonen F homogen av grad a + b. c) Endring i antallet produserte enheter når den ene innstatsfaktoren endres med h-enheter. 1.2. Partielle deriverte med to variabler. Idetteavsnittetskalvikunderivere den ene av de to variablene, dette kalles den partielle deriverte. Harfunksjonen z = f (x, y) =x 3 +2y 2. Tenker x = a Tenker y = a a N dy = d dy a3 +4y =4y a N dx =3x2 + d dx 2a2 =3x 2 Definition 3. Hvis z = f (x, y), lar vi/dx bety den deriverte av f (x, y) mhp. x når y holdes konstant, og vi lar /dy bety den deriverte av f (x, y) mhp. y npr x holdes konstant. Litt notasjon. De vanligste skrivemåtene for partielle deriverte. df dx = dx = z0 x = f 0 df (x, y) (x, y) =f 1 (x, y) = dx df dy = dy = z0 y = fy 0 df (x, y) (x, y) =f 2 (x, y) = dy Økonomer og fysikere dropper ofte f ogskriverhellerf 1 (x, y) eller f 2 (x, y). Refererer til posisjonen til argumentene i funksjonen. f 0 1 antyder partiell derivasjon mhp. den første variabelen og i dette tilfellet x.
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 3 1.2.1. Formelle definisjoner av førsteordens partielle deriverte. 1: f 1 (x, y) = lim h!0 f (x + h, y) f (x, y) h 2: f 2 (x, y) =lim k!0 f (x, y + k) f (x, y) k Hvis grensen ikke eksisterer så sier vi at f a (x, y) ikke eksisterer. Eller at z ikke er deriverbar med hensyn på x eller y idetaktuellepunktet. Hvis h = dx er liten i tallverdi, gir definisjonen 2 approksimasjonen f 0 1 (x, y) [f (x + dx, y) f (x, y)] /dx, slik at f 0 1 (x, y) dx = f (x + dx, y) f (x, y) Hvis dy er en liten tallverdi så gjelder dette også for f 2 (x, y). 1.2.2. Høyere ordens partielle deriverte. Ved å derivere med hensyn på x og yfårvifremtonyefunksjoner. Dissetokanigjenderiveresmedtankepåxeller y, altså blir det fire nye funksjoner som er andrederivert. Disse kalles partielle deriverte av annen orden. x x x y = 2 f x 2 = 2 f xy y = 2 f x yx = 2 f y y 2 y 1.3. Geometrisk representasjon. Punkt (P ) i: xy planet P (x 0,y 0, 0) yz planet P (0, y 0,z 0 ) xz planet P (x 0, 0, z 0 ) Tenk den geometriske representasjonen som en kube hvor den siden som er nærmest og peker mot meg er xz planet osv... 1.3.1. Nivåkurver. Vi har funksjonen f (x, y) = z, vedåsepåfunksjonenu xy planet med bestemte verdier for x og y slik at z = a og plotte de ulike x og y variablene med tiltenkte verdier slik at f (x, y) =a. 1.3.2. Geometrisk tolkninger av de partielle deriverte. La z = f (x, y) være en funksjon av to variabler. 1.4. Ikke pensum. 1.5. Funksjoner av flere variabler. Enhver ordnet sammensetning av n tall (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kalles en n-tuppel eller en n-vektor. For å benevne en slik tilordnes normalt en enkelt fet bokstav: x =(x 1,x 2,x 3,...,x n ) Definition 4. En funksjon av n variabler (x 1,x 2,x 3,...,x n ) med definisjonsmengde D er en regel som tilordner et bestemt tall f (x 1,x 2,x 3,...,x n ) til enhver n vektor (x 1,x 2,x 3,...,x n ) i D.
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 4 Cobb-Douglas-funksjonen. Viser et spesielt tilfelle av denne funksjonen. F (x 1,x 2,x 3,...,x n )=Ax a1 1 xa2 2... xan n Anta at A>0, og x 1 > 0,...x n > 0, vedåtadennaturligelogaritmenpåhver side (samma det da). Så sier vi at funksjonen blir log-linjær. logf (x 1,x 2,x 3,...,x n )=loga + logx a1 1 + logxa2 2 +... + logxan n Som er en linjær funksjon. Kontinuitet. Remark 5. Enhver funksjon av n variabler bygd opp av kontinuerlige funksjoner ved addisjon, multiplikasjon, kvotientdannelse og funksjonssammensetninger, er kontinuerlige overalt hvor den er definert. Det n-dimensjonale euklidske rommet. Mengden av alle n vektorer av reelle tall den n dimensjonale Euklidske rommet, eller n rommet og betegner det med R n,forn {1, 2, 3} ekisterer det geometriske representasjoner for R n,menfor n 4 eksisterer det ingen geometrisk tolkning. n = Sum(x 1,x 2,...,x n ) 9 (n), { n } {1, 2, 3} V n6=0 R n 9 (n), { n } 4 V n6=0 R n Hvor R n betegner en geometrisk tolkning. 1.6. Partielle deriverte med flere variabler. Theorem 6. Hvis z = f (x 1,x 2,...,x n ) betyr df/dx i den deriverte av f (x 1,x 2,...,x n ) mhp x i hvor i apple n når alle de andre variablene holdes konstante. Fact 7. Den partielle deriverte df/dx i er tilnærmet lik den endringen vi får i z = f (x 1,x 2,...,x n ) ved å øko x i med én enhet, mens alle de andre x j j {1, 2,...,n} j 6= i holdes konstante. For hver av de n partielle deriverte av første orden til f får vi n partielle deriverte av annen orden: f = 2 = z 00 ij x j x i x j x i Idettetilfelletkani og j anta alle verdiene { i j } n slik at det er i alt n 2 annenordens partiellderiverte. Young s-setning: Anta at alle de m teordens partielle deriverte av funksjonen f (x 1,x 2,...,x n ) er kontinuerlige. Hvis to av disse innebærer derivasjon mhp. hver variabel like mange ganger, er de nødvendigvis like. 1.7. Ikke pensum.
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 5 1.8. Partielle elastiteter. Med: to-variabler Hvis z = f (x 1,y), definerervidepartielleelastiteteneavz mhp. x og y ved Med: n-variabler Hvis z = f (x 1,x 2,...,x n ) El x z = x z dx, El yz = y z x i df (x 1,x 2,...,x n ) El i z = = x i f (x 1,x 2,...,x n ) dx i z dx i Tallet El i z er tilnærmet lik den prosentvise forandringen vi får ved å øke x i med 1% og holde alle de andre x ene konstante. 2. dy Komparativ statikk Studere funksjoner som er definert implisitt, ved at de passer i et system av ligninger. Dette temaet er meget viktig. 2.1. Enkel kjerneregel. Økonomiske funksjoner er gjerne sammensatt av funksjoner med flere variabler. En funksjon som viser antall produserte enhheter av en vare være funksjon av kapital og arbeidskraft som igjen er funksjoner av tiden. Anta at z er en funksjon av x og y, med z = F (x, y) der x og y begge er funksjoner av en variabel t. x = f(t), Ved å sette disse inn i z får vi y = g(t) z = F (f(t), g(t)) På denne måten blir z en funksjon av bare t. Theorem. Kjerneregelen Hvis z = F (x, y) med x = f(t) og y = g(t), er F1(x, 0 y) dx dt + F 2(x, 0 y) dy dt. ' 0 '(t + t) '(t) (t) =lim = F 0 t!0 t 1(x, y) dx dt + F 2(x, 0 y) dy dt Eller om z = F (x, y), x = f (t, s), y = g (t, s) Altså ser z en funksjon av t og s, Idettetilfelletblir z = F (f (t, s),g(t, s)) 1: dt = F 1(x, y) dx dt + F 2(x, y) dy dt 2: ds = F 1(x, y) dx ds + F 2(x, y) dy ds dt =
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 6 2.2. Generelle kjerneregler. Det er nødvendig med en mer generell versjon av kjerneregelen. Anta at z = F (x 1,..., x n ) og x 1 = f 1 (t 1,...,t m ),...,x n = f n (t 1,...,t m ) Det er altså veldig mange variabler. funksjon. I dette tilfellet er z en sammensatt Theorem 8. Den generelle kjerneregelen Når z er en sammensatt funksjon er kx dx n =, j {1, 2, 3,...,m} dt j dx n dt j n=1