Løsningsforslag for obligatorisk øving 1

TFY4185 Måleteknikk Institutt for fysikk Løsningsforslag for obligatorisk øving 1 Oppgave 1 a Vi starter med å angi strømmen i alle grener For Wheatstone-brua trenger vi 6 ukjente strømmer I 1 I 6, som angitt på figuren under I6 + R 1 I 1 I 2 I4 I 3 R 2 Kretsen har 4 knutepunkt og dermed gir Kirchhoffs strømlov 3 uavhengige likninger: I 1 I 3 + (1) I 4 I 2 + (2) I 6 I 1 + I 2 (3) Kirchhoffs spenningslov gir 3 uavhengige likninger for de angitte sløyfene: 0 R 1 I 1 I 3 (4) 0 I 4 + I 3 (5) 0 + R 1 I 1 R 2 I 2 (6) Vi har nå fått 6 likninger med 6 ukjente, men det er mye jobb å regne ut determinanten for et slikt system Vi ønsker derfor å redusere antall ukjente ved å substituere bort I 1, I 4 og I 6 Det er viktig at fremdeles er en av de ukjente siden det er denne strømmen vi er interessert i Likn (1)-(3) innsatt i (4)-(6) gir: 0 R 1 (I 3 + ) I 3 (R 1 + )I 3 R 1 (7) 0 (I 2 + ) + I 3 I 2 + I 3 ( + ) (8) 0 + R 1 (I 3 + ) R 2 I 2 R 2 I 2 + R 1 I 3 + (R 1 + ) (9) Innsatt følgende verdier R 1 3 kω, R 2 4 kω, 10 kω, 2 kω, 5 kω og 23 V gir: 0 23 V 13 kω I 3 3 kω (10) 0 2 kω I 2 + 10 kω I 3 7 kω (11) 0 4 kω I 2 + 3 kω I 3 + 8 kω (12) Vi skriver om likningssettet slik at det kommer på standard form med konstante ledd til høyre og ukjente til venstre: Determinanten, D, til dette likningssettet er: 0 13 10 3 3 10 3 D 2 10 3 10 10 3 7 10 3 4 10 3 3 10 3 8 10 3 13 kω I 3 3 kω 23 V (13) 2 kω I 2 + 10 kω I 3 7 kω 0 (14) 4 kω I 2 + 3 kω I 3 + 8 kω 0 (15) 0 + 13 10 3 (2 10 3 8 10 3 7 10 3 4 10 3 ) 3 10 3 (2 10 3 3 10 3 + 4 10 3 10 10 3 ) Ω 3 6,74 10 11 Ω 3 (16) Determinanten, D 3, finner vi ved å erstatte kolonne 3 (med koeffisientene til den ukjente strømmen ) med de konstante leddene på høyre side i likningsettet: 0 13 10 3 23 D 3 2 10 3 10 10 3 0 0 + 0 23(2 10 3 3 10 3 + 4 10 3 10 10 3 ) Ω 2 V 4 10 3 3 10 3 0 Cramers teorem gir: D 3 D 7,82 10 8 Ω 2 V (17) 7,82 108 6,74 10 11 VΩ1 1,16 m Retningen på er gitt på figuren (18) TFY4185, Løsning-Øv1 s1

2b For å finne strømmen deler vi opp kretsen i to deler: lastmotstanden og en Thévenin-ekvivalent for resten av kretsen, som vist under Strømmen er gitt som: V Th (19) R Th + + R 1 Last R 2 R Th + V Th I5 R 5 Thévenin-ekvivalent Generelt har vi at R Th R in når alle kilder er fjernet, dvs når spenningskildene er kortsluttet og strømkildene er avbrutt Kretsen er vist under (krets ) Vi tegner kretsen på en annen måte (krets ) slik at det blir enkelt å finne R Th R 1 R 2 Fra krets ser vi at: Rin R Th R in R 1 + R 2 R 1 + R 2 + R 3 R 4 R 1 R 3 R 2 R 4 [ 30 13 + 8 6 ] kω 142 39 kω (20) krets krets Generelt er V Th V OC, dvs spenningen over porten når kretsen er avbrutt Kretsen er vist under Vi ser enkelt at spenningen V Th er gitt som: V Th V OC R 2 I R 1 I (21) I R 1 R 2 + I I V S V OC + R 4 R 3 Vi innfører at R R 1 + og R R 2 + Uttrykkene for I og I er gitt av likningen for strømdeling i forelesningsnotatene (s 21): I I I (R + R ) R R R R IR R + R R (22) IR R + R R (23) Likn (22)-(23) innsatt i (21) gir V Th R 2 I R 1 I R 2 R Verdiene for V Th og R Th innsatt i likn (19) gir: V Th R Th + R [ 1 4 R 6 3 ] 23 V 391 13 39 V (24) 391 39 142 39 + 5 m 1,16 m Retningen på er gitt på figuren (25) TFY4185, Løsning-Øv1 s2

Oppgave 2 La oss begynne med å regne ut Thevenin-ekvivalenten Resistansen R T er den effektive motstanden mellom nodene og (dvs at man ser bort fra alle strøm- og spenningskilder) Fra figuren i oppgaveteksten ser vi at vi da kan representere kretsen på følgende vis: Her er R R 2 + R 1, samt R + R Setter inn tallene som er R 1 R 2 R R oppgitt og får R R T 2 Ω Thevenin-spenningen V T er definert som potensialforskjellen mellom punktene og, når det ikke går noen strøm mellom de Dermed vil det ikke gå noen strøm gjennom, og vi kan forenkle kretsen til Da ser vi at V T I 2, R 1 R 2 12 V I 1 I 2 slik at vi må finne I 2 Dette gjør vi ved å sette bruke Kirchoffs lover for I 1 og I 2 - loopen, som gir likningene: V I 1 R 1 + (I 1 I 2 ), (26) 0 I 2 (R 2 + ) + (I 2 I 1 ) (27) Fra dette finner vi at I 2 2/3, slik at V T 2 V Dermed kan vi umiddelbart regne ut Norton-strømmen I N V T /R T 025 Eventuelt kunne vi regnet ut den Norton-ekvivalente kretsen først Norton-strømmen er definert som den strømmen som går mellom og når vi kortslutter de Dermed måtte vi ha løst ut I N fra følgende likningssystem: V I 2 R 1 + (I 2 I 1 ), (28) 0 I 1 R 2 + (I 1 I N ) + (I 1 I 2 ), (29) 0 I N + (I N I 1 ) (30) Denne fremgangsmåten gir naturligvis samme svar som vi fant ved å regne ut Thevenin-ekvivalenten først, nemlig R 1 R 2 12 V I 1 I 2 I N I N 025 Dermed har vi funnet at Norton- og Thevenin-ekvivalentene til kretsen er som følger: V T R T V T 2 V R T 8 Ω I N R N I N 025 R N 8 Ω TFY4185, Løsning-Øv1 s3

Oppgave 3 Vi ønsker å erstatte samtlige motstander i problemet med en effektiv motstand, akkurat som når vi lager Theveninog Norton-ekvivalenter Fra figuren i oppgaveteksten ser man at R 2 og kan slås sammen til R R 2 + Siden og R er parallell-koblede, er den totale motstanden fra disse lik R R (1/ + 1/ R) 1 Til slutt legger vi sammen R 1 og R som er koblede i serie, og får dermed at hvilket gir R total 15 Ω når vi setter inn tall R total R 1 + (R 2 + ), (31) R1 R2 R3 R4 R1 R1 R3 R R Oppgave 4 Vi starter med å angi Maxwells sirkulerende strømmer I 1 I 3 i de 3 sløyfene i kretsen under Vi setter opp de 3 sløyfelikningene R 1 R 2 I 2 R 1 I 3 + V S Sløyfe 1: 0 (R 1 + )I 1 R 1 I 2 + I 3 0 23 V 13 kω I 1 3 kω I 2 + 10 kω I 3 (32) Sløyfe 2: 0 (R 1 + R 2 + )I 2 R 1 I 1 I 3 0 12 kω I 2 3 kω I 1 5 kω I 3 (33) Sløyfe 3: 0 ( + + )I 3 + I 1 I 2 0 17 kω I 3 + 10 kω I 1 5 kω I 2 (34) Strømmen gjennom -motstanden er gitt av: I 2 + I 3 Vi starter med å substituere bort I 1 fra likningssettet over Omskriving av likn (34) gir: Likn (35) innsatt i (32) gir: Likn (35) innsatt i (33) gir: I 1 5 kω I 2 + 17 kω I 3 10 kω 0 23 V 13 10 (5 kω I 2 + 17 kω I 3 ) 3 kω I 2 + 10 kω I 3 0 230 V 13(5 kω I 2 + 17 kω I 3 ) 30 kω I 2 + 100 kω I 3 0 230 V 95 kω I 2 121 kω I 3 (36) 0 12 kω I 2 3 10 (5 kω I 2 + 17 kω I 3 ) 5 kω I 3 0 120 kω I 2 3(5 kω I 2 + 17 kω I 3 ) 50 kω I 3 0 135 kω I 2 101 kω I 3 (37) I 2 101 135 I 3 (38) Likn (36) og (37) innholder kun de to ukjente strømmene, I 2 og I 3, som vi begge trenger Likn (38) innsatt i (36) (35) TFY4185, Løsning-Øv1 s4

gir: Likn (38) og (39) gir: 95 101 0 230 V + kω I 3 121 kω I 3 230 V 49,926I 3 135 I 3 4,607 m (39) I 2 101 4,607 m 3,447 m (40) 135 Strømmen gjennom -motstanden er: Oppgave 5 I 2 + I 3 3,447 m + 4,607 m 1,16 m Retningen på er gitt på figuren (41) Vi ønsker å lage en spenningsdeler med utgangsspenning på V 15 V samt maksimal strøm I 250 m på en måte som gjør at det finnes fire punkter hvor man kan hente ut 1 V, 2 V, 5 V og 10 V, henholdsvis Dette er vist i figuren under 0 V I 250 m 15 V R 1 R 2 C D Da trenger vi å spesifisere motstandene R i slik at spenningsfallet V i over motstand nr i blir som ønsket For eksempel så ønsker vi et spenningsfall på 5 V over, siden vi vil hente ut 10 V fra punktet D Med en strøm på 250 m, så trenger vi da en motstand med V 5 /I 5V 20 Ω (42) 025 Fra punktet D til punktet C ønsker vi også et spenningsfall på 5 V, slik at 20 Ω Fra C til skal vi ha et spenningsfall på 3 V, hvilket gir 12 Ω Spenningsfallene over både R 1 og R 2 skal være på 1 V, hvilket gir R 1 R 2 4 Ω Oppgave 6 a Superposisjonsteoremet følger av den lineære karakteristikken hos alle komponenter (Ohms lov) b For denne kretsen har vi 1 spenningskilde og 3 strømkilder, og vi trenger å beregne for tilfelle I (kun I S1 0), tilfelle II (kun I S2 0), tilfelle III (kun I S3 0) og tilfelle IV (kun 0) For å forenkle likningene bruker vi at R 1 R 2 R 6 R Husk at for å finne bidraget fra en enkelt strøm- eller spenningskilde, så skal alle spenningskilder settes til 0 V og alle strømkilder skal erstattes med et tomrom (altså brudd i ledningen, slik at det ikke går noen strøm gjennom den) Tilfelle I (når I S1 0): I 4 R 1 R 6 I S1 Den resulterende kretsen blir som vist ovenfor når kun I S1 blir tatt hensyn til Da ser vi at ved å bruke Kirchhoffs lover finner man likningene Ved å løse ut for finner vi at I S1 I 4, (43) (R 1 + ) I 4 (44) I S1 (45) + R 1 + TFY4185, Løsning-Øv1 s5

Tilfelle II (når V I S2 0): I S2 R 1 R 2 Her ser man umiddelbart at 0, siden I S2 kun vil sirkulere i den lille løkken øverst til høyre i figuren Tilfelle III (når I S3 0): R 2 R 1 I 4 I S3 R 6 Her finner vi likningene I S3 I 4, (46) I 4 (R 1 + ), (47) basert på strømbevarelse og prinsippet om totalt null spenningsfall i en lukket sløyfe Dermed løser vi ut for og finner I S3 R 1 + + (48) Tilfelle IV (når 1 0): R 1 + Den effektive kretsen i dette tilfellet er vist ovenfor og gir at 1 (49) R 1 + + Totalt for tilfelle I-IV: Vi adderer strømmen for de tilfelle I-IV) og får at den totale strømmen er lik: (I S1 + I S3 ) R 1 + + (50) TFY4185, Løsning-Øv1 s6