To faser, olje og vann, i en dimensjon

To faser, olje og vann, i en dimensjon Utvid programmet til også å inkludere strøm av de to fasene olje og vann i en dimensjon for et horisontalt system Bruk kvasi-implisitt formulering med kordemetoden Bruk p o og s o som ukjente Løs ligningssettet med SOLVE, dvs med eliminasjon eller simultan løsning for p o og s o Legg inn opsjon for produksjon mot konstant trykk, pconst, ved utløpet av blokk 1 Les inn tabell av PVT-data og bergartsdata Dimensjoner til 20 blokker Bruk oppstrøms relative permeabiliteter Testeksempelet en skal simulere tilsvarer øving 102 i Dake sin lærebok [?], sml også øving 101 i samme bok I dette eksempelet er kapillartrykket p c satt lik null Vi skal likevel formulere ligningene i modellen med kapillartrykksledd En får bruk for dette i øving 10, som behandler simulering av et laboratorieeksperiment for å må relative permeabilitetskurver, med og uten kapillartrykk Følgende data inngår: mx = 20 bruk lik blokklengde Lengde 2000 ft, tverrsnitt 625 40 ft 2 φ 018 Initiell vannmetning s wi 020 B oi 13 rb/stb, c o 80 10 6 psi 1 B wi 10 rb/stb, c w 30 10 6 psi 1 o 50 cp, konstant w 05 cp, konstant Relative permeabiliteter er gitt av tabell 101 i boken til Dake, og en setter p c 0 En vannrate på 1000 stb/d injiseres i blokk nr 20 og produksjonen skjer mot konstant trykk ÔÓÒ Ø p i ved utløpet av blokk nr 1 1

Initielt trykk p i = 2000 psia Simuler vanndrivet i 25 år, og gjør følgende sammenligninger: A Ved tid ett år, plott s w som funksjon av avstand fra injeksjonsenden beregnet fra: 1 Simuleringsmodellen 2 Buckley-Leverett teorien, se Dake [?], kapittel 10 Forklar forskjellen mellom i) og ii) B Sammenlign WOR versus tid i 25 år NPC versus tid i 25 år beregnet med de samme to metodene som under A 2

Kommentarer For strøm av en fase i en dimensjon har vi fra før ckb p x x q φ b t og utvidet til to faser får en etter en helt tilsvarende utledning ckkro b o p o x o x for oljeligningen, og for vannligningen ckkrw b w p w x w x q o φ t s ob o (1) q w φ t s wb w (2) I tillegg har en definisjonen av kapillartrykk, p w p o p c, og at summen av metningene må være lik en: s w s o 1 I disse ligningene er b o o funksjoner kun av p o,og b w w kun av p w, mens k ro k rw p c kun er funksjoner av s w Det fins mange måter å formulere ligningssettet på i numerisk forstand: A Impes metoden B Fullstendig implisitt formulering (Newton) C Kordemetoden eller kvasi-newton Her skal vi kort beskrive metode A og B, og gå i detalj og bruke metode C I det følgende lar vi superskript k betegne iterasjonsnivå, og n tidsnivå, slik at modellen går fra tidsnivå n til n 1 ved hjelp av flere iterasjoner La oss først formulere ut høyre side av ligningen: hvor φ t s ob o b o b n 1 o s o s n 1 o φ t φ t φ t b n o2 s n o2 s o s n 1 o s n o p o p n 1 o p n o s o b o n 1 s o b o n b o s o s o b o b o s o s o b o p o p o Tilsvarende finner en for vannligningen: φ t s wb w φ t b w s w s w b w p w p w 3

IMPES-metoden Betegnelsen IMPES er et akronym for Implicit Pressure Explicit Saturation De metningsavhengige størrelsene, k ro k rw p c, holdes fast på tidsnivå n, mens en løser trykket implisitt for tidsnivå n 1 Siden s w s o, elimineres s o på høyre side av ligningen og en står igjen med en ligning i trykk Denne ligningen er fremdeles ulinær siden b avhenger av trykk, og s o inngår Grovt sett løses den i følgende trinn: 1 Foreta en implisitt løsning av trykkene 2 Beregn s o fra ligning 1 eller 2 3 Oppdater koeffisienter og b s o s w etc 4 Start på punkt 1 igjen Denne metode fungerer godt dersom det ikke er for store metningsendringer per tidssteg Den blir derfor ofte brukt i full felt modeller hvor de numeriske blokkene er store Trykket løses ved eliminasjon eller LSOR Oppstrøms relative permeabiliteter I strømningsleddet på venstre side av oljeligningen 1 inngår leddet k ro b o o For strøm av en fase, hvor k ro 1, har vi tidligere brukt middelverdi av b o o både i tid og avstand Dette kan ikke gjøres uten videre for k ro, som eksemplifisert: Figuren illustrerer vann W O W O olje vann Figur 1: Illustrasjon av oppstrøms relative permeabiliteter et vanndriv fra venstre mot høyre I blokk i er oljemetningen s or og k ro 0 I blokk ip er s o s or og k ro 0 Dersom k ro midles arimetisk mellom de to blokkene, så vil transmissibiliteten til olje bli større enn null Olje vil strømme fra blokk i til blokk ip og oljemetningen i blokk i vil bli redusert til en verdi under s or Dette er ufysikalsk og det foreslåtte en rekke metoder i litteraturen for å bøte på dette: Harmonisk midling Topunkts oppstrøms relative permeabiliteter Oppstrøms relative permeabiliteter 4

Vi skal bruk oppstrøms relative permeabiliteter, som vel er den vanligste formuleringen For hvert tidssteg, ev etter første iterasjon, sjekkes hvilken retning oljestrømmen har, fra i ip eller ip i I transmissibiliteten mellom de to blokkene velges så oppstrøms verdi av k ro Fullstendig implisitt formulering Vi ser på strømningsleddet ckkro b o p o x o x mellom blokk i og ip og skriver dette på formen Ü Ô F p oi p oip s oi s oip, hvor Ü Ô, som før, inneholder de konstante deler av transmissibiliteten mellom ip og i,og F p oi p oip s oi s oip k rob o o p oip p oi Vi bruker Newton s metode på F, eller sagt på en annen måte, vi rekkeutvikler F til første orden i alle variable: F k 1 ³ F k F p oi k p k 1 oi F p oip k p k 1 oip F k s k 1 oi s oi F s oip k s k 1 oip Her må en generelt ta med både s oi og s oip siden en ikke vet hvilken vei strømmen går Ved oppstrøms relative permeabiliteter er enten F s oi k eller F s oip k lik null Strømningsleddet i vannligningen formuleres tilsvarende Høyre sidene av ligningen uttrykkes også i poi k 1 soi k 1 En får da to ligninger med to ukjente, p k 1 o og so k 1, som det løses for ved eliminasjon eller med (L)SOR Merk at p k 1 oi s k 1 oi er endringer per Newton iterasjon ikke endringer over tidssteget Kordemetoden kvasi-newton Metoden kan illustreres ved å formulere uttrykket for k ro : Her er k n 1 ro ro kro n s n 1k o s n o ³ k n ro kn 1k k n 1k ro verdien av k ro etter iterasjon k, s n 1k o verdien av s n 1 o etter iterasjon k, s n 1k 1 o s n 1k 1 o s n o s n 1k 1 o (3) 5

s o Når løsning har konvergert er so n 1k 1 so n 1, kro n 1k kro n 1, so n 1k 1 so n 1 s o, og ligning 3 er eksakt oppfylt De trykkavhengige størrelsene, b o o b w w, er kun svakt avhengige av trykket Det er derfor tilstrekkelig å behandle dem som før, dvs bruke tids- og avstandsmiddel Vi ser videre på strømningsleddene mellom blokk i og ip i oljeligningen: x ckkro b o p o o x Ó Ü Ô ÖÓ Ô ÓÔ Ô Ó Ó Ô hvor Ó Ó Ô er tids- og avstandsmiddel La oss definere ÓÚÓ Ô Ó Ó Ô Videre kan vi sette: hvor k ro Ó ÖÓÐ Ó Ó Ó ½ Ó ÖÓÐ Ô ½ Ó Ó Ô Ó Ô Ó 10 dersom oljestrømmen går fra i ip 00 dersom oljestrømmen går fra ip i ÖÓÐ Ó Ó kroi n k n 1k k n roi roi s n 1k s n 1k 1 oi s n oi oi s n oi Vi minner også om at Ü Ô Ü Ü Ü Ô Videre definerer vi for strømningsledd mellom blokk i og ip: ÓÜÐÔ ÓÚÓ Ô Ó ÖÓÐ ½ Ó ÖÓÐ Ô ÓÜÔÔ ÓÜÔÑ ÔÓÔ ÓÚÓ Ô ½ Ó Ó Ô ÓÚÓ Ô Ó Ó ÔÓ Ô ÔÓ For strøm mellom blokk im og i definerer vi: ÓÜÐ ÓÚÓ Ó Ñ ÖÓÐ Ñ ½ Ó Ñ ÖÓÐ ÓÜÑÑ ÓÜÑÔ ÔÓÑ ÓÚÓ Ó Ñ Ó Ñ ÓÚÓ ½ Ó Ñ Ó ÔÓ Ô ÔÓ Siden ÓÜÐÔ ÓÜÔÔ ÓÜÔÑ ÓÜÐ Ô ÜÑ ÓÜÑÔ Ô ÜÑ ÓÜÑÑ Ô ÜÑ 6

trenger en bare bruke ett sett av disse størrelsene Vannligningen formuleres helt tilsvarende, bortsett fra et ekstra ledd som inneholder kapillartrykket p c : x ckkrw b w p w w x ckkrw b w p o ckkrw b w p c x w x x w x Det første leddet på høyre side formuleres på samme måte som for oljeligningen Det er ledd nummer to, kapillarleddet, som volder noe problemer Vi definerer størrelsene wxldm, dwxmp, dwxmm på samme måte som for oljeligningen I kapillarleddet har vi et produkt av to metningsavhengige størrelser, nemlig k rw og p c Dette produktet tilnærmer vi på følgende måte: k n 1 rw ³ k n rw pn c k n rw p c p n c k rw ³ k n rw p n c k n rw p c s o s o p n c k rw s o s o Her har en altså neglisjert andre ordens ledd, også kalt kryssledd, av typen s o s o Vi definerer p c s o Ô k rw s o Û og er nå istand til å skrive ut kapillarleddet i detalj: og x ckkrw b w p c ÛÜ Ô ÛÜ w x Ô ÛÜ Ô ÛÜÐÑ Ô ÜÑ ÛÜÑÔ Ô ÜÑ ÓÔ ÛÜÑÑ Ô ÜÑ Ó ÔÐ Ô Ô Ô ÓÔ ÔÐ Ô Ó Disse leddene multipliseres så ut, og en neglisjerer kryssledd Dette gir ÛÜ Ô ÛÜÐÑ Ô ÜÑ ÔÐ Ô ÛÜÑÔ Ô ÜÑ ÔÐ Ô ÓÔ ÛÜÑÑ Ô ÜÑ ÔÐ Ô Ó ÛÜÐÑ Ô ÜÑ Ô Ô ÓÔ + tilsvarende ledd ved å bruke i-leddene På høyre side av vannligningen har en størrelsen b w som en tilnærmer med b w b w p w p w b w p w ÔÓ ÔÓÐ Ô Ó Vannligningen i detalj oppsummering Fullstendig diskretisering av vannligningen 2 gir: ÛÜ Ô Û ÛÜ Ô Û Õ Û φ Ø Û Û Û Û 7

med følgende definisjoner: ÛÜ ÛÜ ÛÜÐÑ ÛÜÑÑ ÓÑ ÛÜÑÔ Ó ÛÜÐÑ Ô ÛÜÑÑ Ô Ó ÛÜÑÔ Ô ÓÔ ÜÑ Ô Û Ô ÛÑ Ô Û Ô ÓÑ Ô Ó Ô Ñ Ô Ô Û ÔÓÑ ÔÓÔ Ô ÛÔ Ô Û Ô ÓÔ Ô Ó Ô Ô Ô Ô ÓÑ Ô Ó Ô ÓÔ Ô Ó Vi velger som sagt å bruke Ô Ó og Ó Ò ½ Ó Ò Ó som ukjente Leddet ÛÜ Ô Û blir da ÛÜÐÑ Ô Ó ÛÜÐÑ ÔÐ Ñ ÛÜÑÑ ÔÓÑ ÓÑ ÛÜÑÔ ÔÓÑ Ó ÛÜÐÑ ÔÐ Ñ ÛÜÐ Ô Ñ ÓÑ ÛÜÑÔ ÔÐ Ñ Ó ÛÜÑÑ ÔÐ Ñ ÓÑ ÛÜÐÑ Ô Ó ÛÜÐ ÔÐ ÓÑ ÛÜÑÔ ÔÐ Ó Vi ønsker å skrive ligningen på formen ÔÓÛ ÔÓ Ñ ÓÛ Ó Ñ ÔÓÛ ÔÓ ÓÛ Ó ÔÓÛ ÔÓ Ô ÓÛ Ó Ô Û ¼ Med får en ÔÛÑ ÔÓÑ ÔÐ ÔÐ Ñ ÔÛÔ ÔÓÔ ÔÐ ÔÐ Ñ ÔÓÛ ÛÜÐÑ ÓÛ ÛÜÑÑ ÔÛÑ ÛÜÐÑ Ô Ñ ÔÓÛ ÛÜÑÐ ÛÜÐÑ Ô ÜÑ φ Ø Û ÛÔ ÓÛ ÛÜÑÔ ÔÛÑ ÛÜÑÑ Ô ÜÑ ÔÛÔ ÛÜÐÑ ÛÜÐÑ Ô ÜÑ Ô φ Ø Û ÛÔ Ô Û ÔÓÛ ÛÜÐÑ Ô ÜÑ ÓÛ ÛÜÑÔ Ô ÔÛÔ ÛÜÐÑ Ô Ô Ô ÜÑ Û ÛÜÐÑ ÔÐ ÔÐ Ñ ÛÜÐÑ Ô ÜÑ ÔÐ ÔÐ Ô φ Ø Û ÛÔ ÔÓÐ Õ Û Oljeligningen blir utformet tilsvarende, og her er det ikke noe kapillartrykksledd ÔÓÓ ÓÜÐÑ ÓÓ ÓÜÑÑ ÔÓÑ ÔÓÓ ÓÜÑÐ ÓÜÐÑ Ô ÜÑ φ Ø Ó ÓÔ ÔÓÓ ÓÜÐÑ Ô ÜÑ ÓÓ ÓÜÑÔ Ô ÔÓÔ ÜÑ Ó φ Ø Ó ÓÔ ÔÓÐ Õ Ó 8

Ukjente blokk1 blokk2 blokk3 blokk4 blokk5 Lign ÔÓ ½ Ó½ ÔÓ ¾ Ó¾ ÔÓ Ó ÔÓ Ó w 1 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 2 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ w 3 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 4 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ w 5 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 6 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ Ligningssystem For et enfasesystem har vi sett at ligningssystemet har en tridiagonal koeffisientmatrise For to faser har hver blokk to ukjente Det som i enfasetilfellet var en (skalar) koeffisient blir nå en 2 2 matrise, som illustrert i følgende skjema: Ukjente blokk1 blokk2 blokk3 blokk4 blokk5 Lign ÔÓ ½ Ó½ ÔÓ ¾ Ó¾ ÔÓ Ó ÔÓ Ó w 1 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 2 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ w 3 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 4 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ w 5 ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ ÔÓÛ ÓÛ o 6 ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ Koeffisientmatrisen blir altså en båndmatrise med båndbredde lik 7 Ligningssystemet kan derfor løses ved den tidligere omtalte subrutinen SOLVE, eller en annen matriseløser, [?] Rateformulering I tillegg til å bruke konstante rater ønsker en også å produsere mot konstant trykk, pconst, ved utløpet av blokk nr 1: ÕÓ ½ ÓÚÓ ½ ÖÓ ½ ÔÓÒ Ø ÔÓ ½ ÕÛ ½ ÛÛ ½ ÖÛ ½ ÔÓÒ Ø ÔÓ ½ Ô ½ Vi regner her at trykket i brønnen, pconst, er det samme for olje som for vann 9

Uttrykket for oljeraten kan skrives ut på følgende måte, når vi bruker tidligere definerte størrelse: ÕÓ ½ ÓÚÓ ½ ÖÓÐ ½ ÔÓÒ Ø ÓÚÓ ½ Ó ½ ÔÓÒ Ø Ó ½ ÓÚÓ ½ ÖÓÐ ½ ÔÓ ½ ÓÚÓ ½ Ó ½ ÔÓ ½ Ó ½ Dette kan vi videre skrive som hvor ÕÓ ½ ÕÓ ½ ÕÓÔ ÔÓ ½ ÕÓ Ó ½ (4) hvor ÔÓ ½ er den sist iterert verdien Tilsvarende får en for vannraten: hvor ÕÓ ½ ÓÚÓ ½ ÖÓÐ ½ ÔÓÒ Ø ÕÓÔ ÓÚÓ ½ ÖÓÐ ½ ÕÓ ÓÚÓ ½ Ó ½ ÔÓÒ Ø ÔÓ ½ ÕÛ ½ ÕÛ ½ ÕÛÔ ÔÓ ½ ÕÛ Ó ½ (5) ÕÛ ½ ÛÚÛ ½ ÖÛÐ ½ ÔÓÒ Ø ÔÐ ½ ÕÛÔ ÛÚÛ ½ ÖÛÐ ½ ÕÛ ÛÚÛ ½ Û ½ ÔÓÒ Ø ÔÓ ½ ÛÚÛ ½ ÖÛÐ ½ Ô ½ Û ½ ÔÐ ½ Uttrykkene for ÕÓ ½ og ÕÛ ½ settes inn for qo og qw i ligningene og fordeles på de riktige matriseelementene på følgende måte: ÕÓÔ ÔÓÓ ÕÛÔ ÔÓÛ ÕÓ ÓÓ ÕÛ ÓÛ hvor betyr settes inn i Etter at løsningen har konvergert beregnes ratene for blokk 1 fra ligningene 4 og 5 før materialbalansen beregnes Dersom ÕÓ ½ eller ÕÛ ½ blir positive, settes de lik 0 Vannraten ÕÛ ½ kan fysikalsk sett godt bli naturlig negativ, på grunn av endeeffekt Noen hint til programmering Les inn PVT-tabell og omgjør til ekvidistant, intern tabell på 81 linjer TP TBP TVO TBW TVW - - - - - - - - - - Les inn bergartstabell og omgjør til ekvidistant, intern tabell på 51 linjer: TSO TKRO TKRW TPC - - - - - - - - 10

Les inn initiell metningsfordeling Beregn OOIP og OWIP Rett etter start av tidsstegssløfe uføres følgende: ÔÓÐ ÔÓ ÓÐ Ó ÚÓÐ ÚÓ ÛÐ Û ÚÛÐ ÚÛ ÔÐ Ô ÖÛÐ ÖÛ ÖÓÐ ÖÓ ÓÐ Ó Tidssteget kontrolleres nå både av maksimum metningsendring og maksimum trykkendring: ÔÑÜ ¼psi ÑÜ ¼¼ Konvergenssjekk utføres på både po og dso Materialbalanse utføres både for vann og olje SUBROUTINE FLPROP SUBROUTINE SAT SUBROUTINE FLODIR Ó ÚÓ ÓÔ Û ÚÛ ÛÔ ÖÓ Ó ÖÛ Û Ô Ô Ó ½¼ dersom ÔÓ ÔÓ Ô ¼ dersom ÔÓ Ô ÔÓ Û ½¼ dersom ÔÛ ÔÛ Ô ¼ dersom ÔÛ Ô ÔÛ Denne subrutinen kalles opp en gang etter 1 iterasjon i hvert tidssteg 11

SUBROUTINE TRANS ÓÜÐÑ ÛÜÐÑ ÓÜÑÔ ÛÜÑÔ ÓÜÑÑ ÛÜÑÑ SUBROUTINE RAT Dersom pconst > 0 beregnes følgende størrelser: SUBROUTINE FLOCON ÕÓ ÕÛ ÕÓÔ ÕÛÔ ÕÓ ÕÛ ÔÓÛ ÓÛ ½ ¾ ÐÐ ÓÐÚ ÔÓÓ ÓÓ ÔÓÓ ÓÓ Ó Løsningen returneres i cc-matrisen Deretter settes so(i) = sold(i) + dso(i) Sjekk for konvergens Når løsningen har konvergert beregnes qo(1) og qw(1) dersom pconst > 0 Andre kommentarer Dersom alle deriverte med hensyn på metning settes lik null, altså at dkods, dkwds, dpcdsså er lik null, fås en IMPES formulering av ligningene Da kan s oi elimineres og en får kun en ligning per numerisk blokk Dersom en legger inn helning og gravitasjonsledd gho, ghw, må reservoarets ekvilibreres før start av simuleringen Definer woc der hvor Ô ¼ Beregn p o og p w som funksjon av høyden 12

p c p o p w Med denne verdien av p c går en inn i tabellen og finner s o Iterer til likevekt Noen modeller bruker sekvensiell løsning Da løser en først for p o med TRIDIA, deretter for s o med TRIDIA og iterer På grunn av blokkinndelingen vil modellen vise numerisk dispersjon Vannfronten vil bli utsmurt Dette kan rettes på med en frontfølgeteknikk 13