DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 7. april 015 Tidsfrist: 15. april 015 Oppgave 1 Her studerer vi et stivt 1 system som består av tre punktmasser m 1 1 kg, m kg, m 3 3 kg. Ved t 0 ligger de tre massene ro i punktene P 1, P 1, P 3 med posisjonsvektorer OP 1 x 1 [ 1, 1], OP x [0, 1], OP 3 x 3 [, 0]. I det følgende ser vi på bevegelsen som en bevegelse sammensatt av Massesenterets bevegelse. Rotasjon omkring massesenteret. Massesenterets bevegelse er direkte bestemt av summen av kreftene som virker på systemet. Rotasjonen omkring massesenteret er bestemt av summen av dreiemomentene (sett fra massesenteret). Vi forestiller oss at vi fester en rakettmotor til legeme 1 og at denne ved t 0 gir en kraft f [, 0] kg m s [, 0]N. Vi lar rakettmotoren sitte fast i systemet mens det dreier. Dermed vil kraften endre retning når systemet begynner å rotere. På den annen side vil dreiemomentet (sett fra massesenteret) være konstant. Måleenheten langs x- og y-aksen er meter. Tiden måles i sekunder. 1 Systemet er stivt når avstanden mellom partiklene i systemet holdes konstant. D.v.s. at form og størrelse forblir uendret.
a) Regn ut posisjonsvektoren x CM til massesenteret til systemet ved t 0. Den totale massen er på 1 kg + kg + 3 kg kg. Massesenteret har dermed posisjonsvektor x CM 1 [ 5 (1 kg[ 1, 1] + kg[0, 1] + 3 kg[, 0]) kg, 1 ] b) Regn ut treghetsmomentene J 1, J, J 3 til de tre partiklene i forhold til massesenteret. Regn ut det totale treghetsmomentet J til systemet. Vi har J 1 m 1 r1 m 1 x 1 x CM 1 [ ] 11 7 85 18 4.7 J m r m x x CM [ ] 5 5 5 9.78 J 3 m 3 r3 m 3 x 3 x CM 3 [ ] 7 1 5 4.17 Dermed er J J 1 + J + J 3 35 3 11.7 c) Regn ut akselerasjonen til massesenteret ved t 0. Massesenterets akselerasjon er bestemt av ligningen Mẍ CM Summen av ytre krefter, der M kg er den totale massen i systemet. I dette tilfellet har vi kun én ytre kraft, nemlig f [, 0]N (ved t 0). Massesenterets akselerasjon, ẍ CM f [ ] 1 M m 3 s, 0.
d) Regn ut kraftmomentet τ om massesenteret som kraften f gir på systemet. Regn ut vinkelakselerasjonen α til systemets rotasjon om massesenteret. Anta at vinkelhastigheten ved t 0, ω(0) 0. Finn en formel for vinkelhastigheten ved tid t. Her bruker vi formelen τ F l sin φ, der F er kraftens størrelse, l er avstanden til massesenteret og φ er angrepsvinkelen. Her er 170 l r1.17 mens angrepsvinkelen φ er lik vinkelen mellom vektoren x 1 x CM og f. For å gjøre formlene litt enklere definerer vi vektoren y x 1 x CM [ ] 11 7 I så fall tilfredsstiller angrepsvinkelen formelen cos φ y f y f Vi kan bruke denne formelen til å regne ut vinkelen, for så å regne ut sin φ utifra vinkelen. Men, vi kan gjøre det enklere, siden (sin φ) + (cos φ) 1. Det betyr at sin φ 1 (cos φ) ( ) y f 1 y f ( y f ) y f, lf der l y og F f.
Kraftmomentet (Måleenheten her er Nm). Vinkelakselerasjonen τ F l sin φ F l lf 85 18 4 49 9 7 3 ( ) 11 3 α τ J 7/3 35/3 7 35 1 5 (Måleenheten er radianer pr sekund pr sekund: rad s.) Siden denne raketten sitter fast i systemet mens det roterer, vil kraftmomentet, og dermed også vinkelakselerasjonsn være konstant. Når ω(0) 0, medfører dette at ω(t) 1 5 t. e) La θ(t) betegne vinkelen som systemet har rotert siden t 0. Finn en formel for θ(t). Tips: θ (t) ω(t) og θ(0) 0. Her har vi samme situasjon som lineær bevegelse med konstant akselerasjon, der vi bruker formelen s(t) s 0 + v 0 t + 1 at. Her får vi θ(t) θ(0) + ω(0)t + 1 αt, og siden θ(0) 0, ω(0) 0 og α 1/5, får vi θ(t) 1 10 t. f) (Nøtt?) Vi får ikke til å skrive opp formler som beskriver massesenterets bevegelse.
Forklar kort hvordan du kan simulere en tilnærmelsesvis korrekt variant av denne bevegelsen. Massesenterets bevegelse er utelukkende bestemt av kraften i rakettmotoren. Vi betegner den resulterende kraften ved tid t f(t). Denne kraften har konstant størrelse på N. Som vektor varierer den dog, siden den roterer med partikkelsystemet. Vi har kontroll på rotasjonen fra forrige punkt, så vi vet at vinkelen mellom f(t) og x-aksen er 1 10 t radianer. Dermed er f(t) [ cos(t /10) sin(t /10) ]. Vi vet altså hva kraften er til enhver tid, og dermed akselerasjonen. Dermed kan vi bruke Eulers metode eller Størmer-Verlet-metoden til å simulere bevegelsen. g) (Helt frivillig) Bruk java-klassen ParticleSimulation.java til å simulere bevegelsen til massesenteret til dette systemet. Her er det mulig at du må justere litt på fart og krefter for at det skal bli noe å se på. Her var det ønskelig å kunne tune parametere for å få til en brukbar visualisering. Dermed tok jeg utgangspunkt i en kraft av følgende type: f(t) [ FORCE cos(t ROTATION_SPEED) FORCE sin(t ROTATION_SPEED) ]. I en Størmer-Verlet-simulering kan den praktiske løsningen se omtrent slik ut: class SVRocket extends Rocket { private Vector[] positions new Vector[]; private Vector force new Vector(0,0); private int i; private double FORCE 0.; private double ROTATION_SPEED 0.00; private double step;
SVRocket(double x, double y,int rate, double speed){ super(rate); step rate*speed; i 1; } positions[0] new Vector(x,y); positions[1] new Vector(x,y); color Color.green; /*...*/ public void update(){ i + 1; double time + i*step; force.x FORCE*Math.cos(time*time*ROTATION_SPEED); force.y FORCE*Math.sin(time*time*ROTATION_SPEED); Vector current positions[(i)%]; Vector previous positions[(i-1)%]; Vector next positions[(i+1)%]; } } next.x *current.x - previous.x + step*step*force.x; next.y *current.y - previous.y + step*step*force.y;