Resonnering Eksempelundervisning Nord-Gudbrandsdalen, oktober 2015 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø
MIRRORS Eksempler på puslespillet Mirrors med tilhørende løsninger. Bruk eksemplene til å bestemme mål og regler som styrer spillet. Mirror Eksempel A Mirror Eksempel A Løsning
Mirrors Hvert avgrenset område i rutenettet inneholder nøyaktig ett speil. En lysstråle (A) kommer inn i rutenettet, speiler seg og går ut av rutenettet med tilsvarende bokstav (A). Tallet (2) angir antall ganger lysstrålen treffer et speil. Hvert speil må brukes minst en gang.
Japanske puslespill 1. Analysere eksempler på puslespill med løsninger. 2. Avdekke og notere reglene som gjelder for puslespillet. 3. Bruk reglene på flere puslespill av samme type. 4. Fikk du korrekt løsning? 5. Lage egne puslespill. Ide fra J Wanko Miami University Oxford OH NCTM Annual Conferance 2014 New Orleans Puslespillene er laget for Nikoli Magazine, Japan
Sudoku og andre spill Kjenner du reglene? Deduktiv tenking Læreboka Må du finne mønster og system og lage reglene? Induktiv tenking Læreplanen
Hva sier læreplanen (LK06)? Formål med faget, grunnleggende ferdigheter og kompetansemål resonnere omkring ideer gjøre seg opp en mening, stille spørsmål og argumentere beskrive og forklare en tankegang og sette ord på oppdagelser og ideer formulere logiske resonnement vurdere hvor gyldige løsningene er Legg til rette for induktiv resonnering i klasserommet. være kritisk til kilder, analyser og resultat
Hva vil det si å resonnere? Store norske leksikon: tenke trekke fornuftsslutninger følge en logisk tankerekke Engelsk: Reason (verb) think think logically argue think rationally use one's common sense use one's head/brain
Resonnering i matematikk Kilpatric m fl. (2001), Fosnot & Dolk (2001), Carpenter m fl. (2003), Barmby m fl. (2009),Russel m fl (2011), m fl. kunne forklare hvordan man tenker og begrunne løsningene sine kunne følge med i et logisk resonnement og vurdere gyldigheten kunne begrunne sammenhenger mellom ulike begrep, egenskaper, framgangsmåter kunne argumentere for gyldigheten av en hypotese gjennom logiske resonnement (fra kjent til ukjent) Se Tallforståelse av Anita Valenta
Trådmodellen knyttet til tallforståelse kort oversikt.
Norges smarteste 55 55 Hvordan tenker du? 47 43 25 35 19 23
Hva vil det si å resonnere/begrunne i matematikk? Vi er på 2. trinn og elever jobber med oppgaven 31+26. En av elevene, Mari, skriver følgende: 31+26 30+27 57 Læreren spør hvordan hun har tenkt. Mari sier: Jeg flyttet 1 fra 31 til 26. Da blir det 30+27, og det er lettere å regne da det blir 57. Er dette et resonnement/en begrunnelse? Skille mellom: hva har man gjort, og hvorfor man kan gjøre det hvordan man vet at det går an å regne slik
Stine, 6.trinn: «Du kan flytte null når du ganger. For eksempel 60 25 = 6 250.» Kan du flytte null? Er svaret på 60 25 det samme som svaret på 6 250? Kan vi flytte null i for eksempel 603 25? Kan vi flytte noe annet? Som for eksempel 61 25 = 6 251? Hva om spørsmålet er 60 + 25? Kan vi flytte null nå? Hvorfor kan man flytte 0 i 60 25 = 6 250? Hvorfor virker den regnestrategien? Kan man flytte 0 i 70 43 også? Hvordan kan vi være sikre (uten bare å regne og sjekke)? Virker Stines regel i alle slike regnestykker?
Diskuter Utforme et resonnement / en begrunnelse slik at den er matematisk gyldig (kan betraktes som et matematisk bevis) og samtidig tilgjengelig for elever på 6.trinn
Hvordan begrunne en generell påstand? Referere til autoriteter Utprøving på konkrete eksempler Bruk av et generisk eksempel representasjonsbevis Deduktiv argumentasjon algebraiske symboler, bygger på kjente egenskaper og strukturer Merk: De to første er ikke matematisk gyldige. Den siste er sjeldent mulig på barnetrinnet (grunnet symboler, men også at hypotesen kan handle om grunnleggende egenskaper slik som assosiativitet i Stines regel)
Representasjonsbevis Begrunnelsen tar utgangspunkt i et eksempel som presenteres ved en tegning, modell, eller regnefortelling. Følgende kriteria skal være oppfylt i begrunnelsen: Betydning av den involverte operasjonen er representert tydelig i tegningen, konkretene eller regnehistorien. Representasjonen kan bli generalisert/tilpasset til å gjelde for en hel klasse eksempler, for eksempel alle hele tall. Strategien det argumenteres for kommer tydelig frem i representasjonen og konklusjonen, og om strategien virker eller ikke følger av representasjonen.
Representasjonsbevis Eksempler Tangram areal 2. trinn Iskrembevis 5. trinn Oddetall + oddetall alltid partall? Arealmodellen (kvadratsetningene) Dagens tall Eksempel på elevsvar (5. trinn) når dagens tall er 1 og de arbeider med divisjon: 435 : 435 = 1 Hvis du tar et hvilket som helst tall og deler på det samme tallet får du alltid 1 til svar. Et tall : det samme tallet = 1 t : t = 1
Legg grunnlaget med modeller
Arealmodellen utvidet bruk 4-Nov-15 18
Dagens tall Svaret er 1! Divisjon: Hvilke divisjonsstykker gir kvotienten 1? Multiplikasjon: Hvilke multiplikasjonsstykker gir produktet 1? Subtraksjon: Hvilke subtraksjonsstykker gir differensen 1? Addisjon: Hvilke addisjonsstykker gir summen 1?
Lav inngangsterksel Elevene produserer oppgaver selv Fellestrekk/mønster i oppgavene, fra det spesielle til det generelle Egenskaper ved de fire regningsartene Identitetselementer Hva hvis svaret er 2, eller 17 eller 128?
Susie undersøker og begrunner (a + b)- b = a Stemmer dette? Er det slik alltid? Hvordan vet du at det stemmer for ALLE tall?
Susie undersøker og begrunner Susie går i andre klasse. Hvilke argumenter bruker Susie når hun skal begrunne at a + b b = a stemmer for alle tall? Er hun ikke helt sikker? Hvorfor/hvorfor ikke? Hvilke typer tall ønsker Susie å teste? Hvordan forklarer hun ar minus fem minus minus 5 er null? På hvilken måte og ved hvilke to argument beviser Susie at påstanden er sann? Susie går veien om identitetselementet 0. For det første: b b = 0 For det andre: a + 0 = a
Hvordan fremme matematisk tenking? Matematisk tenkning kan beskrives som mentale aktiviteter som kan kategoriseres i seks grupper (Watson & Mason, 1998) eksemplifisering forbedring sammenlikning formulering av hypoteser generalisering argumentasjon. Til disse kan man tenke seg en mengde spørsmål, som vil engasjere elevene i de ulike typene av mental aktivitet.
Spørsmål som fremmer matematisk tenking 1. Å eksemplifisere og spesialisere Gi/vis/finn et eksempel på Er et eksempel på.? Hva er det som gjør. til et eksempel på? Finn et moteksempel til 2. Å komplettere og forbedre/videreutvikle Hva må tilføyes/endres/fjernes for å sikre at? Hva er galt med.? Hva kan tilføyes/fjernes/endres uten at det har innflytelse på
Spørsmål som fremmer matematisk tenking 3. Å sammenlikne, sortere og organisere Hva er likt og hva er forskjellig ved? Sorter eller organiser etter Hvordan kan disse ordnes på en måte som gjør at 4. Å endre, variere Hva hvis (ikke) Hvis vi endrer på dette, hvordan spiller det en rolle videre? Løs/tegn/finn på to eller flere måter hva var den beste/raskeste/enkleste måten?
Spørsmål som fremmer matematisk tenking 5. Å generalisere og formulere formodninger Hva skjer generelt med, hvis? Er det alltid/noen ganger/aldri tilfelle at.? Beskriv alle mulige 6. Å forklare, rettferdiggjøre, overbevise Forklar hvorfor Hvordan kan vi være sikre på at? Hvorfor kan man gjøre dette? Hvorfor gir det et riktig svar?
Samarbeidsoppgave: Hvor lange er stavene? Oppgaven går ut på å finne lengden på staver ut fra fire informasjoner om stavene. I tillegg får dere vite at stavene skal ha en samlet lengde på 30. Vis løsningen ved å skravere lengdene til stavene i et rutenett. 04.11.2015 27
Samarbeidsoppgave: Hvor lange er stavene?
Spørsmål som fremmer matematisk tenkning 04.11.2015 29
Hvor lang er stavene? Lag to tre spørsmål som fremmer matematisk tenkning
Resonnement med kenguruoppgaver Pararbeid Argumentere for løsning, forklare strategier Vise løsning ved hjelp av - Konkreter - Illustrasjoner Utfordre elever ved å utvide oppgaver Spørsmål som fremmer matematisk tenkning
Dersom nesa fortsatt er 9 cm lang Er det mulig at nesa kunne blitt 31 cm? Hvis ja, hvordan? Hvis nei, hvorfor ikke? Kan du endre på målene for løgn og sannhet slik at alle svaralternativer kan være mulige? Vis eksempler. Kengurukonkurransen 2013 Ecolier, oppg. 9
Krav til mål på løgn og sannhet Når løsning skal være et oddetall? Når løsning skal være et partall? 9 + 3 en lengde 2 en lengde odde + odde par = par odde + par par = odde
Andre oppgaver som bygger på samme ide En frosk vil hoppe opp ei trapp med mange trinn. Den kan gjøre to forskjellige hopp: Enten 3 trinn opp eller 4 trinn ned i hvert hopp. Frosken starter på bakken. Hva er det minste antall hopp frosken kan gjøre for å komme akkurat opp på det 22. trinnet? (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 15 Kengurukonkurransen 2012 Ecolier, oppg. 16
Samtaletrekk Gjenta Repetere Resonnere Tilføye Vente Snu og snakk Endre RESONNERE «Så du sier at et partall pluss et partall blir et partall? Kan du forklare hvorfor det blir slik?» «Hva tenker dere andre? Er dere enige eller uenige? Hvorfor/hvorfor ikke?
Å vurdere en påstand Påstand: Under hver vokal er det et partall. Hvilket kort må du snu for å sjekke om påstanden er sann? 4-Nov-15 36
Logiske oppgaver Hvem er høyest? Joanna er høyere enn Anna, men lavere enn Tom. Rune er høyere enn Joanna. Mari ville vært lavest, hvis det ikke hadde vært for Bård. Rune er ikke høyest. Skriv navnene i rekkefølge fra den laveste til den høyeste. 4-Nov-15 37
Logiske oppgaver Hvem snakker sant? I landet Fantasia finnes det 6-, 7- og 8-armede blekkspruter. De som har 7 armer lyver alltid, mens de som har 6 eller 8 armer snakker alltid sant. En dag møttes fire blekkspruter. Den blå blekkspruten sa: Vi har til sammen 28 armer. Den grønne sa: Vi har til sammen 27 armer. Den gule sa: Vi har 26 armer til sammen. Den røde blekkspruten sa: Vi har 25 armer til sammen. Hvilken farge har den blekkspruten som snakker sant? A) Grønn B) Blå C) Gul D) Rød E) Ingen snakker sant Kengurukonkurransen 2010 Benjamin, oppg. 24
Oppsummering Mål for undervisninga Valg av oppgave som fremmer målet Forventet elevrespons Spørsmål som knytter elevsvar og mål sammen Hvilke elevsvar skal løftes fram for å fremme målet?
Å vurdere størrelser Bamseliten sitter i toppen av et tre Hvor høyt er omtrentlig treet?
Å vurdere størrelser
Å vurdere størrelser Hva kan omkretsen være?