Modell: en binær symmetrisk kanal. binær: sendes kun 0 eller 1

Transkript

1 Modell: en binær symmetrisk kanal binær: sendes kun eller 1 symmetrisk: sannsynlighet av transmisjonsfeil p er samme for som for 1 Teorem. La c Z n 2. Dersom en melding c overføres via en binær symmetrisk kanal hvor sannsynligheten for feil er p, er Vi betrakter meldinger i form av bitstrenger som elementer i Z n 2. F.eks. c = 111 oppfattes som elementet (1,, 1, 1, ) Z 2 = Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2. sannsynligheten for at meldingen r = c + e mottas, p k (1 p) n k, der e er gitt feilmønster med k 1-ere og n k -ere. ( sannsynligheten ) for at meldingen c blir mottatt med k feil, n k p k (1 p) n k Vi betegner sendt melding med c, mottatt melding med r og feil med e. Vi har c + r = e, c + e = r og r + e = c. 1 2 Prinsipp. Koding av meldinger går utpå å legge inn ekstra informasjon i meldingen som kan brukes til å oppdage og eventuelt rette feil i overføringen av meldingen. E : Z m 2 Zn 2, n > m (kodingsfunksjon) D : Z n 2 Zm 2, (dekondingsfunksjon) Eksempel. La oss se på en såkaldt (m +1,m)-blokkode hvor m =8. Da er mengden av meldinger W = Z 8 2 og for hver w = w 1 w 2...w 8 W definerer vi E : Z 8 2 Z9 2 ved at hvor For eksempel har vi E (w 1 w 2...w 8 ) = w 1 w 2...w 8 w 9, 8 w 9 = w i (mod 2). i=1 E (11111) =

2 Eksempel. La oss betrakte blokkoden ((3m, m) for m = 8) gitt på følgende måte. Vi har mengden av meldinger W = Z 8 2 og for hver w = w 1 w 2...w 8 W definerer vi slik at For eksempel, E : Z 8 2 Z24 2 E (w 1 w 2...w 8 ) = w 1 w 2...w 8 w 1 w 2...w 8 w 1 w 2...w 8. E (11111) = Eksempel: melding kodeord (3,2) paritetskontroll kode. melding kodeord (3,1) repetisjons kode 5 6 Hamming metrikk La C Z n 2 være en kodemengde. Definisjon. Anta at u, v Z n 2,n Z+. Da La C Z n 2 være en mangde av kodeord. (Vi sier også atc er en kode.) Definisjon. Anta at u, v Z n 2,n Z+. Da definerer vi vekt av u, betegnes wt (u), er lik antall elementer u i i u som er like 1; vekten av u, betegnet med wt (u), til å være antall 1 ere i u. avstand mellom u og v, betegnes d (u, v), er antall elementer u i,v i, der u i v i,i=1, 2,...,n. Eksempel. For u = 11,v = 1111 har at wt(u) =2,wt(v) = 4ogd(u, v) =2. Lemma. For u, v Z n 2,wt(u + v) wt (u) + wt (v). 7 avstand mellom u og v, betegnet med d (u, v), til å være antall bit hvor u of v er forskjellige. Eksempel. For u = 11,v = 1111 har vi at wt(u) =2,wt(v) = 4ogd(u, v) =2. 8

3 Teorem. Avstandsfunksjonen d : Z n 2 Zn 2 N tilfredsstiller følgende egenskaper: 1. d (u, v) ; Definisjon. For n, k Z + og u Z n 2, definerer vi en kule med radius k og sentrum u ved 2. d (u, v) =hvis og bare hvis u = v; S (u, k) = {v Z n 2 d (u, v) k} 3. d (u, v) = d (v, u) ; 4. d (u, v) d (u, w) + d (w, v). 9 1 Teorem. La E : W C være kodingsfunksjon, der W Z m 2 er en mengde av meldinger og C Z n 2 er en mengde av mulige kodeord, m<n. Alle overføringsfeil med vekt mindre enn eller lik k kan oppdages hvis og bare hvis avstanden mellom kodeord i C ikke er mindre enn k +1. Teorem. La E : W C være kodingsfunksjon, der W Z m 2 er en mengde av meldinger og C Z n 2 er en mengde av mulige kodeord, m<n.alle overføringsfeil med vekt mindre enn eller lik k kan rettes hvis og bare hvis avstanden mellom kodeord ikke er mindre enn 2k

4 Paritet kontroll og generator matriser Vi skal definere E : Z m 2 Zn 2 ved hjelp av matriser slik at I tilfellet av (n, m) kode, 2 m mulige meldinger av lengde m er alle elementer fra Z m 2, mens Zm 2 mulige meldinger av lengde n er elementer fra Z n 2. Da kodering er en injektiv funksjon E : Z m 2 Zn 2 som for hver melding av lengde m definerer kodeord an lengde n som skal overføres. det gir enkel og rask måte å kodere; rask måte å finne nærmeste kodeord for hver mottat ord Definisjon. La G være n k matrise. G presenterer transformasjoner E : Z m 2 Zn 2, definert av (n, m) lineær kode. G kalles generator-matrise eller koderende matrise for denne koden Eksempel. La G = være en (3 6)-matrise over Z Matrisen G kalles generator-matrise og har strukturen G = [I 3 A], hvor I 3 er identitetsmatrisen med 3 3 elementer. Vi bruker G til å definere en kodingsfunksjon E : Z 3 2 Z6 2 ved for hver w Z 3 2. E(w) =w G Eksempel (forts). Eksempelvis får vi E(11) = [ 1 1 ] = [ ] og E(1) = [ 1 ] = [ ]

5 Eksempel (forts). Ta utgangspunkt i en melding w = w 1 w 2 w 3 Z 3 2. Fra denne får vi et kode ord Eksempel (forts). Mengden av alle sekvenser (kodeord) som kan fås på tilsvarende måte er { }, 111, 111, 111, C = Z , 1111, 1111, Fra dette ser vi at den minste Hamming avstanden mellom elementer i C er 3. Det betyr at vi kan oppdage 2 og rette 1 feil. med 6 siffer. E (w 1 w 2 w 3 ) = w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 Z 6 2 Siden E (w 1 w 2 w 3 ) = [w 1 w 2 w 3 ] = [w 1 w 2 w 3 (w 1 + w 3 )(w 1 + w 2 )(w 2 + w 3 )], får vi w 4 = w 1 +w 3,w 5 = w 1 +w 2,w 6 = w 2 +w 3. Disse ligningene kalles paritetskontrolligningene Eksempel (forts). Siden w = w for alle w Z 3 2, kan paritetskontrolligningene w 4 = w 1 + w 3 w 5 = w 1 + w 2 w 6 = w 2 + w 3 fra forrige lysark skrives om til w 1 +w 3 +w 4 = w 1 +w 2 +w 5 = +w 2 +w 3 +w 6 = eller på matriseform w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 = H (E (w)) T = Eksempel (forts). Fra det forrige lysarket konkluderer vi at en mottatt melding r = r 1 r 2...r 6 er et kodeord (r C) hvisogbare hvis H r T = (Hvis dette er tilfellet tror vi at r = E(w) er mottatt uten feil.) 2 21

6 Eksempel (forts). Anta at vi har mottatt meldingen r = 11. Oppsummering Vi ser da på H r T som kalles syndromet til r. Siden H r T = = 1 er sekvensen r ikke et kodeord. Så vi har oppdaget en feil i overføringen, og vi vil gjerne finne kodeordet i C som er nærmeste til r. La m, n Z +, m<n. Kodering funksjon E : Z m 2 Zn 2 defineres ved hjelp av generatormatrise G slik at E(w) =w G for hver w Z m 2 og kodemengde C = E ( Z m ) 2 Z n 2, der G = [I m A] matrise over Z 2, A er m (n m) matrise og I m er (m m) identitets matrise. Teorien sier da at siden vi får ut første kollonne av H såerdet oppstått enfeiliførstebit. Rettervidennefår vi 111 som er et kodeord. 22 Paritet kontroll matrise H er (n m) n matrise i formen H = [ A T ] I n m. 23 Dersom H tilfredsstiller disse betingelser da dekoderings algoritmen er følgende: Matrise H dekoderer og retter 1 overføringsfeil dersom: 1. Hvis H r T = da regner vi at overføring var uten feil of resultat er første m elementer av r. H inneholder ikke kolonne av -er; Fins ikke to like koloner i H. 2. Hvis H r T er lik i.kolonne av H, da feil skjedde i i.de kolonne av r. Retter i.de element i r og resultat er første m elementer av r. 3. Hvis det var verken første eller andre tilfeller da skjedde flere enn 1 feilunder overføring og det kan ikke rettes. 24

7 Definisjon. En mengde G, G med binær operasjon definert på G kalles gruppe, betegnes (G, ), hvis følgende betingelsene tilfredstilles: For alle a, b G, a b G; For alle a, b, c G, (a b) c = a (b c) ; Det fins e G slik at for alle a G, e a = a e = a ( e kalles identitets element); Definisjon. Hvis en gruppe G er slik at mengde G er endelig, da G betegner antall elementer i G og sies at gruppen G har orden G. Definisjon. La (G, ) være en gruppe og H G. Hvis (H, ) er også engruppedasiesat(h, ) er en delgruppe av (G, ). For hver a G fins b G slik at a b = b a = e ( b kan betegnes a 1 og er et invers element til a). 25 Teorem. Hvis H er ikke tom delmengde av gruppe (G, ), da H er an delgruppe G hvis og bare hvis 1. for alle a, b H, a b H og Komengder 2. for alle a H, a 1 H. Teorem. Anta at G er en gruppe og er ikke tom, endelig delmengde av G. Da H er en delmengde av G hvis og bare hvis H er lukket under operasjonen av G. Definisjon. Hvis H er en delgruppe av G, så for noen a G mengde ah = {ah h H} kalles venstre komengde av H i G og mengde Ha = {ha h H} kalles høyre komengde av H i G

8 Eksempel. For G = (Z 1 2, +) og H = {, 4, 8} har vi flgende komengder: +H = {, 4, 8} = H 1+H = {1, 5, 9} 2+H = {2, 6, 1} 3+H = {3, 7, 11} 4+H = {4, 8, } =+H =8+H = H 28