Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20
Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner
3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner Setning Den deriverte av f er d dx f (x) = ) f (f (x) Ideer bak formelen: Kjerneregel, definisjon av invers og implisitt derivasjon. Hva skjer når vi deriverer f(f (x)) = x?
4 Den deriverte av den naturlige logaritmen Anvendelse av derivert av invers. Husk at ln x og e x er hverandres inverser. Husk d dx ex = e x d dx ln x = x
5 Derivasjon av a x og log a x Vi har følgende derivasjonsregler d dx ax = a x ln a d dx log a x = x ln a
6 Logaritmisk derivasjon Setning Den deriverte av f(x) g(x) er f(x) g(x) d dx (g(x) ln f(x)) Ideen bak er identiteten ln a b = b ln a og implisitt derivasjon.
7 e som en grense Vi har at grensen lim x 0 ( + x)/x = e Dette følger av at den deriverte av ln x når x = er lik / =. lim ( + x 0 x)/x = e lim x 0 ln((+x) /x ) fordi = e lim x 0 ln(+x) 0 x = e lim x 0 ln(+x) ln x = e = e ln( + x) ln lim = den deriverte til ln x i x = x 0 x
Kapittel 3.8. Inverse trigonometriske funksjoner
9 Inverse trigonometriske funksjoner sin x cos x 3 2 tan x
0 Inverse trigonometriske funksjoner csc x sec x 3 2 cot x 3 2
Tabell over deriverte inverse trigonometriske funksjoner f(x) f (x) sin x x 2 tan x +x 2 sec x x x 2 f(x) f (x) cos x x 2 cot x +x 2 csc x x x 2
2 Identiteter for inverse trigonometriske cos x = π 2 sin x cot x = π 2 tan x csc x = π 2 sec x
Kapittel 3.9. Beslektede rater
4 Beslektede rater Eksempel (enkelt) En snøball smelter slik at arealet til overflaten avtar med cm 2 /min. Finn hvor raskt diameteren avtar når diameteren er 0 cm.
5 Beslektede rater Eksempel (Politijakt) To biler kjører på hver sin vei som møter hverandre i et 90 kryss. En politibil er på vei mot krysset og har farten 20 km/t, den andre bilen har kommet 400 meter fra krysset når politibilen har 300 meter igjen. På dette tidspunktet øker avstanden mellom bilene med 0 m/s. Finn farten til den andre bilen.
Kapittel 3.0. Linearisering og differensialer
7 Linearisering Definisjon Lineariseringen til f(x) i punktet x = a er gitt ved funksjonen som har graf lik tangenten til y = f(x) i x = a. Formel for lineariseringen i x = a er gitt ved Definisjon L(x) = f(a) + f (a)(x a) L(x) kalles Standard lineær-tilnærmingen Anvendelser: Nummerisk tilnærming av funksjoner.
8 Et eksempel Eksempel Lineariseringen til f(x) = e x i punktet x = 0 er gitt ved L(x) = e 0 + e 0 (x 0) = + x
9 Grafiske eksempler 2 y = e x Lineariseringen til f(x) = e x i x = 0 er L(x) = x +.
9 Grafiske eksempler 2 y = x 2 2 y = e x Lineariseringen til f(x) = e x i x = 0 er L(x) = x +. Lineariseringen til f(x) = x 2 i x = er L(x) = 2x.
20 Differensialer Definisjon Vi innfører to nye variable størrelser dx og dy. Differensialet dy til en funksjon y = f(x) i punktet x = a er gitt ved dy = f (a)dx NB! dy er en funksjon av dx. Vi sier at dx er en uavhengig størrelse, mens dy avhenger av dx.
2 Differensialer figur 2 x dx = x y = f(x + x) f(x) dy = f ()dx y = x 2 y dy dx
22 Estimering Eksakt verdi f(a + dx) = f(a) + y Tilnærmet verdi f(a + dx) f(a) + dy
23 liten Hvor stor Funksjon f(x) er feilen i differensialet dy?
23 liten Hvor stor Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. er feilen i differensialet dy?
23 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x))
23 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a)
23 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a) Feilen i dy er y dy
23 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a) Feilen i dy er y dy Teorem La f(x) være deriverbar i x = a. Feilen i dy er lik ǫ x der ǫ er en størrelse som er avhengig av x og som går mot null når x går mot null. y = f (a) x + ǫ x