Institutt for konstruksjonsteknikk Eksamensoppgave i TKT 44 Mekanikk Faglig kontakt under eksamen: Aase Rees Tlf.: 7 5(9 45 4) / 95 75 65 Eksamensdato: 6. desember Eksamenstid (fra-til): 9 - Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: D: Ingen trkte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Annen informasjon: egg vekt på å levere en rddig besvarelse med tdelige skisser og sstematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten snes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer omtrentlig tidsforbruk på hver oppgave). Målform/språk: Bokmål Antall sider: 4 (oppgavetekst) Antall sider vedlegg: 9 (formelark) Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
OPPGAVE (ca 5 %) Figur : Sølekonstruksjon påkjent av punktlast F. Figur viser en sølekonstruksjon som er belastet med en punktlast F på enden av utkrageren BC. Alle komponenter i rammen har samme tverrsnitt og bøestivhet EI. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Ta bare hensn til bøedeformasjoner. a) øs det statisk ubestemte problemet i Figur ved bruk av enhetslastmetoden (kraftmetoden). Bestem lagerreaksjonene A x, A, D x, og E x. Tegn M-diagram (på strekksiden). Hvor stort er maksimalmomentet i rammen, og hvor er dette? b) Bestem horisontalforskvningen av punkt C, og skisser konstruksjonens forskvningsform. Side av 5
OPPGAVE (ca 5 %) Figur : Bjelke med variabel tverrsnittsbredde utsatt for jevnt fordelt last q. Figur viser en bjelke med massivt, rektangulært tverrsnitt, hvor høden h er konstant. Bredden til bjelken varierer lineært langs lengden, fra b ved innspenning til b i høre ende, som vist øverst på figuren. Bjelken er belastet med en jevnt fordelt last q langs lengden. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Materialet som bjelken er laget av har elastisitetsmodul E og fltespenning f. a) Vis at den plastiske momentkapasiteten bh x. Mp f b) Bestem bjelkens bruddlast q p uttrkt med f, b, h og. c) Tegn bjelkens moment- og skjærkraftdiagram i bruddtilstanden. Hvor stort er maksimalmomentet, og i hvilket snitt (x-koordinat) opptrer det? d) Anta videre i oppgaven et forskvningsfelt v a bx cx dx. Bestem konstantene a, b, c og d slik at de essensielle randbetingelsene er oppflt. e) Bruk Raleigh-Ritz metode, med forskvningsfeltet i d) til å estimere nedbøningen midt på bjelken. Nttige formler kan være: u uv uv Kvotient-regelen: v v øsning av. gradslikning, ax bx c : x 4 b b ac a Side av 5
OPPGAVE (ca %) Figur : Deformasjoner på glassblokk. Figur viser en kvadratisk glassblokk som er belastet slik at blokken er i en plan tøningstilstand ( z zx z ). Anta at E-modulen og tverrkontraksjonstallet,, for glass er henholdsvis 7 MPa og.. a) Hva betr plan tøningstilstand, og for hva slags situasjoner kan vi anta plan tøning? b) Finn et uttrkk for forskvningsfeltet u og v for glassblokken vist i Figur. c) Bestem tøningsfeltet for glassblokken i Figur. d) Ta utgangspunkt i Hookes lov i tre dimensjoner og vis hvordan man kommer fram til Hookes lov for plan tøning: x x E x x e) Hvordan kan man komme fram til uttrkket for normalspenningen i z-retning ved plan tøning? Hva blir normalspenningen i z-retning for glassblokken i Figur? Side 4 av 5
OPPGAVE 4 (ca %) Figur 4: Fritt opplagt plate utsatt for punktlast, P, midt på plata. Figur 4 viser en fritt opplagt plate med tkkelse h, utsatt for en punktlast P midt på plata. Vi skal analsere denne plata med Naviers løsning. Dimensjonene til plata er: a = m, b = m, h = mm. asten P = kn, E-modulen E = MPa og tverrkontraksjonstallet =.. For en punktlast er q mn i Naviers løsning gitt ved: q mn 4P m n sin sin ab a b, hvor og er henholdsvis x- og -koordinaten til punktlasten. a) Bruk Naviers plateløsning og finn et uttrkk for platas forskvning. b) Bestem platas maksimale nedbøning dersom du tar med ledd i rekken (m,n) = {, }. c) Bestem maksimale verdier av spenningene x, og x for platen ved å ta med ledd i rekken. d) Bestem maksimale verdier av hjørnekreftene dersom du tar med ledd i rekken. Side 5 av 5
OPPGAVE a) X X M M M dx X M dx EI EI Fa 4a Fa 4a Fa Fa a a a a EI 6 EI a a a a EI EI Fa EI F EI a Side av 4
Maks moment er i punkt B innerst på utkrager M maks = Fa. b) M M dx EI Fa a Fa a Fa a Fa a a a EI 5 5 6 6EI Side av 4
OPPGAVE a) p h h M f bx ( ) b varierer med x-koordinaten: b( x) ax C b() C b b b( ) a b b a b x x b( x) x b b b Setter inn for b(x) i M p : bh x Mp f q.e.d. b) En gang statisk ubestemt kan ha to ledd: Side av 4
W W i q q x q x M P() M P( x) M P( x) x x x q f bh f bh x f bh x x x x f bh f bh x f bh x q x x x f b h x x x x x f b h x x x x x x x x x f bh x x x f bh x x x x x x x Minste verdi av q: x dq d f b h x f b h dx dx x x x x x x x f b h x x x x x 4x x f b h x x 4 x x : x øsning av andregradslikning: 4x x 4 x 4 6 4 4 6 4 x Dvs minste verdi av q for x=/: f b h 9 f b h qp q Side 4 av 4
c) M p bh x f Vi har flteledd for x= og x=/. Her vil momentet være: p M f bh og b h b h M f f p Momentlikevekt om flteleddet i felt for høre del fram til ledd (opplager til flteleddet i felt): M flteledd M P qp B 6 9f b h f b h 7f b h B 6 4 4 bh f Global likevekt: F A B q p 9 f b h 7 f b h f b h A qp B 4 4 Moment langs med bjelken ser på innerste del fra innspenning (der er det også flteledd): f bh 9 f bh x M x f bh 4 f bh 9 f bh x M for x f bh 4 øsning av andregrads likning: 9 4 4 x x 9 4,75 4 4 4 x 4 9 4,5 4 9 dvs M= for x=/9 Side 5 av 4
Max moment for dm f bh 9 f bh x dx 4 x 8 f b h 9 f b h M f b h f b h 8 4 8 4 8,4 Side 6 av 4
d) Essensielle RB: v v v v x a bx cx dx v x b cx dx v v a b v c d c d v x dx dx d x x e) I bh bh b x h x U v x d x x v x d x x 6 v x d x bh x U EI xv''( x) dx E d 6x dx Ebh d x Ebh d x 6x 4x 4 dx 7x 48x 8 6 4x 4x dx 4 4 Ebh d x 96x 5x 8 6 dx 4 4 Ebh d 96 5 6 x 5Ebh d x 8 4 x x 4 4 4 4 4 4 x x qd q v( x) dx qd x x dx qd qd 4 4 Side 7 av 4
5Ebh d qd 4 4 5Eb h d d q d 5Eb h 4 q 4 q q x x v x x x 5Ebh 5Ebh 4 4 q q v 5Eb h 4Eb h Side 8 av 4
OPPGAVE a) b) I en plan tøningstilstand er alle tøningskomponentene i ett av de tre ortogonale snittplanene lik. Hvis x-planet er et slikt snittplan vil kun disse tre komponentene være ulik :,, x x Plan tøning i x-planet krever at ingenting last, gemoetri, forskvning, randbetingelser avhenger av z-koordinaten Plan tøningstilstand opptrer tpisk når lange prismatiske eller slinderformete legemer er påkjent av en belastning som står normalt på lengdeaksen, og som ikke varierer langs denne aksen. u u u x u u x v v v x v v x Null forskvning i origo: u v u( x, ) mm : u(,) u u u(,) u u u u u (,) 5 u x v( x, ) mm : v(,) v v v(,) v,5 v,5 v v v (,),5,5 v x,5 c) u x x v,5 u v x x Side 9 av 4
d) Hookes lov for plan tøning: z z zx : x x z E x z E E Setter inn for : z z x z x z : x x x E E E x E Tilsvarende for e) x x x E : x x x x ; z ; ; zx G E x x E x x Fra generelt uttrkk: c c ( ) c ; z x z E z c z x x Normalspenningen i z-retning for glassblokken i Figur : E 7MPa. c.5.. z x x 7MPa..5.7..56 MPa Side av 4
OPPGAVE 4 a) Dimensjonene til plata : a = m b = m h = mm. asten P = kn, E-modulen E = MPa =.. q mn 4P m n sin sin, ab a b a b asta er midt på plata, dvs og ; dvs q q mn 4P m n sin sin ab 4P 4P 4P 4P, q, q, q, q, q, q ab ab ab ab For m og n lik partall blir q mn =. M N mx n qmn w( x, ) wmn sin sin hvor wmn m n a b 4 m n D a b Innsatt: m n M N sin sin 4P mx n w( x, ) sin sin 4 abd m n m n a b a b Side av 4
b) Maks nedbøning midt på plata x = a/, = b/. Tar med de første ledd det betr ett ledd : sin sin a b 4P 4P w, sin sin abd abd a b a b Innsatt verdier: Eh 6 D 5.85 Nmm ( ) 4 4 4 4 w m,.5m.85m 8.5mm m m 5.85 Nm m m c) Spenningene x, og x for platen: z E w w z E w w z E w x ; ; ( ) x x x x m n M N sin sin 4P mx n w, xx m sin sin a bd m n m n a b a b m n M N sin sin 4P Krumninger: w, mx n n sin sin ab D m n m n a b a b m n M N sin sin 4P w, mx n x mn cos cos a b D m n m n a b a b Side av 4
m n M N sin sin E 4P m n mx n x z sin sin abd m n m n a b a b 4P z h ab a b Maksimalverdier av normalspenningene for x=a/, =b/ og z=h/ (her har vi størst bøemoment). Tar med ledd ( av dem blir ): a b h h 4P x,max x,, h ab a b a b 4 N. 7MPa m m m m m a b h h 4P,max,, h ab b a a b 4 N. 9MPa m m m m m m n M N sin sin z E 4P mx n x ( ) cos cos mn a b D m n m n a b z 4P ( ) h a b a b Størst vridningsmoment opptrer langs randen og i hjørnet for platen, for eksempel når x= og =. Dvs vi får maksimal skjærspenning også her. Tar med ledd ( blir ) sin sin 6 4P x,max ( ) cos cos h a b a b 4 P (.) 68.MPa mm m m m m Side av 4
d) Tar med ledd ( blir ) w 8P R = M x D( ) ( ) x, x a b x, a b 8kN (.) 9.8kN 4 4m m m Side 4 av 4