Insttutt for samfunnsøkonom Eksamensoppgave SØK2900 Emprsk metode Emprcal methods n Economcs Faglg kontakt under eksamen: Lars-Erk Borge Tlf.: 73 59 19 41 Eksamensdato: 5. jun 2013 Eksamenstd: 4 tmer Sensurdato: 26. jun 2013 Tllatte hjelpemdler: Flg formelsamlng: Knut Sydsæter, Arne Strøm og Peter Berck (2006): Matematsk formelsamlng for økonomer, 4utg. Gyldendal akademske. Knut Sydsæter, Arne Strøm, og Peter Berck (2005): Economsts mathematcal manual, Berln. Enkel kalkulator Ctzen SR-270x, HP 30S eller SR-270X College Annen nformasjon: Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Målform/språk: Bokmål, nynorsk og engelsk Antall sder: 10 (nkl. forsde) Antall sder vedlegg: 3 Merk! Studenter fnner sensur Studentweb. Har du spørsmål om dn sensur må du kontakte nsttuttet dtt. Eksamenskontoret vl kke kunne svare på slke spørsmål.
SØK2900 5.6.2013 Oppgave 1 (25 %) En fotballklubb ekspermenterer med ulke bllettprser for å undersøke sammenhengen mellom bllettprs og antall tlskuere. Observasjonene for de 10 hjemmekampene sesongen 2012 var som tabellen under. Bllettprs (kroner), X Antall tlskuere, Y 150 12400 200 11100 100 13200 175 12000 125 14300 150 11900 175 11000 250 10000 225 10500 175 11500 Basert på dsse observasjonene kan v beregne følgende: Σ X = Σ Y = Σ X X = Σ Y Y = Σ X X Y Y = 2 2 1725, 117900, ( ) 18062.5, ( ) 14769000, ( )( ) 465250 a) Bruk nformasjonen over tl å beregne gjennomsntt, medan, varans og standardavvk for bllettprs og antall tlskuere. b) Beregn kovarans og korrelasjon mellom bllettprs og antall tlskuere. Hva gr kovarans og korrelasjon uttrykk for? c) Økonomsjefen fotballklubben benytter dataene over tl å estmere regresjonsmodellen Y = a + bx + ε, der a og b er parametere og ε er et stokastsk restledd. Estmer a og b ved bruk av mnste kvadraters metode og fnn modellens forklarngskraft. d) Økonomsjefen ønsker å undersøke påstanden om at økt bllettprs reduserer antall tlskuere. Formuler og gjennomfør en test av denne påstanden. Presser forutsetnngene du baserer testen på og bruk et sgnfkansnvå på 5 prosent. Oppgave 2 (25 %) I januar 2012 var gjennomsnttlg bolgformue for alle husholdnnger Trondhem 2,5 mlloner kroner. For å undersøke om bolgformuen hadde økt ble det januar 2013 gjennomført en utvalgsundersøkelse blant 300 husholdnnger. a) Beskrv hvordan du vl estmere populasjonsgjennomsnttet basert på nformasjon om bolgformue fra utvalgsundersøkelsen. Hvlke egenskaper har den foreslåtte estmatoren? Sde 2 av 10
SØK2900 5.6.2013 b) Du får vte at gjennomsnttlg bolgformue utvalget var 2,75 mlloner kroner og at standardavvket var 1,25 mlloner kroner. Gr utvalgsundersøkelsen grunnlag for å s at gjennomsnttlg bolgformue har økt fra januar 2012 tl januar 2103? Bruk et sgnfkansnvå på 1 prosent. Presser forutsetnngene bak testen. c) Inflasjonen fra januar 2012 tl januar 2013 var 3 prosent. Gr utvalgsundersøkelsen grunnlag for å s at realverden av bolgformuen har økt fra januar 2012 tl januar 2013? d) I januar 2013 gjennomføres det en tlsvarende spørreundersøkelse blant 400 husholdnnger Bergen. Gjennomsnttlg bolgformue utvalget var 3 mlloner kroner og standardavvket var 1,5 mlloner kroner. Gr de to utvalgsundersøkelsene grunnlag for å s at gjennomsnttlg bolgformue er høyere blant husholdnngene Bergen enn blant husholdnngene Trondhem? Bruk et sgnfkansnvå på 1 prosent. Presser forutsetnngene bak testen. Oppgave 3 (20 %) I en emprsk analyse av sammenhengen mellom lærerdeknng og arbedsledghet rapporteres følgende estmerte modell (1), R 2 = 0,48 (0,46) (0,148) Der Y t er andelen lærere med formell utdannng prosent av alle ansatte lærer år t, X t er arbedsledghetsraten prosent. Tall parenteser under estmerte parametre er estmerte standardavvk og R 2 er multppel determnasjonskoeffsent. Modellen er estmert ved mnste kvadraters metode basert på data for 30 år. a) Presser og test hypotesen: «Arbedsledgheten har ngen betydnng for lærerdeknngen». I en alternatv spesfkasjon rapporteres den estmerte lknngen: (2), b) Fnn predkert endrng Y når arbedsledgheten øker fra 2 prosent tl 3 prosent ved bruk av resultatene rapportert lknng (1) og (2). Fnn de tlsvarende predkerte endrngene av en øknng ledghetsraten fra 5 prosent tl 6 prosent. Oppgave 4 (20 %) I en emprsk analyse av etterspørselen etter kulturtjenester estmeres følgende modell: (1) ln Der Y er utgfter tl kultur for ndvd, X 1 er ndvdets nntekt, X 2 er ndvdets utdannng målt antall år. D er en dummyvarabel lk 1 hvs ndvdet bor en by, null hvs ndvdet bor på landet. u er et stokastsk restledd. Sde 3 av 10
SØK2900 5.6.2013 a) Tolk parametrene som nngår (1). Forklar speselt hvordan modellformulerngen tar hensyn tl mulge forskjeller etterspørselen mellom ndvder som bor by og ndvder som bor på landet. Modellen estmeres med mnste kvadraters metode ved bruk av et datasett med observasjoner for 100 ndvder. Resultatene er gtt lknng (2): (2) (0,086) (0,039) (0,054) (0,0458) (0,118) R 2 =0,788, SSR = 418,07 Tall parentes under estmerte parametre er estmerte standardavvk, R 2 er multppel determnasjonskoeffsent og SSR er summen av kvadrerte resdualer. b) Forklar hvordan du kan teste om parameteren β=1 og test hypotesen ved bruk av resultatene gtt lknng (2). c) Du vl teste om etterspørselsfunksjonen er den samme for ndvder som bor by og ndvder som bor på landet. Formuler nullhypotesen og forklar hvordan du vl teste denne. Bruk resultatene lknng (2) og lknng (3) gtt under tl å teste hypotesen: (3) (0,085) (0,033) (0,051) R2=0,771, SSR = 451,20 Oppgave 5 (10 %) En kommentator kommer med følgende påstand om resultatene fra en analyse du har gjennomført: «Det er så store målefel de varablene som er brukt analysen at koeffsentestmatene er systematsk fel». Kommenter dette utsagnet. Sde 4 av 10
Nynorsk SØK2900 5.6.2013 Oppgåve 1 (25 %) En fotballklubb prøver ut ulke bllettprsar for å undersøke samanhengen mellom bllettprs og talet på tlskodarar. Observasjonane for de 10 hemekampane sesongen 2012 var som tabellen under. Bllettprs (kroner), X Talet på tlskodarar, Y 150 12400 200 11100 100 13200 175 12000 125 14300 150 11900 175 11000 250 10000 225 10500 175 11500 Basert på dsse observasjonane kan v berekne følgjande: Σ X = Σ Y = Σ X X = Σ Y Y = Σ X X Y Y = 2 2 1725, 117900, ( ) 18062.5, ( ) 14769000, ( )( ) 465250 a) Bruk nformasjonen over tl å berekne gjennomsntt, medan, varans og standardavvk for bllettprs og talet på tlskodarar. b) Berekn kovarans og korrelasjon mellom bllettprs og talet på tlskodarar. Kva gjer kovarans og korrelasjon uttrykk for? c) Økonomsjefen fotballklubben bruker nformasjonen over tl å estmere regresjonsmodellen Y = a + bx + ε, der a og b er parameterar og ε er et tlfeldg restledd. Estmer a og b ved bruk av mnste kvadraters metode og fnn modellens forklarngskraft. d) Økonomsjefen ynskjer å undersøke påstanden om at økt bllettprs reduserer talet på tlskodarar. Formuler og gjennomfør en test av denne påstanden. Presser føresetnadane du baserer testen på og bruk et sgnfkansnvå på 5 prosent. Oppgåve 2 (25 %) I januar 2012 var gjennomsnttlg bustadformue for alle hushald Trondhem 2,5 mllonar kronar. For å undersøke om bustadformua hadde økt ble det januar 2013 gjennomført e utvalsundersøkng blant 300 hushald. Sde 5 av 10
SØK2900 5.6.2013 a) Gjer gree for korles du vl estmere populasjonsgjennomsnttet basert på nformasjon om bustadformue frå utvalsundersøknga. Kva for egenskaper har den føreslåtte estmatoren? b) Du får vte at gjennomsnttlg bustadformue utvalet var 2,75 mllonar kronar og at standardavvket var 1,25 mllonar kronar. Gr utvalsundersøknga grunnlag for å see at gjennomsnttleg bustadformue økte frå januar 2012 tl januar 2103? Bruk et sgnfkansnvå på 1 prosent. Presser føresetnadene bak testen. c) Inflasjonen frå januar 2012 tl januar 2013 var 3 prosent. Gr utvalsundersøknga grunnlag for å see at realverden av bustadformua økte frå januar 2012 tl januar 2013? d) I januar 2013 utføres det e tlsvarande undersøkng blant 400 hushald Bergen. Gjennomsnttleg bustadformue utvalet var 3 mllonar kronar og standardavvket var 1,5 mllonar kronar. Gr de to utvalsundersøkngane grunnlag for å see at gjennomsnttleg bustadformue er høgare blant hushalda Bergen enn blant hushalda Trondhem? Bruk et sgnfkansnvå på 1 prosent. Presser føresetnadane bak testen. Oppgåve 3 (20 %) I en emprsk analyse av samanhengen mellom lærardeknng og arbedsløyse blr fylgjande modell estmert: (1), R 2 = 0,48 (0,46) (0,148) Der Y t er andelen lærarar med formell utdannng prosent av alle tlsette lærarar år t, X t er arbedsløysa prosent. Tall parentesar under estmerte parametrar er estmerte standardavvk og R 2 er multppel determnasjonskoeffsent. Modellen er estmert ved mnste kvadraters metode basert på data for alt 30 år. a) Presser og test hypotesen: «Arbedsløysa har ngen betydng for lærardeknnga». I en alternatv spesfkasjon blr fylgjande modell estmert: (2), b) Fnn predkert endrng Y når arbedsløysa aukar frå 2 prosent tl 3 prosent ved bruk av resultata lknng (1) og (2). Fnn tlsvarande predkerte endrngar av e auke arbedsløysa frå 5 prosent tl 6 prosent. Oppgåve 4 (20 %) I en emprsk analyse av etterspurnaden etter kulturtenestar blr fylgjande modell estmert: (1) ln Der Y er utgftar tl kultur for ndvd, X 1 er ndvdets nntekt, X 2 er ndvdets utdannng målt år. D er en dummyvarabel lk 1 dersom ndvdet bor en by, null dersom ndvdet bor på landet. u er et stokastsk restledd. Sde 6 av 10
SØK2900 5.6.2013 a) Tolk parametrane som nngår (1). Forklar speselt korels modellformulernga tar omsyn tl mulge sknader etterspurnaden mellom ndvd som bor by og ndvd som bor på landet. Modellen estmeres med mnste kvadraters metode ved bruk av et datasett med observasjonar for 100 ndvd. Resultata er vst lknng (2): (2) (0,086) (0,039) (0,054) (0,0458) (0,118) R 2 =0,788, SSR = 418,07 Tal parentes under estmerte parametrar er estmerte standardavvk, R 2 er multppel determnasjonskoeffsent og SSR er summen av kvadrerte resdualer. b) Forklar korles du kan teste om parameteren β=1 og test hypotesen ved bruk av resultata lknng (2). c) Du vl teste om etterspurnadsfunksjonen er den same for ndvd som bor by og ndvd som bor på landet. Formuler nullhypotesen og forklar korles du vl teste denne. Bruk resultata lknng (2) og lknng (3) gtt under tl å teste hypotesen: (3) (0,085) (0,033) (0,051) R2=0,771, SSR = 451,20 Oppgåve 5 (10 %) En kommentator kommer med fylgjande påstand om resultata frå en analyse du har utført: «Det er så store målefel varablane som er nytta analysen at koeffsentestmata er systematsk fel». Kommenter påstanden. Sde 7 av 10
Englsh SØK2900 5.6.2013 Exercse 1 (25 %) A football club s expermentng wth dfferent tcket prces n order to nvestgate the relatonshp between and attendance. The observatons for the 10 home games n the 2012 are reported n the table below. Tcket prce (kroner), X Attendance, Y 150 12400 200 11100 100 13200 175 12000 125 14300 150 11900 175 11000 250 10000 225 10500 175 11500 From these observatons the followng can be calculated: Σ X = Σ Y = Σ X X = Σ Y Y = Σ X X Y Y = 2 2 1725, 117900, ( ) 18062.5, ( ) 14769000, ( )( ) 465250 a) Use the nformaton above to calculate mean, medan, varance and standard devaton for tcket prce and attendance. b) Calculate the covarance and the correlaton coeffcent between tcket prce and attendance. What do covarance and coeffcent of correlaton measure? c) The fnancal drector of the club uses the data above to estmate the regresson model Y = a + bx + ε, where a and b are parameters and ε s an error term (dsturbance). Estmate a and b usng ordnary leas squares (OLS) and calculate the coeffcent of determnaton (goodness of ft). d) The fnancal drector of the clubs wants to nvestgate whether a hgher tcket prce reduces attendance. Formulate and conduct a test of ths clam. State the assumptons and use 5 percent as level of sgnfcance. Exercse 2 (25 %) In January 2012 the average housng wealth of households n Trondhem was 2.5 mllon kroner. In January 2013 a survey of 300 households was conducted to nvestgate whether the housng wealth had ncreased. Sde 8 av 10
SØK2900 5.6.2013 a) Descrbe how the populaton average may be estmated based on nformaton about housng wealth from the survey. What are the propertes of the suggested estmator? b) The average housng wealth n the 2013 survey was 2.75 mllon kroner wth a standard error of 1.25 mllon kroner. Can you conclude that average housng wealth n the populaton ncreased from January 2012 to January 2013? Use 1 percent as level of sgnfcance and state the assumptons for the test. c) The rate of nflaton from January 2012 to January 2013 was 3 percent. Can you (based on the survey) conclude that real housng wealth ncreased from January 2012 to January 2013? d) In January 2013 a smlar survey was conducted among 400 households n Bergen. In the sample average housng wealth was 3 mllon kroner wth a standard devaton of 1.5 mllon kroner. Can you (based on the two surveys) conclude that average housng wealth s hgher among households n Bergen than among households n Trondhem? Use 1 percent as level of sgnfcance and state the assumptons for the test. Exercse 3 (20 %) As part of a study of the relatonshp between teacher shortage and the rate of unemployment the followng equaton s estmated: (1), R 2 = 0,48 (0,46) (0,148) Y t s the share of certfed teachers n percent of all teachers n year t, whle X t s the rate of unemployment measured n percent. The fgures n parentheses below the estmated parameters are estmated and standard errors and R 2 s the coeffcent of multple determnaton. The model estmated by OLS usng data for 30 years. a) Specfy and test the hypothess: «The rate of unemployment has no effect on teacher shortage». An alternatve specfcaton s the followng: (2), b) Calculate the predcted change n Y when the rate of unemployment ncreases from 2 percent to 3 percent usng the results from equaton (1) and (2). Also calculate the predcted ncrease n Y when the rate of unemployment ncreases from 5 percent to 6 percent. Exercse 4 (20 %) In an emprcal analyss of demand for cultural servces the followng equaton s to be estmated: (1) ln Sde 9 av 10
SØK2900 5.6.2013 Y s cultural expenses for ndvdual, X 1 s ncome, X 2 s the level of educaton (n years). D s a dummy varable that equals 1 f the ndvdual lves n a cty and 0 f he or she lves on the countrysde. u s an error term. a) Interpret the parameters n (1). Pay partcular attenton to how the model allows for dfferences n demand dependng on whether the ndvdual lves n a cty or on the countrysde. The model s estmated by OLS usng data for 100 ndvduals. The results are shown n equaton (2): (2) (0,086) (0,039) (0,054) (0,0458) (0,118) R 2 =0,788, SSR = 418,07 The fgures n parentheses below the estmated parameters are estmated and standard errors, R 2 s the coeffcent of multple determnaton, and SSR s the resdual sum of squares. b) Explan how you can test whether β=1. Perform the test usng the nformaton n (2). c) You want to test whether the demand for cultural servces s the same for ndvduals lvng n a cty as for ndvduals lvng on the countrysde. Formulate the null hypothess and explan how you wll go about to test t. Perform the test usng the nformaton n (2) and (3). (3) (0,085) (0,033) (0,051) R2=0,771, SSR = 451,20 Exercse 5 (10 %) A commentator s nterested n an emprcal analyss you have conducted and wrtes the followng: «The measurement errors for the varables used n the analyss are so substantal that the estmated parameters are systematcally based». Make a comment to ths clam. Sde 10 av 10
KOMMENTAR TIL EKSAMENSBESVARELSE SØK2900 VÅR 2013: KANDIDAT 10000 Dette er en meget god besvarelse som har fått karakteren A. Besvarelsen skller seg ut ved at samtlge 5 oppgaver er godt besvart. Ingen av oppgavene (kanskje med unntak av oppgave 3) har fel eller mangler av betydnng. Kravet for å oppnå A lgger lavere enn dette, og det er særlg på oppgave 5 at kanddaten utmerker seg forhold tl en del andre som også fkk A. Oppgave 1 Oppgaven tester kunnskap om defnsjon og regneferdgheter for sentrale statstske begreper nnen deskrptv statstkk, regresjonsanalyse og hypotesetestng. Svarene på alle delspørsmål er rktge. I c) kunne R 2 alternatvt vært beregnet som kvadratet av korrelasjonskoeffsenten b) slk kanddaten påpeker. I d) mangler forutsetnnger om restleddet. Ellers god dskusjonen om estmerng av restleddsvaransen og effektv utnyttelse av hntet. Oppgave 2 Oppgaven tester kunnskap om enkel hypotesetestng med en og to populasjoner. Svarene på alle delspørsmål er rktge. I a) utnyttes sentralgrenseteoremet tl å s noe om egenskapene tl estmatoren. I b) presseres det at s er et presst anslag på σ (stort utvalg) og at fordelngen tl testobservatoren gjelder under H 0. I c) er det rktg å korrgere standardavvket for nflasjon slk kanddaten (på tross av uskkerhet) gjør. Det var mange som gkk baret her. Den sentrale forutsetnngen d) er at de to utvalgene er uavhengge slk kanddaten påpeker. Oppgave 3 Oppgaven omhandler testng og predksjon basert på oppgtte resultater fra en regresjonsanalyse. Her har kanddaten fått trekk b) for fel de predkerte endrnger basert på modell (2). Rktge svar er -0,905 (øknng arbedsledgheten fra 1 tl 2 %) og -0,407 (øknng arbedsledgheten fra 5 tl 6 %). I a) er hypotesene formulert forhold tl OLS-estmatet (b), kke den ukjente parameteren (β). Oppgave 4 Oppgaven dreer seg om tolknng av parameterne en regresjonsmodell og hypotesetestng basert på oppgtt resultater. Tolknngene a) er for så vdt rktge, men de er veldg mekanske. Speselt savnes påpeknng av at β 1 er nntektselaststeten for de som bor på
landet, mens β 1 +δ 1 er nntektselaststeten for de som bor by. Ikke noe å utsette på t-test b) og F-test c). Oppgave 5 Kanddaten gr et relatvt kort, men veldg presst svar på spørsmålet. Forskjellen mellom målefel den avhengge varabelen og de uavhengge varablene kommer godt fram. Gtt at oppgaven bare teller 10 %, forventes det kke mer (formalserng) enn dette. Oppgaven var tydelgvs vanskelg, det var få som fkk særlg uttellng her.