Skriftlig eksamen i MATEMATIKK 1, 4MX15-E1 A 15 studiepoeng UTSATT EKSAMEN. mai 011. Sensur faller innen 15. juni 011. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. 16. juni 011 (se http://www.hist.no/studentweb). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 Hjelpemidler: Kalkulator med tilhørende bruksanvisning. Kalkulatoren skal ikke kobles til strømnettet under eksamen. Læreplan for Kunnskapsløftet (LK06). Trykt utgave eller utskrift. Informasjon: Oppgavesettet er på 7 sider og består av 4 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene skal begrunnes. Oppgavene teller i utgangspunktet slik som angitt ved hver enkelt oppgave, men den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. Oppgave 1 (Vekt 0 % ) Elevene i 6. klasse er fortrolige med å multiplisere et ensifret tall med et tosifret tall, men multiplikasjon der begge tallene er tosifrete er nytt for dem. Læreren har gitt klassen oppgaven 7 7. Han ønsker å se hvordan elevene tenker når de arbeider med en slik oppgave. Elevene jobber vanligvis i grupper, men han ber dem først om å arbeide individuelt og vise hvordan de kommer fram til et svar ved å notere i bøkene sine. Deretter har han en samtale med elevene i gruppene for å la dem utdype den skriftlige framstillingen. I en av gruppene har alle elevene brukt faktorisering på en eller annen måte. Denne gruppen består av elevene Anders, Line, Cathrine og Camilla. I bøkene har de notert slik: 1
Anders: 7 7 = 7 = (7 + 7 + 7) = 81 = (81 + 81 + 81) = 4 = 4 + 4 + 4 = 79 Line: 7 7 = 81 9 = 79 Cathrine: 7 7 = 9 9 = 9 9 = 9 9 9 = 79 Camilla: 7 7 = 9 9 9 = ( 1) ( 1) ( 1) = 1 1 1 = 00 1 = 999 a) Analyser utregningene til Anders, Line, Cathrine og Camilla. I analysen skal du trekke inn matematiske begreper og begrunne hvilke strategier og egenskaper/lover hver av elevene har benyttet i utregningene sine. Bruk illustrasjon der du synes det er hensiktsmessig. Anne er en elev som liker å pønske ut egne framgangsmåter. Hun er med i en gruppe som alle har fått svaret 79 på oppgaven Gruppa ber om lærerens oppmerksomhet og Anne sier: Jeg skjønner ikke hva som skjer her for jeg har fått et annet svar enn de andre på gruppa mi. Jeg skal regne ut 7 7. Jeg vet at 0 0 = 400 og jeg vet også at 0 0 = 900 Mellom 400 og 900 er det 500 og mellom 0 og 0 er det. Jeg skal derfor ha 7 av 500 i tillegg til 400. Det blir 7 7 7 = 0 0 + 500 = 400 + 50 = 750 Men jeg kan også velge å trekke av 500 fra 900 og da får jeg det samme. 7 7 = 0 0 500 = 900 150 = 750 Hvorfor blir det ikke riktig? b) Vis ved en illustrasjon hvordan Anne kan ha tenkt, og forklar hvorfor Annes resonnement ikke holder. Annes løsning leder læreren inn på bruk av begrepet areal i forbindelse med løsningen av oppgaven. Han ber dem ta utgangspunkt i de to enklere oppgavene som Anne har brukt; dvs. at 0 0 = 400 og 0 0 = 900.
c) Vis hvordan elevene nå kan tenkes å løse oppgaven 7 7 ved å bruke den multiplikative strukturen/situasjonen areal. Du skal ta utgangspunkt i både 0 0 = 400 og 0 0 = 900. Bruk illustrasjon. Det å starte med 0 0 = 400 eller 0 0 = 900 kan lede til en anvendelse av henholdsvis første kvadratsetning ( a + b)(a + b) = a + ab + b og andre kvadratsetning ( a + b)(a b) = a ab b. d) Vis ved en arealbetraktning at disse setningene alltid gjelder. Oppgave (Vekt 0 % ) En gruppe elever på 5. trinn arbeider med følgende oppgave: Figurene nedenfor skal forestille melkebokser. I hver av de blå boksene er det 1 liter melk, og i hver av de røde boksene er det 1 liter melk. 4 A B C D Hvilken boks, rød eller blå, er det mest melk i? I hvilken situasjon, A, B, C eller D, er det mest melk? Og i hvilken situasjon er det minst melk? Er det noen situasjoner der det er like mye melk? Hvor mange desiliter melk er det i situasjon D? Du trenger 15 desiliter melk og har bokser som tar 1 liter, altså røde bokser. 4 Hvor mange bokser trenger du?
NB Både de røde og de blå boksene var tegnet like store på oppgavearket. Under samtalen om det første spørsmålet, hvilken boks, rød eller blå, er det mest melk i, finner følgende dialog sted: 1. Kari: Det er de blå som det er mest i. Intervjuer: Det var det første spørsmålet ja, hvilken av de boksene, den røde eller den blå, er der mest melk i?. Berit: Den blå 4. Intervjuer: Hvorfor det? 5. Berit: Fordi at når det på en måte er en tredjedel så er det delt opp i litt større biter, men når det er en fjerdedel så blir det mindre. Så vi har større plass inni en tredjedel. 6. Kari: Hvis de skal ha tredjedeler så får de større, hvis de har fjerdedeler får de mindre. Dess større tallet under blir dess mindre blir selveste parten. 7. Intervjuer: Dess mindre blir selveste parten ja. 8. Berit: Det er nesten som det her. Da er det nesten som vi deler opp den her så blir det enda mindre. Berit tegner figuren som er vist nedenfor og sier: Her er det mer plass enn hvis jeg hadde tegnet en strek og skrota over en sånn en. a) Drøft oppfatningen av brøkbegrepet som kommer fram i Kari og Berit sine utsagn. Kom spesielt inn på hvilken forståelse av helheten som synes å ligge til grunn for utsagnene deres. b) Kommenter, i lys av det de sier og din drøfting i a), Berit sin illustrasjon av situasjonen. Foreslå en alternativ illustrasjon for å vise hva som er størst av 1 og 1 4, og begrunn hvorfor du velger akkurat denne illustrasjonen. Senere går de over til å diskutere spørsmålet i hvilken situasjon, A, B, C eller D, er det mest melk. Følgende dialog finner sted. 9. Flere: B.. Intervjuer: Hvorfor det? 11. Knut: For der er det mange blå, er det. Dess mere blå, dess. Egentlig så går det ikke, siden de blå er en tredjedel og der er det fire tredjedela, så egentlig går det ikke an. 1. Intervjuer: Går det ikke an, hvorfor ikke det? 1. Knut: Fordi da er det en for mye, er det. 14. Berit: På A-en så forstod jeg at det ble tre tredjedeler. 15. Intervjuer: A-en ja. Mmmm 4
16. Knut: For det går jo ikke an med fire tredjedeler, det går ikke an. Hvis det hadde vært tre fjerdedeler da går de an. 17. Kari: Vi har kun plass til tre i en liter. 18. Berit: Hvis vi hadde fire hadde det jo gått, blir det. 19. Intervjuer: Ja det blir på en måte det ja. 0. Berit: Hvis vi hadde fire så hadde det jo gått. 1. Kari: Det går på C. Det var det der med. Berit: Det går ikke an å ta med en mer melkeboks enn det som på en måte er der.. Kari: Hvis det hadde stått en fjerdedel, men ikke når det står en tredjedel. Så egentlig så er det A. c) Her ser det ut til å være en viss enighet om at B ikke går an, men at det går på C. Diskuter hva som kan være bakgrunnen for at elevene har denne oppfatningen. d) Hva vil du som lærer gjøre for å hjelpe elevene i denne situasjonen? Gjør rede for aspekter ved brøkbegrepet som kan være til hjelp for at elevene skal komme bort fra oppfatningen om at B ikke går an. Det siste spørsmålet i oppgaven var: Du trenger 15 desiliter melk og har bokser som tar 1 4 liter, altså røde bokser. Hvor mange bokser trenger du? e) Vis ulike måter dette problemet kan løses på, og gjør rede for en del matematiske utfordringer som kan oppstå når dette problemet skal løses. Oppgave (Vekt 5 % ) Følgende oppgave ble gitt til en gruppe elever på 6. trinn. Elevene i klasse 6a og 6b skal på kino sammen med lærerne sine. Lærerne betaler ikke for billettene sine når de har med seg elever. a) Det er 1 elever i klasse 6a. Elevene betaler til sammen 715 kroner for billettene. Hvor mye koster billetten for én elev? b) Elevene i 6b betaler til sammen 85 kroner for billettene. Hvor mange elever er det i 6b? a) Finn svarene på de to deloppgavene i ruta ovenfor ved å bruke en tradisjonell divisjonsalgoritme. En elev skrev følgende i kladdeboka si som løsning på del a) (se neste side): 5
Kan du tenke deg en forklaring på hva denne eleven kan ha tenkt under løsningsprosessen? Forklar hvordan en lærer med et konstruktivistisk perspektiv på kunnskap og læring kunne ha handlet for å hjelpe eleven til å forstå at denne løsningen ikke blir riktig. b) Noen divisjonssituasjoner kan løses ved gjentatt subtraksjon. Avgjør om de to deloppgavene i ruta ovenfor kan løses ved gjentatt subtraksjon. Vis hvordan dersom det går an. Dersom det ikke går an, forklar hvorfor. c) Målingsdivisjon og delingsdivisjon er to begreper som benyttes i forbindelse med problemstillinger i divisjon. Gjør rede for om de to situasjonene som beskrives i oppgaven i ruta ovenfor kan knyttes til målingsdivisjon eller til delingsdivisjon. d) I forbindelse med divisjon kan en ofte høre utsagn av typen 8 delt på 7 er lik 4 fordi 7 går 4 ganger opp i 8. Gjør rede for om denne måten å uttrykke seg på innebærer en målingsdivisjon eller en delingsdivisjon, og lag en kort tekstoppgave som passer både til divisjonsstykket 8 : 7 = 4 og til den typen divisjon som er forenlig med uttrykket 7 går 4 ganger opp i 8. Oppgave 4 (Vekt 15 %) En gruppe elever arbeidet med å finne ut hvilke av to brøker som var størst. Nedenfor ser du noen av de brøkene de arbeidet med. Sett <, > eller = mellom to og to av brøkene nedenfor 6
Hanne sier at den største brøken er alltid den som har størst teller og størst nevner. For eksempel er tre firedeler større enn to tredeler, fordi tre er større enn to, og fire er større enn tre. a) Verifiser at Hannes hypotese stemmer på eksemplene i ruta ovenfor. Undersøk om hypotesen gjelder uansett hvilke to brøker du sammenligner. b) Hvis den ikke gjelder alltid, finn betingelser på tallene som inngår i brøkene som gjør at den gjelder. Lykke til 7