Ny jordmodell for skandinaviske leirer Bakgrunn og fremgangsmåte. J.A. Rønningen
Bakgrunn 1) Hovedmålet er å lage en robust og brukervennlig 3D jordmodell for skandinavisk leire, basert på effektivspenninger og utformet for praktisk bruk. 2) Formuleringen skal baseres på eksisterende forskningsmodeller, men der udrenert skjærstyrke gis som input og de andre parameterene er godt kjent innenfor geoteknikken. 3) For å få til dette utvikler vi verktøy i programmeringsspråket FORTRAN sammen med programmet MATLAB: a. Et rammeverk for implementering av konstitutive modeller i datakode. b. En optimaliseringsprosedyre for å kunne treffe udrenert skjærstyrke og sammenligne simulering og labtestdata for å finne de materialparameterne som passer best. 2
Prinsipper Jordmodellen skal anvendes på 3D F.E. modeller, dvs. et diskretisert kontinuum med mange Gauss-punkter, og den skal gi sammenheng mellom spenninger og tøyninger for ulike initialtilstander og forløp. Critical state: Opprinnelig struktur er visket bort. Initialtilstand: En initiell materialstruktur vil i stor grad bestemme det tidlige forløpet av spennings-tøyningskurven, og bli gradvis ødelagt og forandret mot critical state. 3
Prinsipper Illustrerende eksempler på anisotropi, destrukturering og avhengighet av tøyningshastighet. Udrenert treaksial test CRS ødometer test avhengig av tøyningshastighet Udrenert traksial test avhengig av tøyningshastighet 4
Prinsipper Naturlig skandinavisk leire har en struktur og oppførsel som gir ikke-lineær spennings-tøynings kurver med anisotropi, destrukturering (og restrukturering over tid) og kryp/tøyningshastighetsavhengighet. Anisotropi: Hvis en jordprøve oppfører seg likt for laster påført i ulike retninger, og dette ikke endrer seg med lasten, kan man si at prøven er isotrop. Selv en rekonstituert jord vil bli anisotrop når påført en anisotrop last et eksempel på spenningsindusert anisotropi. Destrukturering: Naturlig leire har bånd (struktur, oppstått over tid) mellom partikler som vil bli ødelagt med tøyning. Strukturen vil bli gradvis ødelagt mot crititical state. Kryp: Tøyningsutvikling over tid ved konstant spenningstilstand. Det er flere rammeverk man kan benytte. Mye brukt er plastisitetsteori, der man benytter seg av en flyte- og potensialflate, og relaterer jordens oppførsel til hvordan flatene endrer posisjon, størrelse og form. Eks: Modified Cam-Clay. 5
Prinsipper Flere av de avanserte modellene for myk leire vil forenkle seg til Modified Cam Clay (MCC) modellen hvis noen av formuleringene utelates. Derfor kan det være nyttig å betrakte MCC modellen først og deretter gradvis utvide for å forstå hvordan en jordmodell kan bygges opp. For å oppnå en naturlig jordoppførsel (+) kreves det flere «frihetsgrader» som igjen gir flere materialparametere som må bestemmes ( ). Generelt beskriver man ligninger for hvordan en egenskap (f.eks anisotropi) utvikler seg mot critical state. ddαα = "hvvvvvvvvvvvv aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa uuuuuuuuuuuuuuuu ssssss mmmmmm pppppppppppppppp ttttttttttttt" ddλλ 6
Verktøy a. numerisk rammeverk I F.E. programmer kan man typisk definere subrutiner som gir materialets oppførsel. Formålet med subrutinene er å gi ut spenning σσ for et gitt tøynings- og tidsinkrement ddεε og dddd. I 3D består spenning og tøyning av 6 komponenter. σσ 11 σσ 22 σσ 33 σσ 12 σσ 23 σσ 13 = xx 11 xx 12 xx 13 xx 21 xx 22 xx 23 xx 31 xx 41 xx 32 xx 42 xx 33 xx 43 xx 51 xx 52 xx 53 xx 61 xx 62 xx 63 xx 14 xx 15 xx 16 xx 24 xx 25 xx 26 xx 34 xx 44 xx 35 xx 45 xx 36 xx 46 xx 54 xx 55 xx 56 xx 64 xx 65 xx 66 εε 11 εε 22 εε 33 εε 12 εε 23 εε 13 For å finne σσ må et sett med ikke-lineære ligninger løses. Det kan være fra 8-22 ligninger med samme antall ukjente. Det er flere måter å gjøre dette på, men Newton-Raphsons metode har blitt brukt her. Bruker et numerisk «rammeverk» som gjør implementering av konstitutive modeller noe enklere, spesielt hvis man vil gjøre endringer i formuleringen underveis i utviklingen. Jordmodellens konstitutive ligninger skrives inn i MATLAB og deretter genereres mye av FORTRAN koden automatisk ved symbolsk derivasjon. 7
Verktøy a. numerisk rammeverk Eksempel, avansert modell. rr = vv nn+1 == a. Residual r rr 1 rr 2 rr 3 rr 4 rr 5 σσ 11 σσ 22 σσ 33 σσ 12 σσ 23 σσ 13 pp mmmm αα dd11 αα dd22 αα dd33 αα dd12 αα dd23 αα dd13 xx λλ = nn+1 rr 1 = σσ nn+1 σσ nn DD ee εε nn+1 λλ nn+1 λλ nn σσ nn+1 rr 2 = pp mmmm,nn+1 pp mmmm,nn ddpp mmmm ddλλ nn+1 λλ nn+1 λλ nn = 0 rr 3 = αα dd,nn+1 αα dd,nn ddαα,dd ddλλ nn+1 λλ nn+1 λλ nn = 0 rr 4 = xx nn+1 xx nn ddxx ddλλ nn+1 λλ nn+1 λλ nn = 0 rr 5 = ff = 0 b. Jacobi matrise J = 00 JJ(nnnnnn) = rr 1 vv 1 rr 1 vv 2 rr 1 vv 3 rr 2 vv 1 rr 2 vv 2 rr 2 vv 3 rr 3 vv 1 rr 3 vv 2 rr 3 vv 3 rr 4 rr 4 rr 4 vv 1 vv 2 vv 3 rr nn rr nn rr nn vv 1 vv 2 vv 3 «Oppdatering av spenning» «Prekonsolidering» «Anisotropi» «Destrukturering» «Flytekondisjon» rr 1 rr 1 vv 4 vv nn rr 2 rr 2 vv 4 vv nn rr 3 rr 3 vv 4 vv nn rr 4 rr 4 vv 4 vv nn rr nn rr nn vv 4 vv nn 8
Verktøy b. optimalisering av input til jordmodellen For en effektivspenningsmodell vil udrenert skjærstyrke være avhengig av flere faktorer, og det er sannsynligvis ikke mulig for de mer avanserte modellene å kunne gi et eksplisitt uttrykk. Et alternativ er å finne et sett med materialparametere som gir den ønskede skjærstyrken eller nær. Dette gjøres ved optimalisering, dvs. å finne et minimumspunkt av en funksjon ff (f.eks. «least squares method»). ff = min NN cc R nn ii=1 (qq ii,llllll qq ii,ssssss ) 2 cc = κκ λλ GG MM KK 0 xx 0 OOCCCC aa pp aa qq ωω ωω dd cc = ss uu,aa ppp 0 ss uu,pp ppp 0... ff = min max qq cc R n,llllll max(qq,ssssss ) 2 Initielt må altså jordmodellen kalle seg selv og simulere f.eks. treaksial aktiv test internt. 9
Fortran kode Tankegang: Separasjon av datakode som er avhengig av gitt jordmodell (konstitutive formuleringer), og det som er uavhengig (Newton-Raphson iterasjon, optimalisering, interface mot F.E. programmet). Hovedfordelen er å kunne validere jordmodellen opp mot labdata relativt enkelt, og hvis nødvendig endre formulering underveis. 1. Validere, dvs. sammenligne simuleringer mot labdata ved bruk av optimaliseringsprosedyrene. 2. Hvis nødvendig, endre konstitutive ligninger i MATLAB. 3. Generere ny FORTRAN kode. 4. Validere på nytt. 10
Litteratur Grimstad G. 2009. Development of effective stress based anisotropic models for soft clays, PhD diss., Norwegian University of Science and Technology, NTNU, Trondheim. Grimstad G. and Degago S. 2010. A non-associated creep model for structured anisotropic clay (n-sac), European Conference on Numerical Methods in Geotechnical Engineering 7, Trondheim 2010. Proceedings, pp. 3.14. Grimstad G., Degago S., Nordal S., and Karstunen M. 2010. Modeling creep and rate effects in structured anisotropic soft clays, Acta Geotechnica, April 2010, Volume 5, Issue 1, pp 69-81. Olsson, M. 2013. On Rate-Dependency of Gothenburg Clay, PhD diss., Chalmers University of Technology, Göteborg. Olsson, M. 2010. Calculating long-term settlement in soft clays, Licentiate thesis, Chalmers University of Technology, Göteborg. 11