Notat: Analytisk løsning

Transkript

1 Notat: Analytisk løsning I dette notatet er utledet en analytisk løsning på det problemet som simuleres i øving 1: Strøm av en svakt kompressibel fase (olje) gjennom et horisontalt, endimensjonalt, reservoar med grensebetingelser at trykket er det samme i alle blokker ved tid t da det samtidig startes injeksjon i blokk mx og produksjon fra blokk 1. Det er laget et Fortran9-program, anal.f9 med inndat og utdat som kan brukes til å beregne tallsvar fra den analytiske løsningen. Disse filene er vedlagt. Detaljering av problemstillingen Gitt simuleringsligningen Ckb µ P φ db P dp t...(1) hvor µckφdbdp er konstanter. Anta at b i strømningsleddet med god tilnærmelse kan betraktes som konstant, kfr. oppgave 1 og i eksamenssettet fra desember Da får en P φµ db Ckb dp Vi definerer nå 1 φµ db Ckb dp c 1 P t...() og med C 6387 har en samme enheter som i simuleringsprogrammet. Ligningen blir da P 1 P c 1 t...(3) Problemstillingen er da: I et en-dimensjonalt reservoar med lengde og konstant tverrsnitt A, startes det ved tiden t samtidig injeksjon og produksjon i hver sin ende med like stor og konstant rate Q. Dette kan løses på følgende måte: a) Utled den stasjonære (tidsuavhengige) løsningen p s, av Ligning (3). Bruk Darcy s lov som grensevilkår og følgende trinn: Sett P t Generell løsning av (3) er p s xµ a 1 x a a 1 bestemmes fra Darcy s lov 1

2 a bestemmes ved at p s Lµ P i hele tiden på grunn antisymmetri om dette midtpunktet, P i er initielt trykk. En finner at p s xµ P i q x Lµ, q Qµ, q er et negativt tall. 1171kAb b) Innføres p xtµ P xtµ p s xµ vil en se at ligning 3 blir p 1 p c 1 t...(4) c) Grensevilkårene blir nå i) p tµ, ii) p Ltµ, ii) p xµ q x Lµ. d) Ligning 4 kan nå løses ved å bruke metoden med separasjon av variable ved å gjennomføre følgende trinn: Sett p xtµ f xµg tµ Generell løsningen er hvor a, b og λ er konstanter. Grensevilkår i) og ii) gir løsningen p xtµ acos λxµ bsin λxµµexp λ c 1 tµ p n a n cos xµexp µ c 1 tµ Denne løsningen tilfredstiller ikke grensevilkår iii). Grensevilkår iii) tilfredstilles ved å sette slik at kravet iii) medfører: a n p xtµ p n n 8Lq µ

3 Den fullstendige løsningen blir da: P xtµ P i q x Lµ 8Lq Testing P xtµ p xtµ p s xtµ n cos xµ µ exp µ c 1tµ (5) Det vedlagte Fortranprogrammet regner ut trykket P xtµ for et vilkårlig trykkpunkt x og tid t. Innfilen inndat inneholder de samme data som i øving 1 og med 6 ft, Q 1STB/D etc. a) Sammenlign trykket i blokk 1 etter 4 tidssteg fra øving, med trykket P 5ftt µ fra ligning 5, med t dager. b) Vis at numerisk løsning, trykket i blokk 1, nærmer seg analytisk løsning dersom i) Antall blokker økes til, beregn P 15ft ) ii) Antall tidssteg økes fram til omtrent samme tidspunkt ved å redusere delmin og dtmult. Når delmin settes lik og dtmult settes lik 1. er det tilstrekkelig å inkludere 1 tidssteg (dvs. stmax=1 ). Detaljer i analytisk løsning Stasjonær løsning lim t P xtµ p s xµ P t Fra Darcy s lov: Dette gir p s µ p s p s a 1 x a Qµ 1171kAb q a 1 p s xµ qx a p s Lµ P i µ a P i ql p s xµ P i q x Lµ 3

4 Omformet ligning Sett Siden og får en direkte p 1 p c 1 t P 1 P c t 1 p P p s xµ p p 1 s xµµ c 1 t p p s xµµ p s p s xµ t...(6) Nye grensevilkår i) p tµ P tµ q q q siden Darcy s lov gjelder ved utløpet x for alle t og P tµ q ii) iii) p Ltµ P i P i q L Lµ p xµ P i P i q x Lµ q x Lµ 4

5 Løsning ved separasjon av variable. I ligning 6 prøver vi med p xtµ f xµg tµ og får f ¼¼ xµ g tµ 1 c 1 f xµġ tµ f ¼¼ xµ 1 f xµ ġ tµ c g tµ λ 1 hvor λ er en konstant uavhengig av x og t. f ¼¼ og ġ er hhv. den andre deriverte av f mhp. x og den tidsderiverte av g. Dermed har en først Generell løsning av denne ligningen er f ¼¼ xµ λ f xµ f xµ acosλx bsinλx Tilsvarende får en for den tidsavhengige funksjonen: Med generell løsning ġ tµ λ c 1 g tµ g tµ exp λ c 1 tµ Setter en sammen f og g får en den generelle trykkløsningen Grensevilkår i og ii p xtµ acosλx bsinλxµexp λ c 1 tµ På denne generelle løsning må en nå anvende grensevilkårene i), ii) og iii) for å bestemme konstantene abλ som gir b. p xtµ aλ sinλx bλ cosλxµexp λ c 1tµ p tµ bλ exp λ c 1 tµ p Ltµ acosλlexp λ c 1 tµ λl π nπ n 1 λ 5

6 Grensevilkår iii p xµ acos x q x Lµ som er en initialbetingelse er ikke oppfylt for noen konstant a. Vi prøver derfor med p xtµ p n xtµ n p n xtµ a n cos xµexp µ c 1 tµ Siden hver p n tilfredstiller ligningen og de homogene grensevilkårene i) og ii) vil også p gjore det. Fra grensevilkår iii) får vi a n cos xµ q x Lµ...(7) n Vi multipliserer nå denne ligningen med cos xµ og integrerer over x fra til ved først å innføre nye variable u x dx du Ligning 7 blir da v x n k 1µπ k 1µπ a n cosvcosu du q Vi ser først på venstre side av ligningen: k 1µπ cosvcosu du 1 k 1µπ u Lµcosu du.. (8) cos u vµ cos u vµµdu for u v eller k n for u v og dermed blir venstre siden n k 1 a n π δ nk a k 6

7 Høyre side av ligning 8 blir k 1µπ q ucosu du q k 1µπ Lcosu du q k 1µπ cosu usinu Setter en så venstre side lik høyre side får en: ßÞ Ð 4Lq a k 4Lq Oppsummert gir dette a k 8Lq P i q x Lµ 8Lq P xtµ p s xµ p xtµ p s xµ k p k k cos xµ µ exp µ c 1 tµ 7