FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Øvelse #4: Z-transform, poler og nullpunkt Av Knut Ingvald Dietel Universitetet i Bergen Fysisk institutt 5 februar
Innhold FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Innhold Innhold...ii Problem #: Et enkelt lavpassfilter....a Pol/nullpunktplot....b Skisse av frekvensresponsen til H()....c Betydningen av polens plassering...3 Problem #: Resonator med enhetsforsterkning...3.a Skisse av amplitudeforholdet...4.b Hva er verdiene til a og a? plementer systemet fra punkt.b i DSPlay...4.c Hvilken verdi av b gir en forsterkning på?...5 3 Problem #4: En modifisert resonator...5 3.a Skisse av amplitudeforholdet...5 3.b plementering i DSPlay...6 4 Problem #4: En interessant system funksjon...7 4.a Tegn pol/nullpunkt plott og amplitudeforholdet til H() for forskjellige verdier av a...7 4.b Verifikasjon av resultatene v.h.a. DSPlay...9 4.c Vis analytisk at H() har konstant amplitudeforhold...9 5 Enda en interessant system funksjon... 5.a Skisser (pol)/nullpunktplottet og estimer amplitudeforholdet v.h.a. grafiske teknikker... 5.b Verifikasjon av resultatene v.h.a. DSPlay... ii Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Problem #: Et enkelt lavpassfilter Problem #: Et enkelt lavpassfilter.a Pol/nullpunktplot Skal laget et pol/nullpunktplot av overføringsfunksjonen i formel () + H ( ) = (),8 Ser av ligning () at overføringsfunksjonen har nullpunkt i = (teller lik null) og pol i =,8 (nevner lik null). Pol/nullpunktplottet er vist i Figur - N γ P β Re - Figur Pol/nullpunktplott av H()=(+)/((-,8)..b Skisse av frekvensresponsen til H() Tar utgangspunkt i Figur. Ser at vektorene N og P kan uttrykkes ved Som gir oss uttrykk for H ( ) og H ( ) jγ N e N j( γ β ) H ( ) = = e () Jβ P e P N H ( ) = (3) P ( ) = γ β H (4) Formlene (3) & (4) kan benyttes til matematisk å bestemme frekvensresponsen til filteret. Ved å benytte Z-transformen så er det mulig å relatere polene og nullpunktenes plasseringen til filterets frekvensrespons. Frekvensresponsen finnes ved å evaluere H() langs e j. Der hvor et nullpunkt ligger "i nærheten" av enhetssirkelen kan en anta at amplitudeforholdet går mot null. Samt, der hvor poler ligger "i nærheten" av enhetssirkelen kan en anta at amplitudeforholdet går mot "uendelig" (høy forsterkning). For å estimere fasen summeres vinklene som dannes mellom vektorene, definert av nullpunktene, punktet på sirkelen (frekvensen) og x-aksen. Fra denne vinkelen trekkes summen av vinklene som dannes mellom vektorene, definert av polene, det samme punktet på sirkelen og x-aksen. Knut Ingvald Dietel
Problem #: Et enkelt lavpassfilter FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering H() Figur Skisse av frekvensresponsen til H() basert på grafisk tolkning av pol/nullpunktplottet. Skal verifisere plottet i Figur ved hjelp av DSPlay. Sender en enhetsimpuls inn på ett IIR filter for å realisere H() i DSPLay. Regner H() om på standard form for å "få fatt i" koeffisientene til IIR filteret. + + H ( ) = = (5),8,8 Koefisientene til IIR filteret er c =, c = og d =,8, i DSPlay blir dette A =, A = og B = -.8. plementerte følgende blokkskjema i DSPlay. Figur 3 Blokkdiagram i DSPlay for å finne frekvensresponsen til IIR filteret. Resultatet er vist i Figur 4, ser at det er godt samsvar mellom skissen og plottet generert i DSPlay. Figur 4 Plott av frekvensresponsen til H() i DSPlay. Benyttet en 56 punkters FFT-blokk. Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Problem #: Resonator med enhetsforsterkning.c Betydningen av polens plassering Forandrer polens posisjon ved å variere verdien til parameteren b (i DSPlay B = -b ). Figur 5 Frekvensrespons med b =. Figur 6 Frekvensrespons med b =,9. Figur 7 Frekvensrespons med b =,4. Figur 8 Frekvensrespons med b =.. Figur 9 Frekvensrespons med b = -.4. Figur Frekvensrespons med b = -.9. Figur Frekvensrespons med b = -. Ser at når polen beveger seg fra b = og mot b = - så avtar forsterkningen og båndbredden øker. Problem #: Resonator med enhetsforsterkning En resonator med enhetsforsterkning har forsterkning tilnærmet lik en rundt resonansfrekvensen og demper alle andre frekvenser. En annen ordens resonator med enhetsforsterkning er gitt i formel (6). ( ) b ( ) H = (6) + a + a Knut Ingvald Dietel 3
Problem #: Resonator med enhetsforsterkning FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Pol/nullpunktplottet til resonatoren er gitt i oppgavens figur 4..a Skisse av amplitudeforholdet Benytter samme grafiske teknikk som under punkt.b til å lage en skisse av amplitudeforholdet til resonatoren. Figur Amplitudeforholdet til resonatoren..b Hva er verdiene til a og a? plementer systemet fra punkt.b i DSPlay Tar utgangspunkt i H() på faktorisert form og regner den over på standard form H ( ) b ( )( + ) ( (,4 + j,8) )( (,4 j,8) ) = (7) ( ) = (8) Dette gir koeffisientene b (,4 j,8) (,4 + j,8) + (,4 + j,8)(,4 j,8) ( ) = (9),8 +,4 b er i oppgaven satt til å være lik. b,4 j,8 +,4 j,8 j ( ),8 b H ( ) = (),8 +,8 a =,8 a,8 () = 4 Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Problem #4: En modifisert resonator Realiserte systemet i DSPlay. Benyttet samme blokkdiagram som i Figur 3. Figur 3 Resonator med enhetsforsterkning..c Hvilken verdi av b gir en forsterkning på? Ser av amplitudeforholdet i Figur 3 forsterkningen i toppunktene er, det gir at b må være lik, for å få enhetsforsterkning i toppunktene. 3 Problem #4: En modifisert resonator Pol/nullpunktplottet til resonatoren er gitt i oppgavens figur 4. Dette gir overføringsfunksjonen H ( ) ( ) ( + ) ( (,4 + j,8) )( (,4 j,8) )( (,4 j,8) )( (,4 j,8) ) = () 3.a Skisse av amplitudeforholdet Benytter samme grafiske teknikk som under punkt.b til å lage en skisse av amplitudeforholdet til den modifiserte resonatoren. Figur 4 Amplitudeforholdet til den modifiserte resonatoren. Knut Ingvald Dietel 5
Problem #4: En modifisert resonator FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering 3.b plementering i DSPlay plementerte den modifiserte resonatoren i DSPlay. For å realisere doble pol- og nullpunkt i DSPlay kaskadekoblet vi to IIR filtre hvor de komplekskonjugerte polene hadde motsatt fortegn på realdelen. Ser at formel () kan skrives om til H ( ) ( )( + ) ( (,4 j,8) )( (,4 j,8) ) ( )( + ) ( (,4 + j,8) )( (,4 j,8) ) = (3) Regner om de to brøkene til standard form H,8 +,8 Z Z +,8 +,8 ( ) = = Z Z,8 +,8 +,8 +,8 (4) Koeffisientene til filtrene blir da: Tabell Koeffisientene til de to IIR filtrene. Koeffisient IIR # IIR # b = - A b = - A b = - A - - a = - B,8 -,8 a = - B -,8 -,8 Figur 5 viser implementasjonen I DSPlay. Figur 5 Blokkdiagram i DSPlay for å realisere et IIR filter med doble pol og nullpunkt. Figur 6 viser frekvensresponsen til den modifiserte resonatoren. Figur 6 Frekvensresponsen til den modifiserte resonatoren. 6 Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Problem #4: En interessant system funksjon 4 Problem #4: En interessant system funksjon Benytter i denne oppgaven systemfunksjonen a H ( ) = a > (5) a 4.a Tegn pol/nullpunkt plott og amplitudeforholdet til H() for forskjellige verdier av a Tabellen under viser valgte verdier av a samt pol og nullpunktenes plassering. Tabell a verdier, pol og nullpunkt. a Nullpunkt Pol,5,5,,,5,5 -,5 -,5 - - -,5 -,5 5 3 3 5 Pol/nullpunktplott og amplitudeforholdet for forskjellige verdier av a er illustrert i figurene under.,5, -3 - -,5 3 5 Re,5,,5 - Figur 7 Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a =,5.,5, -3 - - Re 3,5,,5 - Figur 8 Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a =,. Knut Ingvald Dietel 7
Problem #4: En interessant system funksjon FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering,5, -3 - -,5 3 Re 3,5,,5 - Figur 9 Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a =,5.,5, -3 -,5-3 Re 3,5,,5 - Figur Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a = -,5.,5, -3 - - Re 3,5,,5 - Figur Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a = -,.,5, -3 -,5 - - 5 Re 3,5,,5 - Figur Pol/nullpunkt og amplitudeforhold plott av H() for a = -,5. 8 Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Problem #4: En interessant system funksjon 4.b Verifikasjon av resultatene v.h.a. DSPlay Benyttet samme blokkskjema som i Figur 3 til å verifisere resultatene fra punkt 4.a i DSPlay. Figur 3 Amplitudeforhold plott av H() for a =,5. Figur 4 Amplitudeforhold plott av H() for a =,. Figur 5 Amplitudeforhold plott av H() for a =,5. Figur 6 Amplitudeforhold plott av H() for a = -,5. Figur 7 Amplitudeforhold plott av H() for a =,. Figur 8 Amplitudeforhold plott av H() for a = -,5. Ser at resultatene fra punktene 4.a og 4.b stemmer godt overens. 4.c Vis analytisk at H() har konstant amplitudeforhold Frekvensresponsen til systemet finnes ved å evaluere H() langs e j. H ( ) = H ( ) H ( ) (6) a a a a a a a + a a + a H (7) ( ) H ( ) = = Knut Ingvald Dietel 9
Enda en interessant system funksjon FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering a a ( + ) ( + Siden = e j så er =, det gir Dette gir + a + a a a a a ( + ) + a a a( + ) + = = (8) a a H = a + a ( ) ( ) ( + ) + H = a a( + ) (9) ( ) = H ( ) H ( ) = a a H = 5 Enda en interessant system funksjon Benytter i denne oppgaven systemfunksjonen H Z Z 8 8 ( ) = = 8 () () 5.a Skisser (pol)/nullpunktplottet og estimer amplitudeforholdet v.h.a. grafiske teknikker Formel () har nullpunkt for = [ ±, ±j, + j, + j, j, Benytter samme teknikk som tidligere for å skissere amplitudeforholdet. j ]. + j + j - Re j - j Figur 9 Pol/nullpunkt plott og amplitudeforhold for H(). Knut Ingvald Dietel
FIE 8 - Signalprosessering i instrumentering Enda en interessant system funksjon 5.b Verifikasjon av resultatene v.h.a. DSPlay Benyttet samme blokkskjema som i Figur 3 til å verifisere resultatene fra punkt 5.a i DSPlay Figur 3 Frekvensresponsen til et "kamfilter". Ser at resultatene fra punktene 5.a og 5.b stemmer godt overens. Knut Ingvald Dietel