Kombinatorikk og sannsynlighet løsninger

Kombinatorikk og sannsynlighet løsninger Innhold 4.1 Multiplikasjon av sannsynligheter... 2 Produktsetningen... 11 4.2 Kombinatorikk... 24 4.3 Sannsynlighetsberegninger... 27 4.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 29 4.5 Binomisk sannsynlighetsmodell... 32 4.6 Eksamensoppgaver... 40 Bildeliste... 58 1

4.1 Multiplikasjon av sannsynligheter 4.1.1 Tell opp hvor mange gutter og jenter det er i klassen din akkurat nå. Tenk deg at læreren din skal trekke ut en elev fra klassen helt tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en jente? b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en gutt? c) Legg sammen sannsynlighetene i a) og b). Hva oppdager du? Summen av sannsynlighetene blir 1. 4.1.2 Du har 3 blå kuler, 2 røde kuler, 4 svarte kuler og 1 hvit kule i en boks. a) Du trekker 1 kule tilfeldig fra boksen. Hvilke mulige utfall har du? blå kule, rød kule, svart kule, hvit kule Utfall b) Skriv opp en sannsynlighetsfordeling når du trekker en kule tilfeldig. Det er 10 kuler til sammen, og vi kan skrive opp denne sannsynlighetsfordelingen. Farge på kule Blå Rød Svart Hvit Sannsynlighet 3 10 1 5 2 5 1 10 2

4.1.3 Du spiller på et lykkehjul som er delt opp i 24 like store deler som er nummerert fra 1 til 24. Ett av tallene gir gevinst. Du kjøper 4 ulike tall på lykkehjulet. a) Hvor stor sannsynlighet har du for å vinne? Sannsynlighet for å vinne 4 1 24 6 b) Hvor stor er sannsynligheten for at du ikke vinner? 1 5 Sannsynligheten for ikke å vinne vil være 1 6 6 Du måtte betale 10 kroner for hvert av tallene du kjøpte. Premien for å komme på vinnertallet er 200 kr. c) Vil det, i det lange løp, lønne seg å spille på dette lykkehjulet? 1 I det lange løp vil du vinne 200 kr 8,33 kr for hvert tall du kjøper. 24 Når du betaler 10 kroner for et tall, vil det i det lange løp ikke lønne seg å spille på dette lykkehjulet. 4.1.4 I et forsøk har vi følgende utfallsrom U R, S, G, H I hvilke av tilfellene under har vi en sannsynlighetsmodell? 1 1 1 1 2 4 8 8 P R 1, P S 2, P G 1 og P H 1 5 5 3 5 P R 1, P S 2, P G 1 og P H 1 3 9 6 3 P R 1, P S 1, P G 1 og P H 1 4 4 4 4 1. PR, PS, PG og PH 2. 3. 4. (Tips: Hva er summen av sannsynlighetene i en sannsynlighetsmodell?) Summen av sannsynlighetene i en sannsynlighetsmodell skal være 1. Dette er oppfylt i alternativ 1 og 4. 3

4.1.5 Vi trekker tilfeldig et kort fra en kortstokk.. Vi definerer følgende hendelser: H: Kortet er en hjerter. K: Kortet er en konge. O: Kortet er et oddetall under 10. a) Finn sannsynligheten for hver av hendelsene ovenfor. P H 13 1 52 4 P K 4 1 52 13 16 4 52 13 uten ess P O 5 med ess 13 P O b) Finn sannsynligheten for PK O 1 4 5 1 5 6 PK O evt. PK O 13 13 13 13 13 13 c) Finn sannsynligheten for PH 1 3 PH 1PH 1 4 4 4

4.1.6 Vi kaster en tikrone tre ganger. Vi definerer følgende hendelser: A: Nøyaktig to mynt B: Minst to mynt a) Skriv ned de mulige utfallene vi kan får når vi tar hensyn til kastrekkefølgen. U mmm, mmk, mkm, kmm, mkk, kmk, kkm, kkk b) Hvilke utfall er med i hendelsen A og hvilke utfall er med i hendelsen B? U mmk, mkm, kmm Utfall i hendelse A: A Utfall i hendelse B: U mmk, mkm, kmm, mmm c) Hva er sannsynligheten for hendelse A og B? 3 4 1 P A PB 8 8 2 B 5

4.1.7 Idrettsklubben KomiForm har 50 medlemmer. 20 av medlemmene driver med svømming, 15 av medlemmene spiller golf. 10 av medlemmene driver med både svømming og golf. a) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller golf. Sannsynligheten for at et medlem spiller golf er 15 3 0,30 50 10 Små og store golfspillere i aksjon på Ekebergsletta i Oslo. b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller både golf og driver med svømming. Det er 10 medlemmer som driver med både svømming og golf og sannsynligheten blir 10 1 0,20 50 5 c) Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem deltar i golf eller svømming? Sett opp et venndiagram for å få oversikt. U 50 S G 10 10 5 25 Det er 25 medlemmer som enten deltar i golf eller svømming eller begge deler. Sannsynligheten blir da 25 0,50 50 6

4.1.8 På en videregående skole er det 120 elever i andre klasse. En dag har 60 elever hatt matematikk og 45 engelsk, mens 35 elever ikke har hatt noen av fagene. a) Lag en oversikt, for eksempel et venndiagram, for å illustrere dette. U 120 M E 40 20 25 35 b) Hva er sannsynligheten for at en elev har begge fagene denne dagen? 20 1 Sannsynligheten for at elev har begge fagene blir 120 6 c) Hva er sannsynligheten for at en elev har akkurat ett av fagene? 40 25 65 13 Sannsynligheten for at elev har nøyaktig ett av fagene blir 120 120 24 d) Hva er sannsynligheten for at en elev har minst ett av fagene? (Husk: Minst ett av fagene betyr enten ett av fagene eller begge fagene.) 40 20 25 85 17 Sannsynligheten for at elev har minst ett av fagene blir 120 120 24 e) Hva er sannsynligheten for at en elev har høyst ett av fagene? (Husk: Høyst ett av fagene omfatter også de elevene som ikke har noen av fagene.) 3540 25 100 5 Sannsynligheten for at elev har høyst ett av fagene blir 120 120 6 7

4.1.9 Du trekker kort fra en tilfeldig blandet kortstokk. Vi definerer følgende hendelser: H: Kortet er hjerterdame. S: Kortet er en svart dame (kløver eller spar). D: Kortet er rødt eller en dame. a) Finn PS 2 1 PS 52 26 b) Finn PS H 1 1 3 PS H 26 52 52 c) Finn PD PD 26 2 28 7 52 52 13 d) Finn PH D P H D 1 52 e) Finn PS D 2 1 PS D 52 26 8

4.1.10 Ved en skole ble alle mopedene tatt inn til en teknisk kontroll. Kontrollen viste at 30 % av mopedene gikk for fort, og at 15 % av mopedene hadde feil ved bremsene. 60 % av mopedene gikk verken for fort eller hadde noen feil ved bremsene. a) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert hadde bremser som var i orden. Andelen av mopedene som hadde feil ved bremsene var 15 %. Sannsynligheten for at en moped ikke hadde feil ved bremsene blir da 10,15 0,85 b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert både gikk for fort og hadde feil ved bremsene. U 1 F B 0,25 0,05 0,10 0,60 Av venndiagrammet ser vi at 5 % av mopedene både gikk for fort og hadde feil med bremsene. c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert gikk for fort, men hadde bremsene i orden. Av venndiagrammet ser vi at 25 % av mopedene gikk for fort, men hadde bremsene i orden. 9

4.1.11 Ved en bedrift som produserer sykler er sannsynligheten 0,020 for at en tilfeldig valgt sykkel har en feil av type A. Sannsynligheten for at sykkelen også har en feil av type B, er 0,015. Sannsynligheten for at sykkelen har minst én av feilene, er 0,030. a) Hva er sannsynligheten for at sykkelen har begge feilene? Hvor mange sykler? U 1 A B 0,005 0,015 0,010 0,970 Sannsynligheten for at en sykkel har begge feilene er 0,015 altså 1,5 %. b) Hva er sannsynligheten for at sykkelen høyst har en av feilene? Sannsynligheten for at sykkelen har høyst en av feilene blir 10,015 0,985 10

Produktsetningen 4.1.12 I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. a) Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde? 3 2 1 1 P2 røde kuler 12 11 211 22 b) Hva er sannsynligheten for at du trekker en blå og en gul kule? 4 5 5 4 5 5 10 P1 blå og 1 gul 12 11 12 11 33 33 33 4.1.13 Eline har to søsken. De er ikke tvillinger. Vi regner med at sannsynligheten for å få en gutt eller en jente er like stor. a) Hva er sannsynligheten for at hun har to søstre? 1 1 1 Sannsynlighet for to søstre er PS S PSPS 0,25 2 2 4 b) Hva er sannsynligheten for at Eline har en bror og en søster? 1 1 1 1 1 1 Sannsynligheten for en bror og en søster: PS B PB S 0,50 2 2 2 2 4 4 11

4.1.14 Eirin har tre barn. De er ikke tvillinger eller trillinger. Vi regner med at sannsynligheten for å få en gutt eller en jente er like stor. a) Hva er sannsynligheten for at hele søskenflokken er jenter? 1 1 PJJJ PJ J J PJPJPJ 0,125 2 8 b) Hva er sannsynligheten for at den eldste i søskenflokken er en gutt og resten er jenter? 1 1 PGJJ PG J J PGPJPJ 2 8 c) Hva er sannsynligheten for at det er høyst én gutt i søskenflokken? Vi har da fire mulige utfall med samme sannsynlighet, JJJ, GJJ, JGJ, JJG. 1 PHøyst en gutt PJJJ PGJJ PJGJ PJJG 4 0,50 8 3 3 4.1.15 Omtrent én tidel (10 %) av verdens befolkning er venstrehendte. I en klasse er det 20 elever. a) Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen venstrehendte i denne klassen? Ingen venstrehendte vil si at alle i klassen må være høyrehendte. Sannsynligheten for å være høyrehendt blir 10,10 0,90. 20 Sannsynligheten for at alle 20 er høyrehendte blir: Palle høyrehendte 0,90 0,12 b) Hva er sannsynligheten for at det er minst en venstrehendt i klassen? Enten er alle høyrehendte ellers så er minst en venstrehendt. P(Minst en venstrehendt) = 1P alle høyrehendte 1 0,12 0,88 12

4.1.16 I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. a) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er blå, dersom den første du trakk var gul? 4 PB G 11 b) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er gul, dersom den første du trakk var gul? 4 PG G 11 c) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er rød, dersom den første du trakk var gul? 3 PR G 11 4.1.17 I en skål ligger det 100 nøtter. 5 % av nøttene er dårlige. Du tar tre nøtter tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for at alle tre nøttene er fine? 95 94 93 P3 fine nøtter 0,856 100 99 98 b) Hva er sannsynligheten for at de to siste nøttene er fine når du vet at den første var dårlig? Vi har da 95 94 0,920 99 98 c) Hva er sannsynligheten for at den tredje nøtta er fin når de to første var dårlige? 95 Vi har da 0,969 98 I en skål ligger det 100 nøtter. 13

4.1.18 Et passord består av 5 siffer. a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du få dersom du kan bruke tallene 0 til 9 akkurat som du vil? 5 Vi har 10 siffer å velge mellom, og kan få 10 100 000 mulige kombinasjoner av passordet. Du kan få 100 000 kombinasjoner. b) Hvor mange kombinasjoner kan du få dersom alle sifrene må være ulike? For første siffer har du 10 mulige tall å velge mellom, for andre siffer har du nå 9 tall å velge mellom osv. Du får da 109867 30 240 mulige kombinasjoner av passordet. Du kan få 30 240 kombinasjoner. 4.1.19 Thomas har to søsken. Ingen er tvillinger eller trillinger. a) Hva er sannsynligheten for at de tre søsknene har gebursdag på ulike ukedager? Vi har 7 ulike ukedager. Tenk deg at søsken nummer en har en bestemt dag, da har søsken nummer to 6 andre dager å velge mellom. Søsken nummer tre har 5 dager å velge mellom. Vi får da 7 6 5 0,61 7 7 7 b) Hva er sannsynligheten for at minst to av søsknene har gebursdag på samme dag? Enten har alle tre søsknene gebursdag på ulike ukedager eller så har minst to av dem gebursdag på samme dag. 10,61 0,39 Nå tar vi med foreldrene til Thomas. c) Hva er sannsynligheten for at de fem familiemedlemmene har gebursdag på ulike ukedager? Vi får da 7 6 5 4 3 0,15 7 7 7 7 7 14

4.1.20 En skiskytter har to blinker igjen på en skive. Sjansen for å treffe blink på det nest siste skuddet er 0,85. Dersom hun treffer blink på det nest siste skuddet, er sjansen for å treffe blink på det siste skuddet 0,80. Dersom hun ikke treffer blink på det nest siste skuddet, er sjansen for å treffe blink på det siste skuddet 0,75. Vi definerer disse hendelsene: T: Treff på det nest siste skuddet B: Bom på det siste skuddet Hvor stor er sannsynligheten for at hun treffer blink? Regn ut: a) PT B 0,850,20 0,17 b) PT B 0,150,25 0,038 c) PB T 02, 0 d) PB T 07, 5 15

4.1.21 Vegard selger krabber og ville sjekke kvaliteten på krabbene. Han kokte 30 krabber og tabellen viser hvordan krabbene fordelte seg. Gode Dårlige Breiskorpe (hunnen) 14 4 Nadde (hannen) 9 3 Vi trekker ut en tilfeldig krabbe og definerer hendelsene: Taskekrabbe: Cancer pagurus Andre norske navn: Krabbe, rødkrabbe, paltosk, høvring, skryda G: Krabben er god N: Krabben er en nadde Finn følgende sannsynligheter: a) P G b) 23 30 9 P G N 12 9 P N G 23 c) 14 P N G 23 d) e) PG N 2 f) PG N 9 3 10 16

4.1.22 - Utfordring! For å vinne toppgevinsten i lotto må du velge ut 7 riktige tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Trekningen er uten tilbakelegging. a) Hva er sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto dersom du velger ut akkurat 7 tall? Sannsynligheten for toppgevinsten blir 7 6 5 4 3 2 1 34 33 32 31 30 29 28 1 0,000019% 5 379 616 Hva er sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto dersom du velger ut akkurat sju tall? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av tallene du tipper er riktige? Sannsynligheten for ingen av tallene: 27 26 25 24 23 22 21 0,165 34 33 32 31 30 29 28 c) Hva er sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig? Sannsynligheten for minst ett av tallene er riktig: 10,165 0,835 d) Dersom du leverer inn et forslag på 7 tall hver uke i de neste 70 årene, hva er da sannsynligheten for at du vinner toppgevinsten i løpet av disse 70 årene? Regner med 52 uker per år. Antall uker på 72 år blir 3 744. Sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i løpet av disse 70 årene blir da 3 744 1 11 0,000696 5 379 616 17

4.1.23 Vi kaster to terninger og teller opp summen av øyne på de to terningene. Det gir følgende utfall. Terning 1 Terning 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Vi definerer hendelsene: A: Sum øyne lik 6 B: Minst én av terningene er en firer a) Finn PA, PB og PA B P A 5 36 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 P B 11 36 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 2 1 PAB 36 18 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 18

b) Finn PA B og PB A 1 PAB 2 PA B 18 PB 11 11 36 1 PAB 2 PB A 18 PA 5 5 36 Disse svarene kunne vi også ha funnet ved å telle opp. I det første tilfelle har vi to tilfeller der sum øyne er 6 gitt at vi har minst én firer. Gunstige på mulige gir 2 av 11 mulige utfall. I det andre tilfelle er det 2 gunstige utfall av fem mulige. Vi definerer hendelsene: C: Terning 1 blir en treer D: Terning 2 blir minst en firer c) Finn PC, PD og PC D 6 1 36 6 PC 3 1 PC D 36 12 d) Finn PC D og PD C P C D P D C 1 PC D 12 1 PD 1 6 2 1 PD C 12 1 PC 1 2 6 e) Finn PC A og PB C P C A P B C 1 PC A 36 1 PA 5 5 36 1 PBC 36 1 PC 1 6 6 18 1 36 2 P D 19

4.1.24 På en skole er det 50 % jenter. 30 % av elevene ved skolen røyker. 60 % av de som røyker er jenter. Bruk Bayes setning og finn sannsynligheten for at en tilfeldig jente ved skolen røyker. Vi definerer følgende sannsynligheter: PR : Sannsynligheten for at en elev røyker. P J : Sannsynligheten for at en elev er jente. P J R : Sannsynlighetene for at en elev er jente gitt at eleven røyker. P J R P J P R 0,300,60 PR J 0,36 0,50 Sannsynlighet for at en tilfeldig jente ved skolen røyker er 0,36. 20

4.1.25 En kiosk fører statistikk over hvor mange kunder som kjøper VG, hvor mange som kjøper Dagbladet, og hvor mange som kjøper begge avisene. En dag var det 40 % som kjøpte VG, av disse var det 20 % som kjøpte Dagbladet. 30 % kjøpte Dagbladet denne dagen. Definerer hendelsene: V: Tilfeldig kunde kjøper VG D: Tilfeldig kunde kjøper Dagbladet a) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte både VG og Dagbladet? P V D P V P D V 0,400,20 0,08 Sannsynlighet for at en tilfeldig kunde kjøpte begge avisene denne dagen var 0,08. b) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde verken kjøpte VG eller Dagbladet? Finner først sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte en av avisene eller begge. PV D PV PDPV D 0,40 0,30 0,08 0,62 Sannsynligheten for at en kunde ikke kjøpte noen av avisene blir dermed: 1P V D 10,62 0,38 Sannsynligheten for at en tilfeldig kunde verken kjøpte VG eller Dagbladet denne dagen var 0,38. c) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte VG dersom vedkommende kjøpte Dagbladet? Bruker Bayes setning og finner. PD V PD P V 0,400,20 4 PV D 0,27 0,30 15 Sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte VG dersom vedkommende kjøpte Dagbladet er 0,27. 21

4.1.26 En matematikkprøve har fem svaralternativer på hver oppgave. Du får tre oppgaver, og det er bare ett riktig svar på hver av oppgavene. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. Vi definerer hendelsene: R : G : Rett svar Galt svar a) Forklar hvorfor hendelsene R og G er disjunkte. Du kan ikke både ha rett svar og galt svar på et spørsmål. Hendelsene R og G har altså ikke noe felles. Når hendelsene ikke kan bli oppfylt samtidig, sier vi at hendelsene er disjunkte. b) Hva er sannsynligheten for å svare galt på det første spørsmålet? 4 PG 0,80 5 c) Tegn et valgtre som viser situasjonen. d) Finn sannsynligheten for å få tre riktige svar. 3 P RRR P R P R P R 0,20 0,008 Det er altså 0,8 % sjanse til å få tre riktige svar. 22

e) Finn sannsynligheten for nøyaktig to riktige svar. Vi har tre mulige som gir nøyaktig to riktige svar, nemlig: RRG, RGR og GRR. Vi får P RRG P RGR P G RR 0,20,20,8 0,20,80,2 0,80,20,2 2 2 2 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 2 3 0,2 0,8 0,096 Det er altså 9,6 % sjanse til å svare riktig på nøyaktig to spørsmål. f) Finn sannsynligheten for å få minst ett riktig svar på prøven. Vi finner først sannsynligheten for ingen riktige svar, dvs. 3 gale svar. 3 PGGG 0,8 0,512 Sannsynligheten for minst en riktig blir 1P GGG 10,512 0,488 Det er 48,8 % sjanse for å få minst ett riktig svar på prøven. 23

4.2 Kombinatorikk 4.2.1 En kodelås består av 5 tall mellom 0 og 9. a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage? Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegg. Vi har 10 valgmuligheter hver gang vi skal velge et siffer. 5 10 100 000 ulike kombina sjoner Det gir b) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage dersom du ikke kan ha to like tall etter hverandre? Vi kan velge det 1. sifferet i koden blant 10 ulike siffer, deretter få du 9 siffer å velge mellom. 4 109 65 610 ulike kombinasjo ner Det gir 4.2.2 Et bilnummer består av to bokstaver og deretter fem tall mellom 0 og 9. Antall ulike bokstaver det kan velges mellom er 20. Det første tallet kan ikke være 0. a) Hvor mange kombinasjoner finnes det? Vi kan her velge mellom 20 bokstaver. Det første sifferet i bilnummeret velges blant 9 ulike siffer, mens de 4 siste velges mellom 10 ulike siffer. 2 4 20 910 36 000 000 ulike kombinasjo ner Det gir Et annet bilnummer består av tre bokstaver og deretter fire tall mellom 0 og 9. Antall ulike bokstaver det kan velges mellom er 20. b) Hvor mange kombinasjoner fins det? Vi kan her velge mellom 20 bokstaver. 3 4 20 10 80 000 000 ulike kombinasj oner Det gir 24

4.2.3 Stefania, Dina, Joar, Jenny og Jon Henrik skal løpe en skolestafett. De trekker ut hvem som skal løpe de ulike etappene. a) Hvor mange kombinasjoner fins det? Her kan vi velge mellom 5 løpere til første etappe, deretter 4 på andre etappe osv. 54321 5! 120 mulige kombinasjoner b) Det er bestemt på forhånd at Jon Henrik skal løpe sisteetappen. Hvor mange kombinasjoner blir det nå? Nå har vi bare 4 løpere å velge mellom til første etappe osv. 4321 4! 24 mulige kombinasjoner 4.2.4 Det skal trekkes ut to personer fra en gruppe på fire personer. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. I hvilken rekkefølge de to personene blir trukket ut betyr ikke noe. En person kan heller ikke bli trukket ut to ganger. Vi lar de fire personene få bokstavene A, B, C og D. b) Sett opp de ulike kombinasjoner som finnes. Vi får kombinasjonene: AB, AC, AD, BC, BD og CD. I alt 6 ulike kombinasjoner. c) Bruk formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegg, og finn antall ulike kombinasjoner. n 4 43 6 k 2 21 Antall ulike kombinasjoner blir 25

4.2.5 Det skal trekkes ut tre elever fra 2STB som skal representere skolen ved en høytidelig anledning. Det er 30 elever i klassen. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. I hvilken rekkefølge de tre elevene blir trukket ut betyr ikke noe. En elev kan heller ikke bli trukket ut to ganger. b) Hvor mange ulike kombinasjoner fins det? Bruker formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegg. Antall ulike kombinasjoner blir n 30 30 k 3 10 14 2928 3 2 1 4 060 4.2.6 Det skal trekkes ut 6 spillere til volleyballag fra en gruppe på 10 spillere. Hvor mange måter kan dette gjøres på? Her har vi en situasjon med uordnet rekkefølge og uten tilbakelegg. Antall ulike kombinasjoner blir n 10 10 9 8 7 65 k 6 65 4 321 210 3 26

4.3 Sannsynlighetsberegninger 4.3.1 I en klasse er det 16 jenter og 14 gutter. Klassen skal stille et guttelag og et jentelag til en volleyballturnering. Begge lagene skal ha seks spillere. a) Hvor mange ulike kombinasjoner av jentelag finnes det? 16 8 008 6 Antall ulike kombinasjoner blir I klassen går blant andre guttene Espen, Tor Olav, Håkon, Markus, Anders og André. b) Hvor stor er sannsynlighet for at akkurat disse seks guttene velges ut til guttelaget i volleyballturneringen? Vi definerer hendelsen A : Alle seks guttene trekkes ut. g 1 1 Sannsynligheten for A blir PA PA 0,00033 m 14 3 003 6 Det er ca. 0,033 % sjanse for at disse 6 guttene kommer på laget dersom trekningen er helt tilfeldig. 4.3.2 Drillo skal ta ut 11 spillere som skal starte i en fotballandskamp. Han kan velge mellom 2 målmenn, 6 forsvarsspillere, 7 midtbanespillere og 5 spisser. Laget til Drillo skal bestå av 1 målmann, 3 forsvarsspillere, 5 midtbanespillere og 2 spisser. a) Hvor mange ulike lagoppstillinger er mulig? Hvert av valgene til Drillo er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. Antall mulige lagoppstillinger blir 2 6 7 5 8 400 1 3 5 2 b) Hvor stor er sannsynligheten for at en som ikke kjenner noen av spillerne skal sette opp samme lagoppstilling som Drillo. 1 Sannsynligheten blir 8400 0,00012 27

4.3.3 Du skal nå se på noen eksempler på forsøk hvor alle kan oppfattes som at vi legger n antall nummererte lapper i en hatt og trekker ut en lapp r ganger. Denne oppgaven har ikke løsningsforslag. Tenk over om lappen må legges tilbake eller ikke og om du skal ha et ordnet eller uordnet utvalg. Diskuter med dine medelever dersom du er usikker. Tenk deg godt om før du spør læreren din. a) Å kaste en terning kan oppfattes som å plassere 6 lapper, nummerert fra 1 til 6, i en hatt, og så trekke 1 lapp. Hvor mange mulige utfall? b) Å spille lotto kan oppfattes som å ha 34 lapper, nummerert fra 1 til 34, i en hatt, og så trekke 7 lapper. Hvor mange mulige utfall? c) Å velge to elever til elevrådet kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Hvor mange mulige utfall? d) Å velge leder og nestleder i klassen kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Den første som trekkes blir leder. Hvor mange mulige utfall? e) Å tippe fotballkamper kan oppfattes som å ha 3 lapper, nummerert fra 1 til 3, i en hatt, og så trekke 12 lapper. Hvor mange mulige utfall? f) Å lage en bokstavkode på 3 bokstaver kan oppfattes som å ha 29 lapper, nummerert fra 1 til 29, i en hatt, og så trekke 3 lapper. Hvor mange mulige utfall? g) Å velge ut 11 spillere fra en stall på 18 kan oppfattes som å ha 18 lapper, nummerert fra 1 til 18, i en hatt, og så trekke 11 lapper. Hvor mange mulige utfall? h) Å velge ut 4 skiløpere til et stafettlag fra en stall på 8 kan oppfattes som å ha 8 lapper, nummerert fra 1 til 8, i en hatt, og så trekke 4 lapper. Hvor mange mulige utfall? i) Samme som h), men vi tar også hensyn til hvem som skal gå de forskjellige etappene. Hvor mange mulige utfall? j) Å få utdelt 13 kort når du spiller amerikaner, kan oppfattes som å ha 52 lapper, nummerert fra 1 til 52, i en hatt, og så trekke 13 lapper. Hvor mange mulige utfall? 28

4.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell 4.4.1 En gruppe på 4 elever består av 2 gutter og 2 jenter. Det skal trekkes ut 2 elever fra gruppen. La guttene få bokstavene G 1 og G 2, og jentene J 1 og J 2. a) List opp antall mulige ulike kombinasjoner. Mulige kombinasjoner: G1G 2, G1J 1,G1J 2, G2J 1, G2J 2,J1J2 I alt 6 ulike kombinasjoner. b) Finn sannsynligheten for at elevene som trekkes ut er 2 jenter. Det er kun en mulighet for akkurat 2 jenter, nemlig J 1 J 2. Sannsynligheten for 2 jenter blir dermed 1 6 c) Finn sannsynligheten for at elevene som trekkes ut er 1 jente og 1 gutt. Det er i alt 4 ulike kombinasjoner for akkurat 1 jente og 1 gutt, nemlig G 1 J 1, G 1 J 2, G 2 J 1, G 2 J 2. Sannsynligheten for 1 jente og 1 gutt blir dermed 4 2 6 3 d) Bruk formelen for hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og finn svarene i b) og c). Sannsynligheten for 2 jenter blir: 2 2 2 0 11 1 4 43 6 2 21 Sannsynligheten for 1 jente og 1 gutt blir: 2 2 1 1 22 4 2 4 43 6 3 2 21 29

4.4.2 I en klasse skal det trekkes ut 4 elever til en komité som skal arrangere en klassefest. Klassen består av 16 jenter og 14 gutter. a) Finn sannsynligheten for at komitéen består av 4 jenter. Her er det snakk om uordnet utvalg uten tilbakelegg. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Definerer hendelsen: A: Komitéen består av 4 jenter. 16 14 4 0 PA 0,066 30 4 Sannsynlighet for at komiteen består av 4 jenter er 0,066. b) Hva er sannsynligheten for at det blir en komité på 4 gutter? Definerer hendelsen: B: Komitéen består av 4 gutter... Sannsynlighet for at komiteen vil bestå av 4 gutter er 0,037. c) Hvorfor er ikke svarene i a) og b) like? Antall gutter er færre enn antall jenter. Vi har derfor mindre sannsynlig å trekke ut 4 gutter enn 4 jenter. d) Hva blir sannsynligheten at det blir en komité på 2 jenter og 2 gutter? Definerer hendelsen: C: Komité bestående av 2 jenter og 2 gutter. P C 16 14 2 2 0,398 30 4 Sannsynlighet for at komiteen vil bestå av 2 jenter og 2 gutter er 0,398. 30

4.4.3 Du trekker 4 kort fra en kortstokk. a) Hva er sannsynligheten for å trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter? Definerer hendelsen: A: Trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter 13 13 13 13 1 1 1 1 PA 0,105 52 4 Sannsynlighet for å få akkurat denne kombinasjonen er 0,105. b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 4 hjerter? Definerer hendelsen: B: Trekke 4 hjerter 13 39 4 0 PB 0,003 52 4 Sannsynlighet for å få akkurat denne kombinasjonen er 0,003. c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 ruter og 2 spar? Definerer hendelsen: C: Trekke 2 ruter og 2 spar P C 13 13 26 2 2 0 0,022 52 4 Sannsynlighet for å få akkurat denne kombinasjonen er 0,022. Du trekker 8 kort fra en kortstokk. d) Hva er sannsynligheten for å trekke 2 spar, 2 kløver, 3 hjerter og 1 ruter fra kortstokken? Definerer hendelsen: D: Trekke 2 spar, 2 kløver, 3 hjerter og 1 ruter 13 13 13 13 2 2 3 1 PD 0,030 52 8 Sannsynlighet for å få akkurat denne kombinasjonen er 0,030. 31

4.5 Binomisk sannsynlighetsmodell 4.5.1 Vi kaster en tikrone tre ganger. a) Tegn et valgtre som illustrerer de mulige utfallene vi kan få. Myntkast M K MM MK KM KK MMM MMK MKM MKK KMM KMK KKM KKK b) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig to mynt? Vi har åtte ulike utfall. I tre av utfallene får vi nøyaktig to mynt. 3 Sannsynligheten for nøyaktig to mynt blir: P2 mynt 8 Her kan vi bruke gunstige delt på mulige - regelen siden alle utfall er like sannsynlige (uniform sannsynlighetsmodell). c) Hva er sannsynligheten for å få ingen kron? Sannsynligheten for ingen kron er det samme som sannsynligheten for bare mynt: 1 PMMM 8 d) Bruk binomialformelen til å finne svarene i b) og c). Vi bruker binomialformelen n p k 1 p n k k 1 I b) er n 3, k 2 og p 2 2 1 3 1 1 1 1 3 3 2 2 2 4 2 8 I c) er n 3, k 0 og p 1 2 0 3 3 1 1 1 1 11 0 2 2 8 8 32

4.5.2 Vi kaster en terning 10 ganger. Finn sannsynligheten for at vi får a) to seksere 10 I wxmaxima kan vi regne ut 2 slik Vi kan så bruke binomialformelen 2 8 10 1 5 0,291 2 6 6 Vi kan også finne svaret direkte i GeoGebra Sannsynligheten for at vi får to seksere er 0,291. 33

b) tre seksere Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at vi får to seksere er 0,155. c) ingen seksere Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at vi ikke får noen seksere er 0,162. d) minst en sekser Sannsynligheten for minst en sekser, vil si det samme som 1 sannsynligheten for ingen seksere og vi får: 10,162 0,838 34

4.5.3 Morten planter ut 40 tulipanløk i hagen. Han regner med at spireevnen til løkene er 80 %. Hva er sannsynligheten for at: a) minst 30 av løkene vil spire? At minst 30 av løkene vil spire vil si at 30, 31,32,, eller 40 av løkene vil spire. Vi bruker GeoGebra. Tulipanmark i det sydvestlige Holland. Det er ca. 84 % sjanse for at minst 30 av løkene vil spire. b) høyst 30 av løkene vil spire? Vi bruker GeoGebra. Det er ca. 27 % sjanse for at høyst 30 av løkene vil spire. 35

c) mellom 20 og 30 av løkene vil spire? Vi bruker GeoGebra. Mellom 20 og 30 løker, betyr 21, 22, 23,, 29 løker. Det er ca. 16 % sjanse for at mellom 20 og 30 av løkene vil spire. d) alle løkene vil spire? Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at alle løkene vil spire er ca. 0,013 %. 36

4.5.4 Ved en eksamen i matematikk var det en strykprosent på 20. Betrakt en bunke på 8 tilfeldig utvalgte besvarelser. Hva er sannsynligheten for at a) alle står? Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at alle 8 bestod eksamen er ca. 16,8 %. b) minst halvparten stryker? Vi bruker GeoGebra. At minst halvparten stryker, vil si at 4 eller flere stryker. Sannsynligheten for at minst halvparten stryker er ca. 5,6 %. 37

c) nøyaktig to stryker? Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at akkurat 2 av de 8 stryker til eksamen er ca. 29,4 % 4.5.5 En skiskytter har en treffsikkerhet på 88 %. I et løp skal det skytes på 20 blinker. Hva er sannsynligheten for at skiskytteren treffer a) alle 20 blinkene? Vi bruker GeoGebra. Tåke i Holmenkollen. Hvor stor er sannsynligheten for å treffe blink? Sannsynligheten for at skiskytteren treffer alle 20 blinkene er ca. 7,8 %. 38

b) minst 18 av blinkene? Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at skiskytteren treffer minst 18 av blinkene er ca. 56,3 %. c) høyst 16 av blinkene? Vi bruker GeoGebra. Sannsynligheten for at skiskytteren treffer høyst 16 av blinkene er ca. 21,3 %. 39

4.6 Eksamensoppgaver 4.6.1 (Eksamen 2MX høst 2005) a) Tore ønsker å lage et passord ved hjelp av bokstavene T O R E. Hvor mange ulike passord kan han lage? Bokstavene skal brukes én gang. Her har vi 4 ulike bokstaver å velge mellom første gang, så 3 bokstaver osv. Antall mulige kombinasjoner blir: n! 4! 4321 24 b) Anne ønsker å lage et passord ved hjelp av bokstavene A N N E. Hvor mange ulike passord kan hun lage? Bokstavene skal brukes én gang. Med N først blir det 3*2=6 muligheter, med A eller E først blir det 3 muligheter på hver. Til sammen 12. Hun kan lage 12 ulike passord. c) I en klasse er det 17 gutter og 10 jenter. En gruppe på 4 elever trekkes ut tilfeldig. 1) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut akkurat 3 gutter? Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Definerer hendelsen: A Akkurat tre gutter 17 10 3 1 PA 0,387 27 4 Sannsynlighet for å trekke ut akkurat 3 gutter er 0,387. 2) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut flere gutter enn jenter? Finner sannsynligheten for at det blir trukket ut akkurat 4 gutter. Vi definerer hendelsen: B Sannsynligheten for akkurat fire gutter 17 10 4 0 PB 0,136 27 4 PB 0,387 0,136 0,523 P A Sannsynlighet for å trekke ut flere gutter enn jenter er 0,523. 40

4.6.2 (Eksamen 2MX vår 2006 privatist) Et fotballag består av 11 spillere. Laget er satt sammen av 4 gutter og 7 jenter. De tre spillerne som skal ta straffespark i en avsluttende konkurranse, trekkes tilfeldig ut av spillergruppa. a) Bestem sannsynligheten for at ingen jenter trekkes ut til å ta straffespark. Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Definerer hendelsen A: Ingen jenter 7 4 0 3 P A 0,024 11 3 Sannsynlighet for at ingen jenter trekkes ut er 0,024. b) Bestem sannsynligheten for at minst en jente trekkes ut til å ta straffespark. Definerer hendelsen B: Minst en jente Vi har da: PB PA 1 10,024 0,976 Sannsynligheten for at minst en jente trekkes ut er 0,976. c) Bestem sannsynligheten for at det er akkurat to jenter som trekkes ut til å ta straffespark. Definerer hendelsen: C: Akkurat to jenter P C 7 4 2 1 0,509 11 3 Sannsynlighet for å trekke ut akkurat to jenter er 0,509. d) Du får på forhånd vite at det er minst én jente som er trukket ut til å ta straffespark. Bestem sannsynligheten for at det er akkurat to jenter som er trukket ut. Vi har nå 10 spillere igjen som det skal trekkes fra, 6 jenter og 4 gutter. For å få akkurat to jenter i utvalget vårt må vi ha en jente til. Definerer hendelsen: D: En jente av de 10 resterende spillerne 6 4 1 1 PD 0,533 10 2 Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to jenter blir nå 0,533. 41

4.6.3(Eksamen 2MX høst 2006) I skøyteklubben På Glatta stemte 320 av de 400 medlemmene for sammenslåing med skiklubben Glepptaket. a) Hva er sannsynligheten for at 3 av 7 tilfeldig valgte personer i På Glatta stemte for sammenslåing? Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegg. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Definerer hendelsen A: 3 stemte for sammenslåing 320 80 3 4 PA 0,028 400 7 Sannsynlighet for at 3 av 7 stemte for sammenslåing er 0,028. b) Hva er sannsynligheten for at høyst 6 av 7 tilfeldig valgte medlemmer i På Glatta stemte for sammenslåing? Det blir det samme som å finne sannsynligheten for at ikke 7 stemte for sammenslåing: 320 80 7 0 1 0,793 400 7 Sannsynligheten for at høyst 6 av 7 tilfeldig valgte medlemmer stemte for sammenslåing er 0,793. 42

4.6.4 (Eksamen 2MX høst 2006) På en skole med 830 elever er det 498 jenter. Av skolens elever er det 100 som røyker, 27 av disse er gutter. Vi trekker ut en tilfeldig elev. Vi definerer følgende hendelser: G = eleven er en gutt J = eleven er en jente R = eleven røyker R = eleven røyker ikke a) Regn ut følgende sannsynligheter. Oppgi alle svar med tre desimaler. 1) PR, ( PR G ) og ( PR J ) 100 PR 0,120 830 27 27 PR G 0,081 830 498 332 100 27 73 PR J 0,147 498 498 2) PG R og P J R 27 PG R 0,270 100 498 73 425 P J R 0,582 830 100 730 b) Du plukker ut 5 elever tilfeldig. Regn ut sannsynligheten for at minst én av dem røyker. Det er det samme som å finne sannsynligheten for at ikke alle de fem ikke røyker eller P(minst én av de fem røyker) 1P(ingen av de fem røyker): 730 100 5 0 1 0,475 830 5 Sannsynligheten for at minst én av de 5 elevene røyker er 47,5 % 43

c) Du får vite at akkurat 4 av de 5 elevene er gutter. Hva er nå sannsynligheten for at minst én av de fem røyker? Definerer hendelsene: B Ingen av de 4 guttene røyker C Jenta røyker ikke Finner sannsynligheten for at ingen av de 4 guttene røyker. 830 498 27 27 4 0 PB ( ) 0,711 830 498 4 Finner sannsynligheten for at ikke jenta røyker. PR J P C 1 10,147 0,853 Sannsynligheten for at ingen av de 4 guttene røyker og ikke jenta røyker blir: PBC PBPC 0,711 0,853 0,607 Sannsynligheten for at minst én av de 5 røyker blir: PB C 1 10,607 0,393 44

4.6.5 (2MX eksamen vår 2007 privatist) I en klasse er det 15 jenter og 13 gutter. Det trekkes tilfeldig ut 6 elever til et volleyballag. a) Bestem sannsynligheten for at det er 3 gutter og 3 jenter som blir trukket ut. Definerer hendelsen A: 3 jenter og 3 gutter blir trukket ut 13 15 3 3 PA 0,345 28 6 Sannsynlighet for å trekke ut 3gutter og 3 jenter er 0,345. b) Finn et uttrykk for sannsynligheten for at x gutter blir trukket ut. Definerer hendelsen B: x gutter blir trukket ut 13 15 x 6 x PB 28 6 c) Lag en tabell som viser sannsynlighetene for x-verdier fra 0 til 6. x Px 0 0,013 1 0,104 2 0,283 3 0,345 4 0,199 5 0,051 6 0,005 d) Finn sannsynligheten for at det var minst 4 gutter på laget. Definerer hendelsen G: Minst 4 gutter G 4 gutter 5 gutter 6 gutter G 0,199 0,051 0,005 G 0,255 P P P P P P Sannsynligheten for at det er minst 4 gutter på laget er 0,255. 45

4.6.6 Eksempelsett 2T, desember 2007 Når du fyller ut en lottorekke, skal du krysse av sju tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Du kan selv velge hvor mange rekker du fyller ut. På figuren er det fylt ut ti forskjellige rekker. a) Forklar at det finnes 5 379 616 ulike lottorekker Antall ulike rekker er antall måter du kan trekke 7 34 tall fra 34 tall på: 5379616 7 b) Hva er sannsynligheten for at det er en rekke med 7 rette på kupongen ovenfor? Det er 10 ulike rekker. Sannsynligheten for at det finnes en med 7 rette er 10 5379616 Tenk deg at du leverer inn en kupong som den ovenstående 5 uker på rad. c) Hva er sannsynligheten for å få 7 rette i minst én av de 5 ukene? Vi finner først sannsynligheten for å ikke få 7 rette noen av ukene: 10 5 (1 ) 0,99999 5379616 Sannsynligheten for å få 7 rette minst én gang blir da: 10,99999 0,00001 d) Hvor mange uker må du levere inn kupongen for at sannsynligheten for å få 7 rette minst én gang skal være 0,1? Vi finner svaret ved å løse likningen nedenfor, der x er antall uker. Løser i wxmaxima 10 x (1 ) 0,9 5379616 Kupongen må leverest inn 56 680 uker for at sannsynligheten for å få 7 rette minst én gang skal være 0,1 46

4.6.7 Eksamen 2T, våren 2008 På polarmuseet i Tromsø henger 5 ulike bilder i en rekke på en vegg. Hvor mange forskjellige rekkefølger kan du henge bildene i? Antall rekkefølger: 5! 54321 120 4.6.8 Eksamen 2T, våren 2008 Tonje er en aktiv skiskytter. Hun er med i idrettsklubben Treff.I klubben er det 15 medlemmer som driver med skiskyting, 5 gutter og 10 jenter. Klubben skal være med i en lagkonkurranse. Det skal tas ut 6 utøvere som skal delta. De 6 utøverne plukkes ut tilfeldig og uavhengig av kjønn. a) Hva er sannsynligheten for at Tonje blir tatt ut? Sannsynligheten for at Tonje blir tatt ut: 6 0,4 15 b) Hva er sannsynligheten for at bare jenter blir tatt ut? Sannsynligheten for at bare jenter blir tatt ut: 10 5 6 0 0,042 15 6 c) Hva er sannsynligheten for at flere jenter enn gutter blir tatt ut? Da må det tas ut 4, 5 eller 6 jenter. Sannsynligheten for det er: k6 k4 10 5 k 6 k 0,713 15 6 47

4.6.9 Eksamen 2T, våren 2009 For å finne elever med tuberkulose, skal alle elevene på en skole ta pirquetprøve. Fra tidligere undersøkelser vet man følgende: 1 % av elevene har tuberkulose. 80 % av de elevene som har tuberkulose, får positivt utslag på pirquetprøven. 10 % av de elevene som ikke har tuberkulose, får positivt utslag på pirquetprøven. Vi definerer to hendelser: A: Pirquetprøven er positiv. T: Eleven har tuberkulose. a) Hva er sannsynligheten for at en elev ikke har tuberkulose? P( T) 1 P( T) 10,01 0,99 b) Finn sannsynligheten for at en elev får positivt utslag på pirquetprøven. P( A) P( A T) P( T) P( A T) P( T) 0,800,01 0,100,99 0,107 c) En elev får positivt utslag på pirquetprøven. Hvor stor er sannsynligheten for at denne eleven virkelig har tuberkulose? P( AT) 0,800,01 P( T A) 0,075 PA ( ) 0,107 48

4.6.10 Eksamen 2T, høsten 2009 I klassen til Kåre, Janne og Ane er det 15 jenter og 10 gutter. Klassen har vunnet en tur til Hellas for 6 elever. De 6 elevene trekkes ut ved loddtrekning. a) Finn sannsynligheten for at Ane får være med på turen. 6 Sannsynligheten er 25 b) Finn sannsynligheten for at akkurat 3 jenter og 3 gutter blir med på turen. Sannsynligheten er 15 10 3 3 0,308 25 6 Kåre og Ane er kjærester. c) Finn sannsynligheten for at bare én av dem får være med på turen Sannsynligheten er 2 23 1 5 0,380 25 6 Alternativ løsning: Da må enten Ane bli med og Kåre ikke bli med, eller omvendt. 6 24 5 19 2 0,380 25 24 50 Sannsynligheten er 0,380 49

4.6.11 Eksempelsett R1, april 2007 På en volleyballtrening er det 23 elever, 9 gutter og 14 jenter. Det skal velges et lag på 6 elever. a) Hva er sannsynligheten for at det blir like mange gutter som jenter på laget, dersom elevene trekkes ut tilfeldig? Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling 9 14 3 3 PLike mange gutter som jenter P3 gutter og 3 jenter 0,303 23 6 I idrettslaget er det 736 medlemmer, 348 gutter og 388 jenter. Av disse er det 63 gutter og 47 jenter som spiller volleyball. For å holde oversikten er følgende tabell nyttig: Jenter Gutter Sum Spiller volleyball 47 63 110 Spiller ikke volleyball 341 285 626 Sum 388 348 736 En person trekkes ut tilfeldig. La A og B være de to hendelsene A: Personen er en gutt B: Personen spiller volleyball b) Forklar med ord hva vi mener med PA B. Finn denne sannsynligheten. Vi mener sannsynligheten for at personen er en gutt som spiller volleyball. g 63 PAB 0,086 m 736 c) Finn sannsynlighetene PB og g 110 PB 0,149 m 736 g 63 PB A 0,181 m 348 P B A. Er de to hendelsene A og B uavhengige? Hendelsene A og B er ikke uavhengige siden PB PB A. 50

En avis ønsker å intervjue to personer i idrettslaget, én som spiller og én som ikke spiller volleyball. De trekker tilfeldig ut én volleyballspiller og én som ikke spiller volleyball. d) Hva er sannsynligheten for at de to personene er jenter? 47 341 P J B J B P J BPJ B 0,233 110 626 4.6.12 Eksempelsett R1, desember 2007 På en skole er det 55 % jenter og 45 % gutter på VG2. Av jentene har 25 % valgt matematikk R1. Av guttene har 30 % valgt R1. Her vil det være lurt å sette opp et valgtre for å få en oversikt. Prøv deg på det. a) Formuler de to siste opplysningene i teksten ovenfor som betingede sannsynligheter. PR1 J 0,25 : Sannsynligheten for å ha valgt R1 gitt at eleven er jente er 0,25. PR1 G 0,30 : Sannsynligheten for å ha valgt R1 gitt at eleven er gutt er 0,30. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er en gutt som har valgt R1. P G R1 P G P R1 G 0,450,30 0,135 c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt R1. 1 1 P( R1) P G R1 J R1 P G P R G P J P R J 0,450,30 0,550,25 0,135 0,138 0,273 Av alle elevene på VG2 har 30 % valgt fysikk. Blant dem som har valgt R1, er det 80 % som har valgt fysikk. d) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt fysikkelev har valgt R1. Bruker Bayes setning: PF R PF P R1 1 0,2730,80 PR1 F 0,728 0,30 51

4.6.13 Eksamen R1, våren 2008 En kortstokk består av 52 kort: 13 spar, 13 hjerter, 13 ruter og 13 kløver. Spar og kløver er svarte kort. Hjerter og ruter er røde kort. Spar, ruter, kløver, hjerter Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd. a) Hvor mange mulige korthender er det? 52 Antall korthender: 2598960 5 Vi definerer følgende hendelser: A: Korthånden består av 5 spar. B: Korthånden består av 5 svarte kort. b) Bestem P A og P B 13 39 5 0 PA ( ) 0,0005 52 5 2626 5 0 PB ( ) 0,0253 52 5 c) Finn PA B. Er hendelsene Aog Buavhengige? Hvis korthånden består av 5 spar, består den også av 5 svarte kort. Det betyr at: Det gir at: ( ) P A B P A P( AB) 0,0005 P( A B) 0,0198 PB ( ) 0,0253 Siden P( A B) P( A), er A og B avhengige hendelser. 52

4.6.14 Eksamen R1, høsten 2008 I en bunke med kort er det 16 svarte og 14 røde kort. a) Gunhild trekker tilfeldig ut to kort. Hva er sannsynligheten for at de to kortene er svarte? Sannsynligheten er: 1614 2 0 0,276 30 2 Vi kan også regne slik: 16 15 8 0,276 30 29 29 b) Ali trekker tilfeldig ut 10 kort. Hva er sannsynligheten for at han trekker ut 7 svarte og 3 røde kort? Sannsynligheten er: 1614 7 3 0,139 30 10 53

I en eske med mynter er 40 % av myntene laget før 1940. Av disse er 45 % kobbermynter og 55 % sølvmynter. Av dem som er laget etter 1940, er 35 % kobbermynter og 65 % sølvmynter. Det trekkes tilfeldig ut én mynt. c) Hva er sannsynligheten for at mynten er en kobbermynt? Vi setter opplysningen inn i et valgtre. Alle myntene i esken Før 1940 Etter 1940 Kobber Sølv Kobber Sølv Sannsynligheten for at mynten er en kobbermynt: 0,400,45 0,600,35 0,39 Mynten som ble trukket ut, var en kobbermynt. d) Hva er sannsynligheten for at mynten er laget før 1940? Sannsynligheten for at mynten er laget før 1940: 0,40 0,45 0,462 0,39 54

4.6.15 Eksamen R1, våren 2009 En bedrift produserer mobiltelefoner. Avdeling A står for 70 % av produksjonen, og avdeling B står for de resterende 30 %. Det har vist seg at 5 % av produksjonen fra avdeling A har feil, mens 10 % av produksjonen fra B har feil. 1) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil. Vi setter opplysningen inn i et valgtre. Alle mobiltelefonene A B Feil Ikke feil Feil Ikke feil Sannsynligheten for at telefonen har feil: 0,700,05 0,300,10 0,065 2) Hva er sannsynligheten for at en telefon som har feil, er produsert i avdeling A? Sannsynligheten for at telefonen er produsert i A: 0,70 0,05 0,539 0,065 55

4.6.16 Eksamen R1, høsten 2009 Vi bruker en test for å undersøke om en person har en bestemt sykdom. Vi definerer hendelsene: T: Testen tyder på at personen har sykdommen. S: Personen har faktisk sykdommen. a) Vi har at P( T S) 0,96 og at P( T S) 0,05. Forklar hva disse sannsynlighetene forteller oss. Bestem P( T S ). P( T S) 0,96 betyr at sannsynligheten for å teste positivt hvis du virkelig er syk er 0,96. P( T S) 0,05 betyr at sannsynligheten for å teste positivt hvis du ikke er syk er 0,05. P( T S) 10,05 0,95 Vi antar at 3 % av befolkningen har denne sykdommen. En tilfeldig valgt person skal testes. b) Bestem PT ( ). Vi setter opplysningen inn i et valgtre. Syk Ikke syk Testen slår ut Testen slår ikke ut Testen slår ut Testen slår ikke ut PT ( ) 0,030,96 0,970,05 0,077 c) Dersom testen tyder på at personen har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at denne personen faktisk har sykdommen? Vi bruker Bayes setning og får: P S P T S 0,030,96 Sannsynligheten: P( S T) 0,373 P T 0,077 d) Dersom testen tyder på at personen ikke har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen? P S P T S 0,030,04 Sannsynligheten: P( S T) 0,001 PT 0,030,04 0,970,95 56

4.6.17 Eksamen R1, våren 2010 På en tippekupong er det 12 fotballkamper. Når man tipper en enkeltrekke, skal man tippe resultatet i hver av de 12 forballkampene. Utfallet i en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort(u) eller borteseier(b). En ivrig tipper la merke til at det i en viss periode ofte var 5 hjemmeseire (H) blant de 12 kampene på tippekupongen. a) Hvor mange ulike utvalg på 5 kamper kan velges ut blant 12 kamper? 12 Antall ulike utvalg: 792 5 b) Vi har fylt ut 5 kamper som vi tror ender med hjemmeseier. På hvor mange måter kan vi fylle ut de 7 resterende kampene når hver av dem skal fylles ut med enten uavgjort (U) eller borteseier (B)? Antall måter: 7 2 128 c) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utfylt tipperekke skal inneholde nøyaktig 5 hjemmeseire? Alternativ 1: Vi kan bruke resultatene fra a) og b) og tenke at vi har 792 ulike utvalg med 5 kamper og 128 måter å ikke få hjemmeseier på de resterende 7 kampene. Det betyr at det er 792 128 ulike måter å få akkurat 5 hjemmeseire. Totalt kan vi fylle ut tippekupongen på 3 12 ulike måter. Vi får 792128 da at sannsynligheten for nøyaktig 5 hjemmeseire er: 12 0,191 3 Alternativ 2: Vi kan tenke binomisk fordeling med sannsynlighet for hjemmeseier er 1 3. Vi får da at sannsynligheten for nøyaktig 5 hjemmeseire er: 5 7 1 2 12 0,191 3 3 5 57

Bildeliste Kortstokk 1 Foto: Corbis/Scanpix Tikrone Foto: Anne Seland Skailand/NDLA Golf Foto: Rune Holm Schulstad/Aftenposten/Scanpix Sykler Foto: Jon-Are Berg-Jacobsen/Aftenposten/Scanpix Nøtter Foto: Espen Bratlie/Samfoto/Scanpix Skiskyting Foto: Rolf Arne Odiin/VG/Scanpix Krabbe Foto: Lars Laursen/Scanpix Denmark Lotto Foto: Bård Løken/Samfoto/Scanpix Terning Foto: Anne Seland Skailand/NDLA Tulipaner Foto: Karsten Schnack/Scanpix Denmark Blink Foto: Erlend Aas/Scanpix Lottokupong Foto: Scanpix 58

Kortstokk 2 Foto: Heiko Junge/Scanpix Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra www.udir.no 59