Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1
Sannsynlighet for alle. Verksted 90 min. Problemløsningsverksted. Vi arbeider med noen få utforskningsoppgaver. Oppgavene vil være lette å forstå og komme i gang med, men også ha dybde. Spesielt er vi opptatt av å løse oppgavene på flere måter. Hvilke problemløsningsstrategier bruker vi? Vi viser hvordan elever har arbeidet med og løst de samme oppgavene. Hvordan har elevene tegnet, prøvd og diskutert seg fram til løsningene? Hva har de oppdaget underveis? Elevene er fra 5. til 9. trinn. Mange problemløsningsoppgaver har en kombinatorisk kjerne. Klarer vi å finne fram til denne kjernen og analysere den vil ofte oppgaven være løst. Er et spill rettferdig? Hvis ikke, hvordan kan vi forandre reglene slik at det blir rettferdig? Hvordan kan vi utvikle våre og elevenes fortrolighet med ulike problemløsningsstrategier? Hvilke utfordringer har vi som lærere? Klarer vi å lytte til elevenes tenkning? Hva sliter lærerstudentene med? Hva må en lærer kunne? Klarer vi å vente? Hvilke hint kan være aktuelt å gi? Klarer vi å se og møte elevenes smarte løsninger? Har vi matematisk innsikt til det? Hva er matematikken bak oppgaven? Hvordan kan oppgaven utvides? Vi går dypt i noen få oppgaver fremfor å arbeide med mange oppgaver. Stikkord: sannsynlighet, kombinatorikk, utforskning, praktiske oppgaver, spill, kommunikasjon, problemløsningsstrategier, mønster, samarbeid, rike oppgaver, Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 2
Sannsynlighet for alle Hva vil det si? Lett å forstå hva oppgaven går ut på - lav inngangsterskel Mulig å utvide - for å gi utfordringer til alle Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 3
dropsoppgaven i en lærebok for 7. trinn: Hege har to røde og to gule drops i en pose. Mia tar to drops. Hvor stor er sannsynligheten for at Mia tar et rødt og et gult drops? Gjett, skriv på en lapp Deretter undersøkte gruppene dette. De trakk 20 ganger hver og diskuterte resultatet. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 4
Oppgavene: trekk to av fire, hva er sannsynligheten for at du trekker to forskjellige farger? To lyseblå og to blå kuler To røde og to gule drops Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 5
Eks kuler eller drops Hva kan skje? Hvor mange kombinasjoner kan lages? Skal vi skrive dem opp, eller skal vi tegne dem? To måter å trekke To av sammen Farge. Fire måter å trekke to av forskjellig farge RR RG GG? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 6
Hva vil du som lærer si til denne tabellen? Trekk to drops. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 7
Drops Her er flere forslag til svar 1) RR, GG, RG gir sannsynlighet 1/3 2) rød rød, rød gul, gul gul, gul rød 2 av 4 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 8
En tenkemåte som kom opp fort var: Du trekker en, det er tre igjen Hva er sannsynligheten for å trekke den andre fargen nå? 2/3 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 9
Har noen lurt på: Om det har noe å si om du trekker en av gangen eller begge samtidig? Det pleier å bli en diskusjon En elev sa: Om du trekker en og en blir det større sannsynlighet for å få to forskjellige enn to like Men trekker du begge samtidig blir det lik sannsynlighet (0,5) Hva vil du som lærer si til det? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 10
Hvordan kan oppgaven utvides? Hvis vi har et spill der A får poeng om dropsene har samme farge og B får poeng om dropsene har forskjellig farge Hva kan du gjøre for at det skal bli et rettferdig spill? (ha maksimum 10 drops i posen) Hvordan kan dere undersøke dette? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 11
Hvilken skal ut? To hvite og to røde kuler. Trekk to kuler tilfeldig. A vinner hvis det blir to like, B vinner hvis det blir to ulike. Du kaster to mynter. A vinner hvis myntene viser samme side, B vinner hvis myntene viser forskjellige sider. To jenter og to gutter. To trekkes tilfeldig. A vinner hvis det trekkes to av samme kjønn, B vinner hvis det trekkes en av hvert kjønn. Dere har to røde og to svarte kort. Det trekkes to. B vinner hvis dere får to ulike. A vinner hvis dere får to like. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 12
Myntkast Du kaster en gang med to mynter. Hva er sannsynligheten for at resultatet blir en Kron og en Mynt? Gjett. Skriv på en lapp. Kast to mynter 10 ganger og noter resultatet. (arbeid to og to) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 13
Pascals talltrekant 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 14
Valgtre Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 15
Student: Jeg skjønner ikke når vi skal gange og når vi skal legge sammen. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 16
Memory 6 kort igjen, du kjenner to av dem, de er ikke like. Hva er sannsynligheten for at du klarer å trekke to like nå? (Gjett, tenk, undersøk) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 17
Memory Trekk blant de fire du ikke kjenner (det er ikke alltid femåringer gjør): 2/4 sjanse for at du trekker et av de to du kjenner Det er 2/4 sjanse for at du trekker et nytt tall, da er det 1/3 sjanse for at du trekker par. 2/4 + (2/4 * 1/3)= ½ + 1/6 = 4/6 = 2/3 Kan du tegne et valgtre for dette? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 18
sannsynlighet Kan løses direkte ved å tenke i sannsynlighet Kan løses ved å tenke kombinatorisk (Hvor mange gunstige utfall dividert med hvor mange mulige utfall) Da må vi telle riktig. Hjelp: hvordan kan vi representere situasjonen, tegne opp, bruke konkreter, skrive osv Kan undersøkes empirisk (evt simuleres på data) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 19
Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 20
Løsning rettferdig spill (kort eller kuler i to farger) Ett sort og tre røde kort. Det gir tre muligheter for to farger og tre muligheter for en farge. Tre sorte og seks røde. Av ni kan en lage 36 toergrupper. Det er 3x6=18 kombinasjoner som har ett sort og ett rødt kort. (Det er 3 som har to sorte og 15 som har to røde). Dette kan finnes i Pascals talltrekant. Finnes det flere? Med maks ti kort? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 21
Arbeidsmåte Presentere problem Gjette (tegne) Prøve ut Begrunne, beregne, tegne, diskutere Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 22
Hva er viktig? Når du skal trekke flere må du vite om du skal legge tilbake før du trekker på nytt. (med eller uten tilbakelegging) At det er det samme om du kaster fem terninger en gang eller en terning fem ganger terningen vet ikke hva de andre terningene viser, eller hva den var forrige gang eller hva den blir neste gang (uavhengighet) Noe kan skje på flere måter. ( f. eks å få akkurat en kron på tre kast du kan få kron på første, andre eller tredje kast) Sannsynligheten for hver av disse rekkefølgene må da legges sammen (adderes) Noen ganger er det lettest å finne sannsynligheten for det motsatte. (eks Hva er sannsynligheten for å klare å få sekser på tre kast? (eks LUDO) Da er det lettere å finne sannsynligheten for ikke å få noen seksere på tre kast og deretter trekke det fra en.) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 23
Områder undervisningskunnskap i matematikk består av (Ball, Thames & Phelps, 2008, s. 403, oversatt av Fauskanger, Mosvold og Bjuland, 2010). KFE KFU Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 24
Allmenn fagkunnskap AFK (angående dropsoppgaven) De må kunne løse oppgaven. De må kunne sannsynlighet. I dette tilfelle må de se at det er en situasjon der sannsynligheten endrer seg når du skal trekke den andre. Det er ikke tilbakelegging. Det er en «hypergeometrisk situasjon». Det er ikke en «binomisk situasjon». Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 25
Spesialisert fagkunnskap SFK De må kunne løse oppgaven på flere måter. De må vite noe om hva som er vanskelig for elevene. De må kunne representere oppgaven på en fornuftig måte. De må vite hvordan de kan undersøke en situasjon for å få et tallmateriale som er representativt. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 26
Områder undervisningskunnskap i matematikk består av (Ball, Thames & Phelps, 2008, s. 403, oversatt av Fauskanger, Mosvold og Bjuland, 2010). KFE KFU Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 27
Kunnskap om faglig innhold og undervisning KFU Planlegge undervisningen. Hvilke oppgaver. Hvilke spørsmål? Hvilke spørsmål åpner/lukker? Hvordan vil jeg organisere arbeidet. Hvilket materiale skal være framme/tilgjengelig. For utprøving.. Representasjon? Hva er målet? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 28
Kunnskap om faglig innhold og elever. KFE Hva spør elevene om? De spør både ventede og uventede spørsmål. De løser oppgaven på forskjellig måte (hvis ikke læreren/læreboken har sagt akkurat hvordan de skal løse den.) De finner ofte smarte løsninger, smartere enn de som er i læreboken. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 29
Hva må en lærer kunne? - Utvide og forenkle oppgaver Utvide uten at de blir umulige Forenkle uten at oppgaven blir totalt uinteressante - Se hva som egentlig er det samme og hva som ikke er det (eks kaste mynter og trekke kuler) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 30