Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler: Merknader: Kalkulator Formelark følger med oppgaven I alle oppgavene må utregning vises for å få full uttelling. Oppgave 1 a) Regn ut utrykkene og skriv svaret på formen a + bi. 1) (5 + 2i)(1 + 3i) 2) 1 + i (1 + i)(3 i) 3) 2 i 2 b) Bruk fullstendig kvadraters metode til å finne løsningene til likningen når z er et komplekst tall. z2 6z + 25 = 0 Oppgave2 Bruk Euklids algoritme til å finne største felles faktor for tallene 2212 og 2506. Hva er minste felles multiplum av tallene 2212 og 2506?
Oppgave 3 Skriv tallet 11011012 i titallsystemet. Skriv tallet 32446 i titallsystemet. Skriv tallet 52 i det binære tallsystemet. Skriv tallet 234 i sekstallsystemet. Oppgave 4 Finn resten når vi dividerer tallene med 9. 1) 1 763 2) 21 333 244 Finn resten når vi dividerer tallene med 11. 1) 335 2) 42 223 189 Finn primtallsfaktoriseringen til 660. Bruk delelighetsreglene til å vise at 3 418 243 620 er delelig med 660. Oppgave 5 Finn resten når 3261 deles på 8. Vis ved hjelp av induksjon at 2 + 4 + 6-1- + 2n=n2+n. Vis ved hjelp av induksjon at 3 går opp i 5n 2n for n E N (dvs. n 1).
Oppgave 6 Vis at den lineære kongruensen 12x a, 15 (mod 27) er løsbar og avgjør hvor mange inkongruente løsninger modulo 27 den har? Løs den lineære kongruensen. Oppgave 7 Løs den diofantiske likningen ved hjelp av kongruensregning. 9x + lly = 201 I en boks ligger det både skruer og muttere. En skrue veier 5 gram og en mutter veier 7 gram. Det som ligger i boksen veier til sammen 70 gram. Hvor mange skruer og hvor mange muttere er det i boksen? En butikk selger strykejern for 630 kr og glassvaser for 434 kr. En dag selger butikken strykejern og glassvaser for 12 572 kr. Hvor mange strykejem og hvor mange glassvaser selger butikken denne dagen? Oppgave 8 Hva er prealgebra? 3
Oppgave 9 I I I I I I I I 4 I 1 4-.- I I I I I I r I Figur 1 Det skal legges like heller i et gangfelt i en hage. Hellene har størrelse 2 x 1. Gangen har bredde 2, og lengden er 5. Se figur 1. Du trenger 5 heller. Hvor mange måter kan du legge disse hellene på? Hvor mange måter ville det bli om gangfeltet hadde lengde 6, men fremdeles bredde 2? Figur 2a Figur 2b Hvor mange måter blir det om den første hellen skal være stående, se figur 2a? Hvor mange måter blir det om den første er liggende, se figur 2b? Hvor mange måter vil det bli om lengden på gangfeltet er 12? Lag en oversikt (tabell) over antall måter å legge hellene på for gangfelt med lengde opp til 15. Forklar hvordan du tenker. Lykke til 4
Formelsamling i emnet MA913 Tall og algebra Primtallmellom 1 og 200 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Aritmetikkensfundamentalsetning Ethvert naturlig tall n > 1 kan entydig skrives på formen k 1 Ity kr n =Pi P2 **Pr der 2fi )Pr er forskjellige primtall og eksponentene kl, k2, er naturlige tall. Divisjonsalgoritmen a og b er hele tall der n 0. Da fins entydige hele tall q og r slik at a = bq + r, der < r < b. Dersom r = 0, dvs. a = bq, er b en faktor i a. Vi skriver dette som bla. Regler for delelighet For hele tall a, b, c og d gjelder følgende: Dersom dia så vil diab. Dersom dla og dib så vil d I (ax ± by) for vilkårlig hele tall x og y. Dersom cia og dib så vil cdiab. Dersom c a og dia så vil cd la når (c, d) = 1. Dersom d lab og (d, a) = 1 så vil dlb. Delelighetsregler 2 går opp i et tall når 2 går opp i det siste sifferet i tallet. 5 går opp i et tall når 5 går opp i det siste sifferet i tallet. 4 går opp i et tall når 4 går opp i tallet dannet av de to siste sifrene i tallet. 3 går opp i et tall når 3 går opp i tverrsummen av tallet. 9 går opp i et tall når 9 går opp i tverrsummen av tallet. 11 går opp i et tall når 11 går opp i den alternerende tverrsummen av tallet. Tverrsummen til et tall er lik summen av sifrene i tallet. Den alternerende tverrsummen til et tall er summen av sifrene i tallet med vekslende fortegn, + og startet bakfra. 5
Euklids algoritmen og største felles faktor Gitt to hele tall a og b. Bruk divisjonsalgoritmen og finn etter tur qi og ri inntil rk = 0: a = bq1 + ri, 0 ri. < b b = r1q2 + r2, 0 T2< T1 ri = r2q3 + r3, 0 <r3 < r2 rk- 3 = rk-2qk-1+ rk-1, 0 rk_i < rk_2 rk-2 = rk-lqk Den minste positive resten, rk_1, er da lik største felles faktor mellom a og b. Vi skriver dette som sff(a, b) = (a, b) = - r k - 1. Dersom (a, b) = 1, er a og b innbyrdes primiske. Dersom (a, b) = d finnes hele tall x og y slik at ax + by = d. Diofantiske likninger Den diofantiske likningen ax + by = c har heltallige løsninger hvis og bare hvis (a, b)ic. Kongruenser To tall a og b som gir samme rest ved divisjon med n, er kongruente med hensyn på n. Vi skriver a E b (mod n) Da har vi at n I(a b) og det eksisterer et helt tall k slik at a = b + kn. Regneregler for kongruenser La a, b, c, d og n være hele tall. Dersom a E b (mod n) og c E d (mod n) så er a+ceb+d (mod n) og ac E bd (mod n). Dersom a E. b (mod n) så er ak E bk (mod n). Dersom ac -E bc (mod nc) så er a E b (mod n). Dersom ac E bc (mod n) og (c, n) = 1 så vil a E b (mod n). Lineære kongruenslikninger La a, b, c og n være hele tall. En lineær kongruenslikning ax --Eb (mod n) har løsning hvis og bare hvis (a, n) Ib. Dersom (a, n) = d har kongruensen ax -E b (mod n), d inkongruente løsninger modulo n. 6
Kvadratsetningene kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 kvadratsetning: (a b)2 = a2 2ab + b2 kvadratsetning: (a + b)(a b) = a2 b2 Abc-formelen for løsning av andregradslikninger Likningen ax2 + bx + c = 0 der a, b og c er reelle tall har løsningene Potensregler b + Vb2 4ac x = 2a am = a. a. a... a.... m-ganger a m, an = am+n a =.1.,hvor a * 0 0 1 Komplekse tall C = {a + ibla, b E IR.} La z = a + ib være et komplekst tall Direkte bevis (am)n = amn (ab)m = am bni a = Re(z) kaller vi realdelen til z og b = Im(z) kaller vi imaginærdelen. Den kompleks konjugerte til z er 2 = a bi. Vi har z 2"= a 2 + b2. I et direkte bevis antar vi at premisset p er sant og resonnerer oss fram til at da må konklusjonen q være sann. Kontrapositivt bevis I et kontrapositivt bevis antar vi at konklusjonen q er feil og resonnerer oss fram til at da må også premisset p være feil. Bevis med motsigelse Vi antar at premisset p er riktig, men at konklusjonen q er feil. Vi viser at dette fører til en motsigelse; konklusjonen kan umulig være feil. Induksjonsbevis Vi viser at påstanden Pn gjelder for alle naturlige tall n ved følgende steg: Startbetingelse: Vi viser at P1 er sann. Antagelsen: Vi antar at Pk er sann. Induksjonssteget: Vi viser at dersom Pk er sann er også Pk+1 sann. 7