MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg r Binomialoeffisientene Pascals treant ( n r n P r Generalisering av første vadratsetning (a + b) a + ab + b Oppsummering av ombinatorise prinsipper Esempler og oppgaver Ordnet utvalg Vi sal nå se på det som alles ordnet utvalg fra en mengde. Esempel. Oppgave: I et barnesirenn er det med 0 barn. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassene, mens resten ie sal rangeres. Hvor mange forsjellige resultatlister an man få? Esempel (Fortsatt). Løsning: Det fins 0 mulige vinnere, deretter 9 mulige andreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fins altså 0 9 8 680 forsjellige resultatlister. Legg mere til at 0 9 8 0 9 8 7 6 7 6 0! (0 )!
Vi sal nå definere dette mer generelt og brue notasjonen 0 P for dette tallet. Definisjon. La r og n være naturlige tall sli at r n. Med n n! P r mener vi (n r)! Mer. n P r forteller oss hvor mange måter vi an tree r elementer i reefølge ut fra en mengde med n elementer på. Når n r bruer vi at 0!. Da får vi n P n n! (n n)! n! 0! n! n! Det er som forventet, siden det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer i. Esempel. En idrettsleder har syv løpere i stallen sin, og sal velge ut fire av dem til å delta i en stafett. I et stafettlag spiller reefølgen stor rolle, især om idrettsgrenen er langrenn og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 7!! 7 6 5 80 forsjellige mulige lagutta. Kombinasjoner angir hvor mange delmengder med elementer det finnes av en mengde med n elementer Vi har tidligere vist dette ved indusjon. Det er også mulig å vise dette rent ombinatoris, som vi sal gjøre snart. Slie tall alles blant annet for binomialoeffisienter. [fragile] Anta at vi sal fordele tre oransje hatter,, på fem barn.
5 Hver ombinasjon svarer til en delmengde av {,,,, 5}. Antall måter å velge tre barn på i reefølge er 5 P 5 60. Her vil hver ombinasjon av hatter, f.es. {,, }, bli telt! 6 ganger, som,,,,, og. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Antall måter å fordele hattene er derfor 60/6 0, som er ( 5 ). Teorem. La A være en mengde med n elementer, og la 0 n. Da finnes det forsjellige delmengder B av A. Bevis (Nytt, og fritt for indusjon). Antall måter å velge elementer i reefølge fra A på er n P n! (n )! For hver delmengde B med elementer, så fins det! forsjellige ordnede utvalg fra A som gir oss B. Da må antall mengder B med elementer være n P! n! (n )!! Legg mere til at Hvorfor det? ( ) ( ) n n n For esempel, hvis vi har en mengde med 0 elementer, så er det 8) delmengder med 8 elementer. For hver sli mengde, så har vi også en mengde med elementer. Vi an f.es. lage en funsjon som til enhver delmengde av størrelse 8 gir en delmengde av størrelse.
Denne funsjonen vil være både surjetiv og injetiv. Derfor har vi at ( ( 0 8) 0 ) 0 9 90. Antall delmengder av størrelse må være li antall delmengder av størrelse n. Det er lie mange måter å velge n elementer på som det er å måter å velge bort n elementer på. Binomialoeffisientene Tallene ( n ) alles blant annet for binomialoeffisienter. Følgende (reursive) sammenheng var utgangspuntet for et tidligere indusjonsbevis: + Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. Tre,, av fem hatter,, sal være oransje. Hvor mange måter an dette gjøres på? ( ) 5 ( ) + ( ) Hvis den første hatten er oransje, så må to av de fire resterende hattene være oransje.det er ( ) 6 måter å gjøre dette på. Hvis den første hatten er svart, så må tre av de fire resterende hattene være oransje. Det er ( ) måter å gjøre dette på. Dette forteller oss at det er to evivalente måter å definere binomialoeffisientene på: Ved hjelp av faultetsfunsjonen og brø: Ved reursjon: n! (n )!! +
Pascals treant Pascals treant er en måte å srive opp alle binomialoeffisientene på ved hjelp av formelen ( ) ( ) ( ) n n n + Hus at Vi får følgende bilde. ( 6 0 0 n ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ) 0 ( 5) 6 5 6) Vi finner igjen mange jente tallreer i Pascals treant De naturlige tallene:,,,,5,6,... De såalte triangulære tallene:,,6,0,5,,... Toerpotensene:,,,8,6,,... Kvadrattallene:,,9,6,5,... Fibonacci-tallene (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mange flere... 5
6 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 5 5 7 8 8 56 70 56 8 8 9 6 8 6 6 8 6 9 0 5 0 0 5 0 0 5 0 55 65 0 6 6 0 65 55 66 0 95 79 9 79 95 0 66 78 86 75 87 76 76 87 75 86 78 9 6 00 00 00 00 00 00 6 9 5 05 55 65 00 5005 65 65 5005 00 65 55 05 5 Tilbae til binomialoeffisientene Nesten alle vet at (a + b) 0. Alle vet at (a + b) a + b. Mange vet at (a + b) a + ab + b. De fleste an regne ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noen greier til og med å regne ut at (a + b) a + a b + 6a b + ab + b. Noen bør begynne å ane at det er en sammenheng med Pascals treant. Siden (a + b) 5 a 5 + 5a b + 0a b + 0a b + 5ab + b 5 blir den anelsen bereftet. Teorem (Generalisering av. vadratsetning). For alle tall a og b og alle hele tall n 0 har vi (a + b) n a n + a n b + a n b + + n 0 ( n n a n b ) a n b + ( n ) ab n + b n Bevis. (a + b) n (a + b) (a + b) (a + b) }{{} n foreomster 6
Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi n ledd. Hvert ledd består av n fatorer, hvor hver fator er enten a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., n}, så lar vi B svare til leddet hvor fator nummer i er b hvis i B og a ellers. F.es. vil {,, 5} svare til leddet b a a b b 5 a 6 a n Hvert ledd ommer fra en og bare en mengde B; det vi har besrevet er en surjetiv og injetiv funsjon fra potensmengden av A til leddene vi får når vi regner ut (a + b) n. Bevis (Fortsatt). Det fins ( n ) delmengder av A med elementer. Da fins det ( n ) ledd med b er og n a er. Disse leddene ordnes til a n b Dette er nøyatig leddet med indes i teoremet. Siden er vilårlig må formelen i teoremet gi oss verdien på (a + b) n. Dette avslutter beviset. Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Hvor mange binære tall av lengde 5 fins det? Det er 5. Ordnet utvalg uten repetisjon: n P r På hvor mange måter an vi tree to ort fra en ortsto? Det er 5 P 5 5 65. Permutasjoner: n! På hvor mange måter an vi stoe om ordet LAKS? Det er!. Kombinasjoner: ( ) n Hvor mange delmengder av {a, b, c, d, e} har to elementer? Det er ( ) 5 5 0 Vi sal se på noen flere esempler. Først en liten digresjon om store tall I ombinatori ommer vi fort opp i veldig store tall. 7
Bredden til et hårstrå: 0 6 atomer. Atomer i en vanndråpe: 0 atomer. Atomer i universet: 0 80 atomer. Antall forfedre 65 generasjoner tilbae antall atomer i universet. Og disse tallene er ganse små... Allievel an vi representere dem og regne på dem uten store problemer. [fragile]esempel På hvor mange forsjellige måter an vi gå fra A til B i dette 8 ganger - rutenettet? Vi må gå ett steg av gangen og un oppover eller til høyre. B A Hvor mange slie stier er det? Denne stien an representeres som. Dette er et ord på tegn over alfabetet {, } hvor fire av tegnene er og åtte av tegnene er. Hvor mange slie ord er det? Det er ( ) 0 9 95 Esempel Vi sjeer at det stemmer for ganger -rutenettet: Antall ord blir i dette tilfellet: ( ) 6 som stemmer... [fragile]oppgave På hvor mange forsjellige måter an vi gå fra A til B i denne -uben? Vi må gå ett steg av gangen og un oppover, til høyre eller innover? B A 8
Esempel (Dette ble også nevnt på forrige forelesning i et introdusjonsesempel om uler og boser.) På hvor mange ulie måter an de 6 araterene A til F gis til 0 studenter? Vi ie er interessert i hvilen arater en bestemt student får, men un antallet av hver arater i fordelingen. Det er 6 muligheter for hver av de 0 studentene. Kan vi brue multipliasjonsprinsippet og si at svaret er 6 0? Nei La oss lage 6 båser og putte studentene i hver sin bås avhengig av hvilen arater de får. studenter per arater, og ingen stry an representeres sli: Fordelingen an representeres sli: At alle stryer an representeres sli: Hvor mange slie ombinasjoner fins det? Av 5 tegn må 5 være røde streer. Antall muligheter må være ( ) 5 5 00 5 5 Esempel Mer generelt har vi + som gir hvor mange forsjellige måter vi an fordele n identise elementer i forsjellige beholdere på. Dette alles også for uordnet utvalg med repetisjon. Grafteori Neste gang begynner vi med grafteori. En graf består av noder og anter: Oppgave: larer dere å tegne denne på et ar uten å løfte blyanten og uten å gå over en ant to ganger? 9